《解直角三角形》参考课件.ppt

问题问题 要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端端, ,梯子与地面所成的角梯子与地面所成的角, ,一般要满足一般要满足50500 075750 0. .现现有一个长有一个长6m6m的梯子的梯子. .问问(1)(1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙( (精确到精确到0.1m)0.1m)(2)(2)当梯子底端距离墙面当梯子底端距离墙面2.4m2.4m时时, ,梯子与地面梯子与地面所成的角所成的角等于多少等于多少( (精确到精确到1 10 0) )这时人是否这时人是否能够安全使用这个梯子能够安全使用这个梯子? ? 问题问题 要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端端, ,梯子与地面所成的角梯子与地面所成的角, ,一般要满足一般要满足50500 075750 0. .现现有一个长有一个长6m6m的梯子的梯子. .问问(1)(1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙( (精确到精确到0.1m)0.1m) 对于问题对于问题(1),(1),当梯子与地面成的角当梯子与地面成的角为为75750 0时时, ,梯子顶梯子顶端与地面的距离是使用这个梯子所以攀到的最大高度端与地面的距离是使用这个梯子所以攀到的最大高度. . 问题问题(1)(1)可以归结为可以归结为: :在在RtRtABCABC中中, ,己知己知A=750,A=750,斜边斜边AB=6,AB=6,求求A A的对边的对边BCBC的长的长. .8 . 597. 06,97. 075sin75sin6sin,sin00BCAABBCABBCA? 因此使用这个梯子能够安全攀到墙面的最大高度约为因此使用这个梯子能够安全攀到墙面的最大高度约为5.8m.5.8m. 问题问题 要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端端, ,梯子与地面所成的角梯子与地面所成的角, ,一般要满足一般要满足50500 075750 0. .现现有一个长有一个长6m6m的梯子的梯子. .问问(2)(2)当梯子底端距离墙面当梯子底端距离墙面2.4m2.4m时时, ,梯子与地面所成的角梯子与地面所成的角等于多少等于多少( (精确到精确到1 10 0) )这时人是否能够安全使用这个梯子这时人是否能够安全使用这个梯子? ? 对于问题对于问题(2),(2),当梯子底端距离墙面当梯子底端距离墙面2.4m2.4m时时, ,求梯子与地求梯子与地面所成的角面所成的角的问题的问题, ,可以归结为在可以归结为在RtRtABCABC中中, ,己知己知AC=2.4,AC=2.4,斜边斜边AB=6,AB=6,求锐求锐角的度数角的度数. .0664 . 064 . 2cos利用计算器求得由于ABAC 因此当梯子底端距离墙面因此当梯子底端距离墙面2,4m2,4m时时, ,梯子与地面所梯子与地面所成的角大约是成的角大约是66660 0. . 由由50500 066660 075750 0可知可知, ,这时使用这个梯子是安全的这时使用这个梯子是安全的. .在在RtRtABCABC的中的中, , (1) (1)根据根据A=75A=750 0, ,斜边斜边AB=6,AB=6,你能求出这个直角三角你能求出这个直角三角莆的其他元素吗莆的其他元素吗? ? (2) (2)根据根据AC=2.4,AC=2.4,斜边斜边AB=6,AB=6,你能求出这个直角三角形你能求出这个直角三角形的其他元素吗的其他元素吗? ?三角形有六个元素三角形有六个元素, ,分别是三条边和三个内角分别是三条边和三个内角. . 事实上事实上, ,在直角三角形的六个元素中在直角三角形的六个元素中, ,除直角外除直角外, ,如果如果再知道两个元素再知道两个元素( (其中至少有一个是边其中至少有一个是边),),这个三角就可以这个三角就可以确定下来确定下来, ,这样就可以由已知的两个元素求出其余的三个这样就可以由已知的两个元素求出其余的三个元素元素. . 在直角三角形中在直角三角形中, ,由己知元素求未知元素的过程由己知元素求未知元素的过程, ,就是就是解直角三角形解直角三角形. .tan,tan;cos,cos;sin,sin)3(90)2() 1 (0222abBBBbaAAAcaBBcbAAcbBBcaAABAcba的邻边的对边的邻边的对边斜边的邻边斜边的邻边斜边的对边斜边的对边边角之间的关系两锐角之间的关系三边之间的关系,sincaA ,coscbA ,tanbaA .cotabA ,sincbB ,coscaB ,tanabB .cotbaB w灵活变换灵活变换: :同角之间的三角函数的关系同角之间的三角函数的关系3.3.如图如图, ,在在RtRtABCABC中中, ,C=90C=900 0,A,B,C,A,B,C的对边分别是的对边分别是a,b,ca,b,c. .求证求证:sin:sin2 2A+cosA+cos2 2A=1A=1,cos,sin:222cbacbAcaA证明2222cossincbcaAA222cba 22cc. 1. 1cossin22AA即.cos1sin22AA.sin1cos22AA.cos1sin2AA或.sin1cos2AA或同角之间的三角函数的关系同角之间的三角函数的关系3.3.如图如图, ,在在RtRtABCABC中中, ,C=90C=900 0,A,B,C,A,B,C的对边分的对边分别是别是a,b,ca,b,c. .求证求证: :tanAcotAtanAcotA=1,=1,cot,tan:abAbaA证明. 1cottanabbaAA,tancossinAbacbcaAA.sincoscot,cossintanAAAAAA,cos,sincbAcaA又.cotsincosAabcacbAsA同角之间的三角函数的关系同角之间的三角函数的关系w平方和关系平方和关系: :. 1cossin22AA.cos1sin22AA.cos1sin2AA或.sin1cos22AA.sin1cos2AA或商的关系商的关系: :.sincoscot,cossintanAAAAAA倒数关系倒数关系: :. 1cottanAA.cot1tanAA .tan1cotAA例例1.1.如图如图, ,在在RtRtABCABC中中, C=90, C=900 0,AC=2.BC=6,AC=2.BC=6,解个直角三解个直角三角形角形. . 2223060909060326tan:00000ACABABAACBCA解1cossin22AA1cottanAAAAAAcossincot1tan例例2 2 如图如图, ,在在RtRtABCABC中中, B=35, B=350 0,b=20,b=20,解这个直角三角形解这个直角三角形( (精确到精确到0.1)0.1)000055359090:BA解6 .2870. 02035tan20tantan0BbaabB1 .3557. 02035sin20sin,sin0BbccbB你还有其它你还有其它办法求出办法求出c c吗吗? ?现在我们来本章引言提出的有关比萨斜塔倾斜的问题现在我们来本章引言提出的有关比萨斜塔倾斜的问题. . 先看先看19721972年的情形年的情形, ,设塔顶中心点为设塔顶中心点为B,B,塔身塔身中心线与垂直中心线的夹角为中心线与垂直中心线的夹角为A,A,过过B B点向垂直中点向垂直中心线引垂线心线引垂线, ,垂足为点垂足为点C.C.在在RtRtABCABC中中, , C=90C=900 0,BC=5.2m,AB=54.5m.,BC=5.2m,AB=54.5m.2850954. 05 .542 . 5sin0AABBCA所以 类似地类似地, ,可以求出可以求出20012001年纠偏后塔身中年纠偏后塔身中心线与垂直中心线的夹角心线与垂直中心线的夹角, ,你愿意试着计算你愿意试着计算一下吗一下吗? ?在在RtRtABCABC中中, C=90, C=900 0, ,根据下列条件解直角三角形根据下列条件解直角三角形. .(1)a=30,b=20;(1)a=30,b=20;(2) B=72(2) B=720 0,c=14.,c=14. 例例3 20033 2003年年1010月月1515日日”神舟神舟”5 5号载人舰天飞机发射成号载人舰天飞机发射成功功. .当飞船完成变轨后当飞船完成变轨后, ,就在离地球表面的就在离地球表面的350km350km圆形轨道上圆形轨道上运行运行, ,如图如图, ,当飞船运行到地球表面上当飞船运行到地球表面上P P点的正上方时点的正上方时, ,从飞船从飞船最远能直接看到的地球上的点在什么位置最远能直接看到的地球上的点在什么位置? ?这样的最远点与这样的最远点与P P点的距离是多少点的距离是多少?(?(地球半径为地球半径为6400km,6400km,结果精确结果精确0.1km)0.1km) 分析分析: :从飞船上能最远直接看到的地球上的点从飞船上能最远直接看到的地球上的点, ,应是视应是视线与地球相切时的切点线与地球相切时的切点. . 如图如图, , O O表示地球表示地球, ,点点F F是飞船的位置是飞船的位置,FQ,FQ是是O O的切线的切线, ,切点切点Q Q是从飞船观测地球时的最远点是从飞船观测地球时的最远点, P Q , P Q 的长就是地面上的长就是地面上P P、Q Q两点间的距离两点间的距离, ,为计算为计算 P Q P Q 的长需要先求出的长需要先求出POQ.(POQ.(即即).). 在解决例在解决例3 3的问题时的问题时, ,我们我们综合运用了圆综合运用了圆和解直角三形和解直角三形的知识的知识. .解解: :在图中在图中,FQ,FQ是是O O的切线的切线, , FOQFOQ是直角三角形是直角三角形. .6 .200964014. 364001801818,95. 035064006400cos0的长为PQOFOQ 由此可知由此可知, ,当飞船在当飞船在P P点正上方时点正上方时, ,从飞船观测地球从飞船观测地球时的最远点距离时的最远点距离P P点约点约2009.6km.2009.6km.例例3 20033 2003年年1010月月1515日日”神舟神舟”5 5号载人舰天飞机发射成功号载人舰天飞机发射成功. .当飞当飞船完成变轨后船完成变轨后, ,就在离地球表面的就在离地球表面的350km350km圆形轨道上运行圆形轨道上运行, ,如图如图, ,当飞船运行到地球表面上当飞船运行到地球表面上P P点的正上方时点的正上方时, ,从飞船最远能直接看从飞船最远能直接看到的地球上的点在什么位置到的地球上的点在什么位置? ?这样的最远点与这样的最远点与P P点的距离是多点的距离是多少少?(?(地球半径为地球半径为6400km,6400km,结果精确结果精确0.1km)0.1km)例例4 4 热气球的探测器显示热气球的探测器显示, ,从热气球看一栋高楼顶部的仰角从热气球看一栋高楼顶部的仰角为为30300 0, ,看这栋高楼底串联的俯角为看这栋高楼底串联的俯角为600,600,热气球与高楼的水热气球与高楼的水平距离为平距离为120m,120m,这栋高楼有多高这栋高楼有多高( (结果精确到结果精确到0.1m)?0.1m)?分析分析: :我们知道我们知道, ,在视线与水平线所在视线与水平线所成的角中成的角中, ,视线在水平线上方的仰角视线在水平线上方的仰角, ,视线在水平下方的是俯角视线在水平下方的是俯角, ,因此因此, ,在在图中图中, ,=30=300 0, ,=60=600 0. . 在在RtRtABDABD中中, ,=30=300 0,AD=120,AD=120,所以可以所以可以利用解直角三角形的知识求出利用解直角三角形的知识求出BD,BD,类似地可类似地可以求出以求出CD,CD,进而求出进而求出BC.BC., 3403312030tan120tan,tan,tan.120,60,30,:000ADBDADCDADBDAD如图解1 .27731603120340, 3120312060tan120tan0CDBDBCADCD答答: :这栋楼高约为这栋楼高约为277.1m.277.1m. 1. 1.建筑物建筑物BCBC上有一旗杆上有一旗杆AB,AB,由距由距BC 40mBC 40m的的D D处观察旗处观察旗杆顶部杆顶部a a的仰角为的仰角为54540 0, ,观察底部观察底部B B的仰部的仰角为的仰部的仰角为45450 0, ,求求旗杆的高度旗杆的高度( (精确到精确到0.1m).0.1m).2.2.如图如图, ,沿沿ACAC方向开山修路方向开山修路, ,为了加快施工进度为了加快施工进度, ,要在小山的要在小山的另一边同时施工另一边同时施工, ,从从ACAC上的一点上的一点B B取取ABD=140ABD=1400 0,BD=520m, ,BD=520m, d=50d=500 0, ,那么开挖点那么开挖点E E离离D D多远正好能多远正好能A,C,EA,C,E使成一直线使成一直线,(,(精精确到确到0.1m)?0.1m)?例例5.5.如图如图, ,一般海轮位于灯塔一般海轮位于灯塔P P的北偏东的北偏东65650 0方向方向, ,距离灯塔距离灯塔8080海里的海里的A A处处, ,它沿正南方向航行一段时间后它沿正南方向航行一段时间后, ,到达位于灯到达位于灯塔塔P P的南偏东的南偏东34340 0方向上的方向上的B B处处, ,这时这时, ,海轮所在的海轮所在的B B处距离灯处距离灯塔塔P P有多远有多远( (精确到精确到0.010.01海里海里)?)?8 .7291. 08025cos80)6590cos(:000PAPC，APCRt中如图在解23.130559. 08 .7234sin8 .72sin,sin,3400BPCPBPBPCbB，BPCRt中在 因此因此, ,当海轮到达位于灯塔当海轮到达位于灯塔P P的南偏东的南偏东34340 0方向时方向时, ,它它距离灯塔大约距离灯塔大约130.23130.23海里海里. . 解直角三角形有文泛的应用解直角三角形有文泛的应用, ,解决问题时解决问题时, ,要根据实要根据实际情况灵活运用相关知识际情况灵活运用相关知识, ,例如例如, ,当我们要测量如图所示当我们要测量如图所示大坝的高度大坝的高度h h时时, ,只要测出仰角只要测出仰角和大坝的坡面长度和大坝的坡面长度l,l,就就能算出能算出h=h=lsinlsin, ,但是但是, ,当我们要测理如图所示的山高当我们要测理如图所示的山高h h时时, ,问题就不那么简单问题就不那么简单 了了, ,这时由于不能很方便函地得这时由于不能很方便函地得到仰角到仰角和山坡长度和山坡长度l.l. 与测坝高相比与测坝高相比, ,测山高的困难在于测山高的困难在于, ,坝坡是坝坡是”直直”的而山的而山坡是坡是”曲曲”的的, ,怎样解决这样的问题呢怎样解决这样的问题呢? ? 我们设法我们设法”化曲为直化曲为直, ,以直代曲以直代曲”. .我们可以把山坡我们可以把山坡”化化整为零整为零”地划分为一些小段地划分为一些小段, ,图中表示其中一部分小段图中表示其中一部分小段, ,划分划分小段时小段时, ,注意使每一小段上的山坡的是注意使每一小段上的山坡的是”直直”的的, ,可以量出这可以量出这段坡长段坡长l li i, ,测出相应的仰角测出相应的仰角1 1, ,这样就可以算出这段山坡的高这样就可以算出这段山坡的高度度h hi i= =l li isinsini i. . 上面的方面分别算出各段山坡的高度上面的方面分别算出各段山坡的高度h h1,1,h h2,2,h,hn,n, ,然后然后我们再我们再”积零为整积零为整”把把h h1 1,h,h2 2,h,hn n,相加相加, ,于是得到山高于是得到山高h.h. 以上解决问题所用的以上解决问题所用的”化整为零化整为零, ,积零为整积零为整”化曲为化曲为直直, ,以直代曲以直代曲”的做法的做法, ,就是高等数学中微积分的基本思想就是高等数学中微积分的基本思想, ,它在数学中有重要地位它在数学中有重要地位, ,在今后的学习中在今后的学习中, ,你会更多地了解你会更多地了解这方面的内容这方面的内容. .1.1.海中有一个小岛海中有一个小岛A,A,它的周围它的周围8 8海里内有暗礁海里内有暗礁, ,渔船跟踪鱼群渔船跟踪鱼群由西向东航行由西向东航行, ,在在B B点测得小岛点测得小岛A A在北偏东在北偏东60600 0方向上方向上, ,航行航行1212海海里到达里到达D D点点, ,这时测得小岛这时测得小岛A A在北偏东在北偏东30300 0方向上方向上, ,如果渔船不改如果渔船不改变航线继续向东航行变航线继续向东航行, ,有没有触礁的危险有没有触礁的危险? ?2.2.如图如图, ,拦水坝的横断面为梯形拦水坝的横断面为梯形ABCD(ABCD(图中图中i=1:3i=1:3是指坡面的是指坡面的铅直高度铅直高度DEDE与水平宽度与水平宽度CECE的比的比),),根据图中数据求根据图中数据求: :(1)(1)坡度坡度和和; ;(2)(2)坝顶宽坝顶宽ADAD和斜坡和斜坡ABAB的长的长( (精确到精确到0.1m)0.1m)利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是: :(1)(1)将实际问题抽象为数学问题将实际问题抽象为数学问题( (画出平面图形画出平面图形, ,转化为解直角转化为解直角三角形问题三角形问题););(2)(2)根据条件的特点根据条件的特点, ,适当选用锐角三角函数等去解直角三角形适当选用锐角三角函数等去解直角三角形; ;(3)(3)得到数学问题的答案得到数学问题的答案; ;(4)(4)得到实际问题的答案得到实际问题的答案. .