二次型的正定型.ppt

定义10,类似地,可以定义负定二次型和负定矩阵,证,A,B都是n阶正定矩阵,XRn,X0,有XTAX>0,XTBX>0,XT(kA+lB)X=kXTAX+lXTBX>0,kA+lB为正定矩阵.,例设A,B都是n阶正定矩阵.证明：kA+lB也是正定矩阵(k>0,l>0).,证,设某aii0，,取X=(0,0,1,0,0)T,第i个分量,则XTAX=aii0，,矛盾.,所以aii>0，(i=1,n).,例设A=(aij)nn是正定矩阵.证明:aii>0(i=1,n).,例f(x1,x2,x3)=x12+4x22+2x32+2tx1x2+2x1x3,t为何值时，f为正定二次型？,解,需,例设实对称矩阵A=(aij)nn是正定矩阵.b1,b2,bn是任意n个非零实数，证明:B=(aiibibj)nn为正定矩阵.,证,正定矩阵A的k阶顺序主子式|Ak|>0,(k=1,n).,所以，|Bk|>0,(k=1,n).,B为正定矩阵.,例判定二次型的正定性：,f(x1,x2,x3)=-5x12-6x22-4x32+4x1x2+4x1x3,解,即(-1)kPk>0(k=1,2,3),f负定.,基本要求(1)理解二次型的概念,掌握二次型的矩阵表示,了解二次型的秩、合同矩阵与合同变换、惯性定理等概念.(2)掌握用正交变换化二次型为标准形的方法,了解用配方法化二次型为标准形的方法.(3)理解正定二次型及正定矩阵的概念,会判别二次型及实对称矩阵的正定性.,