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解直角三角形及其应用解直角三角形及其应用本课内容本节内容4.3 如图如图4-23，在直角三角形，在直角三角形ABC中，中，C=90，A，B，C的对边分别记作的对边分别记作a，b，c .说一说说一说图图4-231. 直角三角形的三边之间有什么关系？直角三角形的三边之间有什么关系？a2+b2=c2( (勾股定理勾股定理) )图图4-232. 直角三角形的锐角之间有什么关系？直角三角形的锐角之间有什么关系？ A+B=90.图图4-233. 直角三角形的边和锐角之间有什么关系？直角三角形的边和锐角之间有什么关系？ 图图4-23 的对边的对边sin= . 斜边斜边 的邻边的邻边cos= . 斜边斜边 的对边的对边tan= . 邻边邻边 根据下列每一组条件，能画出多少个直角三角形根据下列每一组条件，能画出多少个直角三角形( (全等的直角三角形算一个全等的直角三角形算一个) )？做一做做一做（1）一个锐角为一个锐角为 40；（2）一个锐角）一个锐角40，它的邻边长为，它的邻边长为3cm；无数个无数个（3）一个锐角）一个锐角40，它的对边长为，它的对边长为3cm；（4）一个锐角）一个锐角40，斜边长为，斜边长为3cm；（5）斜边长为）斜边长为4cm，一条直角边长为，一条直角边长为3cm.1个个1个个1个个1个个做一做做一做 从这些问题的结论，你猜想有什么规律？从这些问题的结论，你猜想有什么规律？这个猜想正确吗？这个猜想正确吗？（1）一个锐角为一个锐角为 40；（2）一个锐角）一个锐角40，它的邻边长为，它的邻边长为3cm；无数个无数个（3）一个锐角）一个锐角40，它的对边长为，它的对边长为3cm；（4）一个锐角）一个锐角40，斜边长为，斜边长为3cm；（5）斜边长为）斜边长为4cm，一条直角边长为，一条直角边长为3cm.1个个1个个1个个1个个结论结论 在直角三角形中，除直角外的在直角三角形中，除直角外的5个元素个元素( (3条边和条边和2个个锐角锐角) )，只要知道其中的，只要知道其中的2个元素个元素( (至少有一个是边至少有一个是边) )，利，利用上述关系式，就可以求出其余的用上述关系式，就可以求出其余的3个未知元素，这叫个未知元素，这叫作作解直角三角形解直角三角形. 动脑筋动脑筋 如果知道的如果知道的2个元素都是角，那么能求出直角三个元素都是角，那么能求出直角三角形的边吗？角形的边吗？ 不能不能.因为此时的直角三角形因为此时的直角三角形有无数多个有无数多个.举举例例例例1 如图如图4-24，在，在RtABC中，中，a=5，求，求B，b，c.9030 , , ,CA 图图4-24解解:90 9030 60 . .BA 又又 tan= b B a, , 3= tan = 5 tan60 = 5 ba B . . sin= a A c, , 10sinsin55= = = = 1302 A ac . .举举例例例例2 在在RtABC中，中，C = 90，a =15.60cm， b=8.50cm，求，求c，A，B( (长度精确到长度精确到0.01cm) )， 角度精确到角度精确到1).). 解解:2222+15.60 +8.50 17.77 cmcab ().().由于由于 1.835315.60tan= = 8.50a A b , ,因此因此61 25 A . . 从而从而9061 25 28 35B . .练习练习答：答：cmcm453 4.24A = a = c = , , , ,. .1. 在在RtABC中，中， b=3cm， 求求A，a，c ( (精确到精确到0.01cm).).9045 , , ,CB 答：答：cm7.63 37 1952 41 b = A = B = , , , ,. .2. 在在RtABC中，中， a=5.82cm，c=9.60cm， 求求b，A ，B ( (角度角度精确到精确到1，长度精确到长度精确到 0.01cm).).90C, , 答：答：cmcm60 7.84 2.8 B = a = b = , , , . .3. 在在RtABC中，中， c = 15.68cm， 求求B ， a，b ( (长度精确到长度精确到 0.01cm).).9030,CA 举举例例例例3 如图如图4-25，一艘游船在离开码头，一艘游船在离开码头A后，以和河岸后，以和河岸成成 30角的方向行驶了角的方向行驶了500m到达到达B处，求处，求B处与河岸处与河岸的距离的距离. . 图图4-25?解解:从点从点B作河岸线作河岸线( (看成直线段看成直线段) )的垂线，垂足为的垂线，垂足为C，从而从而=500 sin 30 250 m BC ( ).( ).答：答：B处与河岸的距离约为处与河岸的距离约为250m图图4-25?在在RtABC中，中，C=90，A=30，AB=500m. sin 30 = = 500BCBC AB , ,由于由于BC是是A的对边，的对边，AB是斜边，因此是斜边，因此举举例例例例4 如图如图4-26，在高为，在高为28.5m的楼顶平台的楼顶平台D处，用仪处，用仪器测得一路灯电线杆底部器测得一路灯电线杆底部B的俯角为的俯角为 ，仪器高度，仪器高度AD为为1.5m.求这根电线杆与这座楼的距离求这根电线杆与这座楼的距离BC( (精确到精确到1m).). 15 图图4-26解解: 在在RtABC中，中，C = 90，图图4-26由于由于BC是是BAC的对边，的对边，AC是邻边，是邻边，因此因此 tan75 = = 30BCBC AC . .答：这根电线杆与这座楼的距离约为答：这根电线杆与这座楼的距离约为112m.从而从而 30 =tan75 112 mBC ().().AC=28.5+1.5=30( (m) )，901575BAC=- -练习练习答：答：tanm2400 60 4157 AC = = (). (). 如图如图4-27，一艘轮船航行到，一艘轮船航行到B处时，灯塔处时，灯塔A在船在船的北偏东的北偏东 的方向，轮船从的方向，轮船从B处向正东方向行驶处向正东方向行驶2400m到达到达C处，此时灯塔处，此时灯塔A在船的正北方向在船的正北方向.求求C处处与灯塔与灯塔A的距离的距离( (精确到精确到1m) ). 60 图图4-27举举例例例例5 如图如图4-28，一座楼房的顶层阳台上方的屋檐成，一座楼房的顶层阳台上方的屋檐成等腰梯形，上底长等腰梯形，上底长2.0m，下底长，下底长3.6m，一腰长，一腰长1.9m.求等腰梯形的高求等腰梯形的高( (精确到精确到0.1m) )，以及一腰与下底所成，以及一腰与下底所成的底角的底角( (精确到精确到1).).图图4-28解解:在等腰梯形在等腰梯形ABCD中，中，从顶点从顶点D作下底作下底AB的垂线，垂足为的垂线，垂足为E.图图4-28由于上底由于上底DC=2m，下底，下底AB=3.6m，在直角三角形在直角三角形ADE中，中，AED=90，AD=1.9m，AE=0.8m，因此因此 13.6 2 0.8 m2AE = = - -()().()().从而从而22221.90.8 1.7mDE = ADAE = . .由于由于AE是是A的邻边，的邻边，AD是斜边，因此是斜边，因此0.8cos 0.42111.9AE A = = AD . .从而从而 65 6 A . . 答：等腰梯形的高约等于答：等腰梯形的高约等于1.7m， 一腰与下底所成的底角约等于一腰与下底所成的底角约等于65 6 . . E 图图4-29的的( (1) )和和( (2) )中，哪个山坡比较陡？中，哪个山坡比较陡？观察观察( (2) )中的山坡比较陡中的山坡比较陡.图图4-27（1）（2）动脑筋动脑筋 如何用数量来反映哪个山坡陡呢？如何用数量来反映哪个山坡陡呢？图图4-27（1）（2） 如图如图4-30，从山坡脚下点，从山坡脚下点P上坡走到点上坡走到点N 时，升时，升高的高度高的高度h( (即线段即线段MN的长的长) )与水平前进的距离与水平前进的距离l( (即即线段线段PM的长度的长度) )的比叫作坡度，用字母的比叫作坡度，用字母i表示，即表示，即hi l 图图4-30 坡度通常写成坡度通常写成 1 : m 的形式的形式 图图4-30中的中的MPN叫作坡角叫作坡角( (即山坡与地平面的夹角即山坡与地平面的夹角). ). 图图4-30 显然，坡度等于坡角的正切显然，坡度等于坡角的正切. . 坡度越大，山坡越陡坡度越大，山坡越陡. .举举例例例例6 如图如图4-30， 一山坡的坡度一山坡的坡度 i = 1:1.8，小刚，小刚从山坡脚下点从山坡脚下点P上坡走了上坡走了24m到达点到达点N，他上升了，他上升了多少米多少米( (精确到精确到0.1m) )？这座山坡的坡角是多少度？这座山坡的坡角是多少度( (精确到精确到1) )？ 图图4-30解解:用用 表示坡角的大小，由于表示坡角的大小，由于因此因此 在直角三角形在直角三角形PMN中，中， PN=240m.由于由于NM是是P的对边，的对边，PN是斜边，是斜边，因此因此 从而从而答：小刚上升了约答：小刚上升了约116.5m，这座山坡的坡角，这座山坡的坡角约等于约等于sin 240NMNM = = PN. .29 3 . .1tan 0.55561.8 = . . 29 3 . . 90 M , ,240 sin 29 3 116.5 mNM ().(). 29 3 P , ,图图4-30练习练习答：路基底宽为答：路基底宽为30.0m， 坡角坡角32 = . . 如图如图4-31，一铁路路基的横断面为等腰梯形，一铁路路基的横断面为等腰梯形，路基的顶宽路基的顶宽( (即等腰梯形的上底长即等腰梯形的上底长) )为为10.2m，路基的，路基的坡度坡度i=1:1.6，等腰梯形的高为，等腰梯形的高为6.2m.求路基的底宽求路基的底宽( (精精确到确到0.1m) )和坡角和坡角( (精确到精确到1).).图图4-31小结与复习小结与复习 本章我们主要学习了锐角的本章我们主要学习了锐角的正弦正弦、余弦余弦、正切正切的概念，以及它们在求解直角三角形和实际生活中的概念，以及它们在求解直角三角形和实际生活中的广泛应用的广泛应用 一、一、锐角三角函数锐角三角函数 1. 概念概念在直角三角形中，一个锐角为在直角三角形中，一个锐角为，则，则角角 的对边的对边斜边斜边 sin= . 角角 的邻边的邻边斜边斜边 cos= . 角角 的对边的对边邻边邻边 tan= . 分别叫作角分别叫作角的正弦、余弦、正切的正弦、余弦、正切.锐角的正弦、余弦、正切统称为锐角的正弦、余弦、正切统称为锐角三角函数锐角三角函数sincostan , , , , 2. 30，45，60角的正弦、余弦、正切值角的正弦、余弦、正切值. tan cos sin 30 45 60 1222323222123313 3. 同一个锐角的正弦、余弦和正切的关系同一个锐角的正弦、余弦和正切的关系. 221sin+ cos = 1 .sin2tan = .cos ( ) ( ) ( ) ( ) ( (3) ) 已知已知 tan的值，的值，是锐角，求是锐角，求sin，cos 的值的方法可以参看的值的方法可以参看4.2节的例节的例3.此方法可推广此方法可推广 到：已知到：已知sin( (或或cos) )的值，的值，是锐角，求是锐角，求 cos( (或或sin) )，tan的值的值. 4. 互为余角的正弦、余弦的关系互为余角的正弦、余弦的关系 sin 90= cos cos 90= sin - - -(),(),().(). 设设是锐角，则是锐角，则 5. 用计算器求锐角的正弦、余弦、正切值用计算器求锐角的正弦、余弦、正切值 6. 已知正弦或余弦，或正切值，用计算器求相应已知正弦或余弦，或正切值，用计算器求相应 的锐角的锐角. 二二、解直角三角形及其应用解直角三角形及其应用 1. 在直角三角形中，除直角外的在直角三角形中，除直角外的5个元素，只要知道个元素，只要知道 其中的其中的2个元素个元素( (至少有一个是边至少有一个是边) )，就可以求出其，就可以求出其余的余的3个未知元素，这叫作解直角三角形个未知元素，这叫作解直角三角形. 解直角三角形依据下列关系式：如图解直角三角形依据下列关系式：如图4-35，a2 + b2 = c2 ( (勾股定理勾股定理) )， + = 90A B , , 角角 的对边的对边斜边斜边 sin= , ,角角 的邻边的邻边斜边斜边 cos= , ,角角 的对边的对边邻边邻边 tan= . 其中其中A可以换成可以换成B.图图4-352. 在将解直角三角形应用到实际问题中时，首先要弄在将解直角三角形应用到实际问题中时，首先要弄清楚实际问题的情况，找出其中的直角三角形和已清楚实际问题的情况，找出其中的直角三角形和已知元素；知元素； 其次要从已知元素和所求的未知元素，正确选用正其次要从已知元素和所求的未知元素，正确选用正弦，或余弦，或正切；弦，或余弦，或正切； 第三要会用计算器进行有关计算第三要会用计算器进行有关计算 中考中考 试题试题例例1 A 已知在已知在 RtABC 中中 ，C = 90，sinA = ，则则tanB的值为的值为（ ）A. . B. C. D.3543455434解解RtABC中，中，C=90，sinA= , , 可设可设a=3k，c=5k，b=4k， tanB = = . .故选故选A.35ba43中考中考 试题试题例例2 解解是等腰直角三角形的一个锐角，是等腰直角三角形的一个锐角，=45， tan= tan45=1，故选，故选C. 如果如果是等腰直角三角形的一个锐角，则是等腰直角三角形的一个锐角，则tan的的值是值是（ ）A. . B. C. 1 D.12222C中考中考 试题试题例例3 如图所示，如图所示，RtABCRtDEF，则，则cosE的值等于的值等于（ ）A. . B. C. - -3 D.- -1.1222A解解由相似三角形对应角相等，得由相似三角形对应角相等，得E=B=60，所以所以 cosE = .12结结 束束