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    人教版九年级数学上册 期末专项复习—一元二次方程.docx

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    人教版九年级数学上册 期末专项复习—一元二次方程.docx

    人教版九年级数学上册期末专项复习02一元二次方程考点1 巧用一元二次方程的定义及相关概念求值题型1 利用一元二次方程的定义确定字母的取值1.已知是关于的一元二次方程,则的取值范围是( )A.B.C.D.2.已知关于的方程.(1)取何值时,它是一元二次方程?并写出这个方程;(2)取何值时,它是一元一次方程?题型2 利用一元二次方程的项的概念求字母的取值1.若一元二次方程没有常数项,则的值为_.2.已知关于的一元二次方程的常数项为0,求的值.题型3 利用一元二次方程的根的概念求字母或代数式的值1.已知关于的方程的一个根是,则的值为()A.B.0C.1D.22.已知关于的一元二次方程的一个根为0,求的值.3.已知实数是一元二次方程的根,求代数式的值.题型4 利用一元二次方程根的概念解决探究性问题1.已知,是方程的两个根,是否存在实数使的值等于8?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.考点2 一元二次方程的解法归类类型1 限定方法解一元二次方程方法1 形如的一元二次方程用直接开平方法求解1.方程的解为()A.B.C.D.2.用直接开平方法解下列一元二次方程,其中无解的方程为()A.B.C.D.方法2 当二次项系数为1,且一次项系数为偶数时,用配方法求解1.用配方法解方程,配方后的方程变为()A.B.C.D.2.解方程:.3.已知,求的值.方法3 能化成形如的一元二次方程用因式分解法求解1.一元二次方程的根是()A.B.0C.1和2D.和2解下列一元二次方程:(1);(2);(3).方法4 如果一个一元二次方程易于化为它的一般式,则用公式法求解1.用公式法解一元二次方程,方程的解应是()A.B.C.D.2.用公式法解下列方程.(1);(2).类型2 选择合适的方法解一元二次方程1.方程的解为()A.B.C.,D.,2.一元二次方程的根是()A.B.C.和D.和3.方程的解是()A.,B.,C.,D.,4.解下列方程.(1);(2).类型3 用特殊方法解一元二次方程方法1 构造法1.解方程:.2.若,满足,求的值.方法2 换元法.整体换元1.若,则的值为()A.或B.或C.或D.或2.已知,则的值是()A.或B.或C.或D.或3.解方程:.4.解方程:.b.降次换元1.解方程:.c.倒数换元1.解方程:.方法3 特殊值法1.解方程:.考点3 根的判别式的四种常见应用题型1 利用根的判别式判断一元二次方程根的情况1.已知关于的方程,下列说法正确的是()A.当时,方程无解B.当时,方程有一个实数解C.当时,方程有两个相等的实数解D.当时,方程总有两个不相等的实数解2.已知方程没有实数根,其中是实数,试判断方程有无实数根.题型2 利用根的判别式求字母的值或取值范围1.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根.(1)求的取值范围;(2)若为正整数,且该方程的根都是整数,求的值.2已知关于的一元二次方程,(1)证明:不论为何值,方程总有实数根;(2)为何整数时,方程有两个不相等的正整数根.题型3 利用根的判别式求代数式的值1.已知关于的方程有两个相等的实数根,求的值.2.已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根,求的值.题型4 利用根的判别式确定三角形的形状1.已知,是三角形的三边长,且关于的一元二次方程有两个相等的实数根,试判断此三角形的形状.2.已知,是三角形的三边长,且关于的一元二次方程有两个相等的实数根,试判断此三角形的形状.考点4 一元二次方程与三角形的综合题型1 一元二次方程与三角形三边关系的综合1.三角形的两边长分别为4和6,第三边长是方程的解,则第三边的长为()A.3B.4C.3或4D.无法确定2.根据一元二次方程根的定义,解答下列问题.一个三角形两边长分别为和,第三边长为,且整数满足,求三角形的周长.题型2 一元二次方程与直角三角形的结合1.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根,则这个直角三角形的斜边长为_.2.已知,分别是的三边,当时,关于的一元二次方程有两个相等的实数根,试判断的形状,并说明理由.3.已知的三边,中,又已知关于的方程的根恰为的值,求的面积.题型3 一元二次方程与等腰三角形的综合1.等腰三角形一条边的长为3,另两条边的长是关于的一元二次方程的两个根,则的值是()A.27B.36C.27或36D.182.已知关于的一元二次方程,其中,分别为的三边的长.(1)如果是方程的根,试判断的形状,并说明理由;(2)如果方程有两个相等的实数根,试判断的形状,并说明理由;(3)如果是等边三角形,试求这个一元二次方程的根.考点5 根与系数的关系的四种应用类型题型1 利用根与系数的关系求代数式的值1.设方程的两根为,不解方程求下列各式的值.(1);(2);(3).题型2 利用根与系数的关系构造一元二次方程1.构造一个一元二次方程,使它的两根分别是方程各根的负倒数.题型3 利用根与系数的关系求字母的值或取值范围1.已知关于的一元二次方程的两根的平方和是,求的值.2.已知关于的方程.(1)若该方程有两个不相等的实数根,求实数的取值范围;(2)若该方程的一个根为1,求的值及该方程的另一根.题型4 巧用根与系数的关系确定字母系数的存在性4.已知,是一元二次方程的两个实数根,是否存在实数,使成立?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.考点6:可化为一元二次方程的分式方程的应用题型1 营销问题1.某玩具店采购人员第一次用100元去采购“企鹅牌”玩具,很快售完,第二次去采购时发现批发价每件上涨了0.5元,用去了150元,所购玩具数量比第一次多了10件,两批玩具的售价均为2.8元,问:第二次采购玩具多少件?(说明:根据销售常识,批发价应该低于销售价)题型2 行程问题3.从甲站到乙站有150千米,一列快车和一列慢车同时从甲站开出,1小时后快车在慢车前12千米,快车到达乙站比慢车早25分钟,快车和慢车每小时各行驶多少千米?应用3 工程问题4.某镇道路改造工程,由甲、乙两工程队合作20天可完成甲工程队单独施工比乙工程队单独施工多用30天才能完成此项工程.(1)求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天;(2)若甲工程队单独施工天后,再由甲、乙两工程队合作_天(用含的代数式表示)可完成此项工程;(3)如果甲工程队施工每天需收取施工费1万元,乙工程队施工每天需收取施工费2.5万元,那么甲工程队至少要单独施工多少天后,再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程,才能使施工费不超过64万元?考点7 几种常见的热门考点题型1 一元二次方程的根1.若一元二次方程有一根为,则_.2.若关于的一元二次方程有一根为,且,求的值.题型2 一元二次方程的解法1.用配方法解方程时,配方后所得的方程为()A.B.C.D.2.一元二次方程的解是()A.,B.,C.,D.,3.选择适当的方法解下列方程:(1);(2).题型3 一元二次方程根的判别式1.若关于的方程不存在实数根,则的取值范围是()A.B.C.D.2.已知关于的一元二次方程有两个实数根,则的取值范围是()A.B.C.D.3.在等腰三角形中,三边长分别为,.其中,若关于的方程有两个相等的实数根,求的周长.题型4 一元二次方程根与系数的关系1.已知,是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根,且满足,则的值是()A.B.C.或D.或2.关于的方程有两个不相等的实数根,且有,求的值.3.设,是关于的一元二次方程的两个实数根,当为何值时,有最小值?最小值是多少?题型5 一元二次方程的应用1.某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件.市场调查反映:每降价1元,每星期可多卖出20件已知商品的进价为每件40元,在顾客得实惠的前提下,商家还想获得6 080元的利润,应将销售单价定为多少元?2.某校为培养青少年科技创新能力,举办了动漫制作活动,小明设计了点做圆周运动的一个图形,如图所示,甲、乙两点分别从直径的两端点,出发,以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动.甲运动的路程与时间满足关系:,乙以的速度匀速运动,半圆的长度为.(1)甲运动后的路程是多少?(2)甲、乙从开始运动到第一次相遇时,它们运动了多长时间?(3)甲、乙从开始运动到第二次相遇时,它们运动了多长时间?题型6 新定义问题1.若,是关于的方程的两个实数根,且(是整数),则称方程为“偶系二次方程”如方程,都是“偶系二次方程”.判断方程是否是“偶系二次方程”,并说明理由.期末专项复习一元二次方程答案解析考点1题型11.【答案】D【解析】由题意,得解得且.2.【答案】解:(1)当时,它是一元二次方程,解得.当时,原方程可化为.(2)当或者当且时,它是一无一次方程.解得或.故当或时,它是一元一次方程.题型21.【答案】8【解析】由题意得解得.2.【答案】由题意,得解得.题型31.【答案】A【解析】关于的方程的一个根是,.,2.【答案】解:把代入,得,解得,.,.3.【答案】解:实数是一元二次方程的根,.题型41.【答案】解:由题意可知,由得,故存在满足要求的实数,且的值等于.考点2类型1方法11.【答案】C2.【答案】C方法21.【答案】C2.【答案】解:3.【答案】解:方法31.【答案】D2.【答案】解:(1)(2)(3)方法41.【答案】B2.【答案】解:(1)(2)类型21.【答案】C2.【答案】C3.【答案】B4.【答案】解:(1)(2)即类型3方法11.【答案】解:将原方程两边同乘6,得.解得或.2.【答案】解:因为,所以.将代入中,得,所以,即.又因为,所以解得所以,所以方法2a1.【答案】A2.【答案】B3.【答案】设,原方程化为,解得当时,当时,原方程的解为4.【答案】解:原方程即,即.设,则原方程变为.解得.当时,解得;当时,方程无实数根原方程的根为.b1.【答案】解:经验证不是方程的根,原方程两边同除以,得,即.设,则,原方程可变为.解得,.当时,解得,;当时,解得,.经检验,均符合题意.原方程的解为,.c1.【答案】解:设,则原方程化为,整理得,.当时,.当时,.经检验,都是原方程的根,原方程的根为,.方法31.【答案】解:方程组的解一定是原方程的解,解得.方程组的解也一定是原方程的解,解得.原方程最多有两个实数解,原方程的解为,.【解析】解本题也可采用换元法设,则,原方程可化为,先求出,进而求出.考点3题型11.【答案】C【解析】当时,方程为一元一次方程,解为;当时,因为,所以当时,方程有两个不相等的实数解;当时,方程有两个相等的实数解;当时,方程总有两个实数解.故选C.2.【答案】解:没有实数根,即.对于方程,方程有两个不相等的实数根.题型21.【答案】解:(1)根据题意得,解得.(2)由为正整数,可得或.利用求根公式可求出方程的根为,方程的根为整数,为完全平方数,的值为2.2.【答案】(1)证明:.不论为何值,即.不论为何值,方程总有实数根.(2)解:解关于的一元二次方程,得.,.方程的两个根都是正整数,是正整数,或.又方程的两个根不相等,.题型31.【答案】解:关于的方程两个相等的实数根,即.或.当时,;当时,.2.【答案】解:由题意可知,.,.题型41.【答案】解:一元二次方程有两个相等的实数根,或,此三角形是等腰三角形.2.【答案】解:方程有两个相等的实数根,即,此三角形是直角三角形.考点4题型11.【答案】C2.【答案】解:由已知可得,则可取5,6,7,8,9.(第一步)当时,代入,故不是方程的根.同理可知,都不是方程的根,是方程的根(第二步)的周长是.题型21.【答案】132.【答案】解:是直角三角形理由如下:原方程可化为,.,且原方程有两个相等的实数根,即是直角三角形.3.【答案】解:将代入原方程,整理得,解得,.当时,即,为直角三角形,且.;当时,不合题意,舍去.因此,的面积为6.题型31.【答案】B2.【答案】解:(1)是等腰三角形.理由如下:把入原方程,得,所以,故是等腰三角形.(2)是直角三角形.理由如下:方程有两个相等的实数根,则,所以,所以,故是直角三角形.(3)如果是等边三角形,则,所以方程可化为,所以,所以方程的解为,.考点5题型11.【答案】解:根据一元二次方程根与系数的关系,有,.(1).(2).(3).题型21.【答案】解:设方程的两根为,则,.设所求方程为,其两根为,令,.,.所求的方程为,即.题型31.【答案】解:设方程两根为,由已知得,即,.解得,.当时,方程为,方程无实数根,不合题意,舍去;当时,方程为,方程有两个不相等的实数根,符合题意.的值为3.2.【答案】解:(1),解得.的取值范围是.(2)设方程的另一根为,由根与系数的关系得解得题型44.【答案】解:不存在.理由如下:一元二次方程有两个实数根,且,.,是方程的两个实数根,.又,.又,不存在实数,使成立.考点61.【答案】解:方法一:设第二次采购玩具件,则第一次采购玩具件,由题意得.整理得,解得,经检验,都是原方程的解.当时,第二次采购时每件玩具的批发价为(元),高于玩具的售价,不合题意,舍去;当时,第二次采购时每件玩具的批发价为(元),低于玩具的售价,符合题意,因此第二次采购玩具60件.方法二:设第一次采购玩具件,则第二次采购玩具件,由题意得,整理得,解得,经检验,都是原方程的解.第一次采购40件时,第二次采购(件),批发价为(元),不合题意,舍去;第一次采购50件时,第二次采购(件),批发价为(元),符合题意.因此第二次采购玩具60件.题型23.【答案】解:设慢车每小时行驶千米,则快车每小时行驶千米,依题意得.解得(不合题意,舍去),.所以.快车每小时行驶72千米,慢车每小时行驶60千米.应用34.【答案】解:(1)设乙工程队单独施工天完成此项工程,则甲工程队单独施工天完成此项工程,由题意得,整理,得,解得,.经检验,都是分式方程的解,但不符合题意,应舍去,故,.故甲、乙两工程队单独完成此项工程分别需要60天,30天.(2)(3)由题意得,解得.故甲工程队至少要单独施工36天后,再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程,才能使施工费不超过64万元.考点7题型11.【答案】2015【解析】把代入方程中得到,即.2.【答案】解:,且,即,则.又是一元二次方程的根,.原式.题型21.【答案】D2.【答案】A3.【答案】解:(1),.(2),.题型31.【答案】B2.【答案】B3.【答案】解:关于的方程有两个相等的实数根,(舍去).当为腰时,周长为.当为腰时,不能构成三角形的周长为12.题型41.【答案】A2.【答案】解:由题意,得,即.又方程有两个不相等的实数根,即,.3.【答案】解:方程有两个实数根,.又,.,且,当时,的值最小此时,即最小值为.【解析】本题中考虑从而确定的取值范围这一过程易被忽略.题型51.【答案】解:设每件商品降价元,则售价为每件元,每星期的销量为件.根据题意,得.解得,.又要顾客得实惠,故取,即销售单价为56元.答:应将销售单价定为56元.2.【答案】解:(1)当时,.答:甲运动后的路程是.(2)设它们运动了,根据题意,得.解得:,(不合题意,舍去).答:甲、乙从开始运动到第一次相遇时,它们运动了.(3)设它们运动了后第二次相遇,根据题意,得.解得,(不合题意,舍去).答:甲、乙从开始运动到第二次相遇时,它们运动了.题型61.【答案】解:不是.理由如下:解方程,得,.3.5不是整数,方程不是“偶系二次方程”.初中数学九年级上册28 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