三、单纯形法的解题步骤.doc

Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date三、单纯形法的解题步骤三、单纯形法的解题步骤 三、单纯形法的解题步骤 第一步：作单纯形表.（1）                                                                     （1）把原线性规划问题化为标准形式；（2）                                                                     （2）找出初始可行基，通常取约束方程组系数矩阵中的单位矩阵；（3）                                                                     （3）目标函数非基化；（4）                                                                     （4）作初始单纯形表.第二步：最优解的判定.(1) 若所有检验数都是非正数，即 ， 则此时线性规划问题已取得最优解.(2) 若存在某个检验数是正数，即 ，而所对应的列向量无正分量，则线性规划问题无最优解.如果以上两条都不满足，则进行下一步.第三步：换基迭代.（1）找到最大正检验数，设为 ，并确定 所在列的非基变量 为进基变量.（2）对最大正检验数 所在列实施最小比值法，确定出主元，并把主元加上小括号.主元是最大正检验数 所在列，用常数项 与进基变量 所对应的列向量中正分量的比值 最小者；（3）换基：用进基变量 替换出基变量 ，从而得到新的基变量.也就是主元所在列的非基变量进基，所在行的基变量出基；（4）利用矩阵的行初等变换，将主元变为1，其所在列其他元素都变为零，从此得到新的单纯形表；（5）回到第二步，继续判定最优解是否存在，然后进行新一轮换基迭代，直到问题得到解决为止.例3 求 . 解（1） 化标准型：令 ，引进松弛变量 ，其标准型为求 （2） 作单纯形表：在约束方程组系数矩阵中 的系数构成单位矩阵，故取 为基变量，目标函数已非基化了，作初始单纯形表并“换基迭代”（见表6.8）.   x 1 x2 x3 x4 x5 常数 x 3 x 4 x 5 1 0 1 0 0 1 2 0 1 0 0 （1） 0 0 1 5 10 4 S 1 3 0 0 0 0 x 3 x 4 x 2 1 0 1 0 0 （1） 0 0 1 -2 0 1 0 0 1 5 2 4 S 1 0 0 0 -3 -12 x 3 x 1 x 2 0 0 1 -1 2 1 0 0 1 -2 0 1 0 0 1 3 2 4 S 0 0 0 -1 -1 -14 表 6.8                           （3） 最终结果：此时检验数均为非正数，线性规划问题取得最优解，最优解为目标函数取得最优值 .原线性规划问题的最优解为： .目标函数的最优值为14，即 . 例4 用单纯形方法解线性规划问题.求 . 解 此数学模型已是标准型了，其中约束方程含有一个二阶单位矩阵（1、2行，3、4列构成），取 为基变量，而目标函数没有非基化.从约束方程找出， ,代入目标函数 ,经整理后，目标函数非基化了.作单纯形表，并进行换基迭代（见表6.9）.最大检验数 ，由最小比值法知： 为主元，对主元所在列施以行初等变换，基变量 出基，非基变量 进基.表 6.9   x1 x2 x3 x4 常数 x3 x4 1 -1 1 0 -3 (1) 0 1 2 4 S 2 3 0 0 0 x3 x2 -2 0 1 1 -3 1 0 1 6 4 S 11 0 0 -3 12  目前最大检验数 ，其所在列没有正分量，所以该线性规划问题没有最优解.例5用单纯形方法解线性规划问题.求 解 此数学模型已是标准型了，其中约束方程含有一个二阶单位矩阵，取 为基变量，而目标函数没有非基化.从约束方程找出， , 代入目标函数，经整理得 ,目标函数已非基化.作单纯形表，并进行换基迭代(见表6.10).最大检验数 ，由最小比值法知： 为主元，对主元所在列施以行初等变换，基变量 出基，非基变量x2进基，先将主元 化为1，然后再将主元所在列的其他元素化为零. 表 6.10   x 1 x2 x3 x4 常数 x 3 x 4 -2 （2） 1 0 3 1 0 1 4 6 S -2 2 0 0 10 x 2 x 4 -1 1 0 4 0 - 1 2 4 S 0 0 -1 0 6                   至此，检验数均为非正数，故得基础可行解 .原问题的最优解为： .最优值为6，即 .如果我们再迭代一次，将基变量 出基，非基变量 进基（见表6.11）. 表 6.11   x1 x2 x3 x4 常数 x2 x4 -1 1 0 （4） 0 1 2 4 S 0 0 -1 0 6 x2 x1 0 1 1 0 3 1 S 0 0 1 0 6                       可得到另一个基础可行解 , 原问题的最优解为： ，最优值仍为6，说明该线性规划问题有无穷多最优解，其最优解均为6. 如何知道线性规划问题有无穷多最优解呢？ 这主要反映在单纯形表中.如果非基变量所对应的检验数为0，我们可对此列继续进行换基迭代，就可以得到另一个基础可行解.以此作下去，可得到许多基础可行解，即相对应的最优解有无穷多个. -