算法时间复杂度计算示例.doc

【精品文档】如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流算法时间复杂度计算示例.精品文档.基本计算步骤 示例一： (1) int num1, num2;(2) for(int i=0; i<n; i+) (3)     num1 += 1;(4)     for(int j=1; j<=n; j*=2) (5)         num2 += num1;(6)     (7)  分析步骤Step1.分析各条语句执行时间，得到算法（实际）复杂性语句int num1, num2;的频度为1；语句i=0;的频度为1；语句i<n; i+; num1+=1; j=1; 的频度为n；语句j<=n; j*=2; num2+=num1;的频度为n*log2n；算法（实际）复杂性：T(n) = 2 + 4n + 3n*log2nstep2. 计算渐进复杂性忽略掉T(n)中的常量、低次幂和最高次幂的系数，得到 f(n) = n*log2n 可省略：lim(T(n)/f(n) = (2+4n+3n*log2n) / (n*log2n)                    = 2*(1/n)*(1/log2n) + 4*(1/log2n) + 3 当n趋向于无穷大，1/n趋向于0，1/log2n趋向于0，极限等于3。T(n) = O(n*log2n)简化的计算步骤  再来分析一下，可以看出，决定算法复杂度的是执行次数最多的语句，这里是num2 += num1，一般也是最内循环的语句。 并且，通常将求解极限是否为常量也省略掉？ 于是，以上步骤可以简化为： 1. 找到执行次数最多的语句 2. 计算语句执行次数的数量级3. 用大O来表示结果 继续以上述算法为例，进行分析：1.执行次数最多的语句为num2 += num12. T(n) = n*log2n f(n) = n*log2n3. / lim(T(n)/f(n) = 1T(n) = O(n*log2n)-一些补充说明 最坏时间复杂度    算法的时间复杂度不仅与语句频度有关，还与问题规模及输入实例中各元素的取值有关。一般不特别说明，讨论的时间复杂度均是最坏情况下的时间复杂度。这就保证了算法的运行时间不会比任何更长。求数量级 即求对数值(log)，默认底数为10，简单来说就是“一个数用标准科学计数法表示后，10的指数”。例如，5000=5x10 3 (log5000=3) ，数量级为3。另外，一个未知数的数量级为其最接近的数量级，即最大可能的数量级。复杂度与时间效率的关系：c < log2n < n < n*log2n < n2 < n3 < 2n < 3n < n! （c是一个常量）|-|-|-|         较好                     一般              较差-复杂情况的分析 以上都是对于单个嵌套循环的情况进行分析，但实际上还可能有其他的情况，下面将例举说明。1.并列循环的复杂度分析 将各个嵌套循环的时间复杂度相加。例如：for (i=1; i<=n; i+)    x+;for (i=1; i<=n; i+)    for (j=1; j<=n; j+)        x+;解：第一个for循环T(n) = nf(n) = n时间复杂度为(n)第二个for循环T(n) = n2f(n) = n2时间复杂度为(n2)整个算法的时间复杂度为(n+n2) = (n2)。2.函数调用的复杂度分析 例如：public void printsum(int count)   int sum = 1;   for(int i= 0; i<n; i+)      sum += i;         System.out.print(sum);分析：记住，只有可运行的语句才会增加时间复杂度，因此，上面方法里的内容除了循环之外，其余的可运行语句的复杂度都是O(1)。所以printsum的时间复杂度 = for的O(n)+O(1) = 忽略常量 = O(n)*这里其实可以运用公式 num = n*(n+1)/2，对算法进行优化，改为：public void printsum(int count)   int sum = 1;   sum = count * (count+1)/2;      System.out.print(sum);这样算法的时间复杂度将由原来的O(n)降为O(1)，大大地提高了算法的性能。 3.混合情况（多个方法调用与循环）的复杂度分析 例如：public void suixiangMethod(int n)   printsum(n);/1.1   for(int i= 0; i<n; i+)      printsum(n); /1.2      for(int i= 0; i<n; i+)      for(int k=0; k       System.out.print(i,k); /1.3      suixiangMethod 方法的时间复杂度需要计算方法体的各个成员的复杂度。也就是1.1+1.2+1.3 = O(1)+O(n)+O(n2) -> 忽略常数 和 非主要项 = O(n2)-示例2. O(1) 交换i和j的内容temp=i;i=j;j=temp;                    以上三条单个语句的频度为1，该程序段的执行时间是一个与问题规模n无关的常数。算法的时间复杂度为常数阶，记作T(n)=O(1)。如果算法的执行时间不随着问题规模n的增加而增长，即使算法中有上千条语句，其执行时间也不过是一个较大的常数。此类算法的时间复杂度是O(1)。示例3. O(n2)    sum=0；                /* 执行次数1 */   for(i=1;i<=n;i+)            for(j=1;j<=n;j+)         sum+；       /* 执行次数n2 */解：T(n) = 1 + n2 = O(n2)  for (i=1;i<n;i+)         y=y+1;                 for (j=0;j<=(2*n);j+)             x+;                        解：  语句1的频度是n-1        语句2的频度是(n-1)*(2n+1) = 2n2-n-1        T(n) = 2n2-n-1+(n-1) = 2n2-2        f(n) = n2        lim(T(n)/f(n) = 2 + 2*(1/n2) = 2        T(n) = O(n2).示例4. O(n)                                           a=0;  b=1;                       for (i=1;i<=n;i+)         s=a+b;     b=a;       a=s;  解：  语句1的频度：2,                语句2的频度：n,                语句3的频度：n,                语句4的频度：n,            语句5的频度：n,                                          T(n) = 2+4n        f(n) = n        lim(T(n)/f(n) = 2*(1/n) + 4 = 4        T(n) = O(n).                                                                                示例5. O(log2n)   i=1;         while (i<=n)     i=i*2; 解： 语句1的频度是1,        设语句2的频度是t,  则：nt<=n;  t<=log2n      考虑最坏情况，取最大值t=log2n,       T(n) = 1 + log2n       f(n) = log2n       lim(T(n)/f(n) = 1/log2n + 1 = 1       T(n) = O(log2n)示例6. O(n3)   for(i=0;i<n;i+)        for(j=0;j<i;j+)               for(k=0;k<j;k+)           x=x+2;         解：当i=m, j=k的时候,内层循环的次数为k。当i=m时, j 可以取 0,1,.,m-1 ,  所以这里最内循环共进行了0+1+.+m-1=(m-1)m/2次。所以,i从0取到n, 则循环共进行了: 0+(1-1)*1/2+.+(n-1)n/2=n(n+1)(n-1)/2次T(n) = n(n+1)(n-1)/2 = (n3-n)/2f(n) = n3所以时间复杂度为O(n3)。