复杂电路等效电路.doc

Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date复杂电路等效电路复杂电阻网络的处理方法复杂电阻网络的处理方法在物理竞赛过程中经常遇到，无法直接用串联和并联电路的规律求出整个电路电阻的情况，这样的电路也就是我们说的复杂电路，复杂电路一般分为有限网络和无限网络。那么，处理这种复杂电路用什么方法呢？下面，我就结合自己辅导竞赛的经验谈谈复杂电路的处理方法。一：有限电阻网络原则上讲解决复杂电路的一般方法，使用基尔霍夫方程组即可。它包含的两类方程出自于两个自然的结论：（1）对电路中任何一个节点，流出的电流之和等于流入的电流之和。电路中任何一个闭合回路，都符合闭合电欧姆定律。下面我介绍几种常用的其它的方法。1：对称性简化所谓的对称性简化，就是利用网络结构中可能存在的对称性简化等效电阻的计算。它的效果是使计算得以简化，计算最后结果必须根据电阻的串、并联公式；电流分布法；极限法等来完成。在一个复杂的电路中，如果能找到一些完全对称的点，那么当在这个电路两端加上电压时，这些点的电势一定是相等的，即使用导线把这些点连接起来也不会有电流（或把连接这些点的导线去掉也不会对电路构成影响），充分的利用这一点我们就可以使电路大为简化。例（1）如图1所示的四面体框架由电阻都为R的6根电阻丝连接而成，求两顶点A、B间的等效电阻。图1 图2分析:假设在A、B两点之间加上电压，并且电流从A电流入、B点流处。因为对称性，图中CD两点等电势，或者说C、D 间的电压为零。因此，CD间的电阻实际上不起作用，可以拆去。原网络简化成简单的串、并联网络，使问题迎刃而解。解：根据以上分析原网络简化成如图2所示的简单的串、并联网络，由串、并联规律得RAB=R/2例（2）三个相同的金属圈两两正交地连成如图所示的形状，若每一个金属圈的原长电阻为R，试求图中A、B两点之间的等效电阻。图3 图4 图5 分析：从图3中可以看出，整个电阻网络相对于AB的电流流入、流出方式上具有上下对称性，因此可上下压缩成如图所时的等效减化网络。从如图4所示的网络中可以看出，从A点流到O电流与从O点到B电流必相同；从A1点流到O电流与从O点到B1电流必相同。据此可以将O点断开，等效成如图5所示的简单网络，使问题得以求解。解：根据以上分析求得RAB=5R/48例（3）如图6所示的立方体型电路，每条边的电阻都是R。求A、G之间的电阻是多少？分析: 假设在A 、G两点之间加上电压时，显然由于对称性D、B、E 的电势是相等的，C、F、H的电势也是相等的，把这些点各自连起来，原电路就变成了如图7所示的简单电路。解:由简化电路，根据串、并联规律解得RAG=5R/6（同学们想一想，若求A、F或A、E之间的电阻又应当如何简化？）例（4）在如图8所示的网格形网络中，每一小段电阻均为R，试求A、B之间的等效电阻RAB。 图8 图9 图10 图11分析:由于网络具有相对于过A、B对角线的对称性，可以折叠成如图9所示的等效网络。而后根据等电势点之间可以拆开也可以合并的思想简化电路即可。解法(a)：简化为如图9所示的网络以后，将3、O两个等势点短接，在去掉斜角部位不起作用的两段电阻，使之等效变换为如图10所示的简单网络。最后不难算得RAO=ROB=5R/14RAB= RAO+ROB=5R/7解法(b)：简化为如图所示的网络以后，将图中的O点上下断开，如图11所示，最后不难算得RAB=5R/72：电流分布法设定电流I从网络A电流入，B 电流出。应用电流分流思想和网络中任意两点之间不同路径等电压的思想，建立以网络中的各电阻的电流为未知量的方程组，解出各电流I的比例关系，然后选取A到B的某一路经计算A、B 间的电压，再由RAB=UAB/IAB即可算出RAB例：有如图12所示的电阻网络，求A、B之间的电阻RAB分析：要求A、B之间的电阻RAB按照电流分布法的思想，只要设上电流以后，求得A、B 间的电压即可。 图12解：设电流由A流入，B流出，各支路上的电流如图所示。根据分流思想可得I2=I-I1I3=I2-I1=I-2I1A、O间的电压，不论是从AO看，还是从ACO看，都应该是一样的，因此I1(2R)=(I-I1)R+(I-2I1)R解得I1=2I/5取AOB路径，可得AB间的电压UAB=I1*2R+I4*R根据对称性I4=I2=I-I1=3I/5所以UAB=2I/5*2R+3I/5*R=7IR/5RAB=UAB/I=7R/5这种电流分布法事实上已经引进了基尔霍夫定律的思想，所以有一定的一般性。3：Y 变换复杂电路经过Y 变换，可以变成简单电路。如图13和14所示分别为网络和Y网络，两个网络中得6个电阻满足怎样的关系才能使这两个网络完全等效呢 ?所谓完全等效，就是要求Uab=Uab,Ubc=Ubc,Uca=UcaIa=IA,Ib=IB,Ic=IC在Y网络中有IaRa-IbRb=UabIcRc-IaRa=UcaIa+Ib+Ic=0 图13 图14解得Ia=RcUab/(RaRb+RbRc+RcRa)+ RbUca/(RaRb+RbRc+RcRa)在网络中有IAB=UAB/RAB ICA=UCA/RCA IA=IAB-ICA解得IA= （UAB/RAB）-（ UCA/RCA）因为要求Ia=IA ，所以RcUab/(RaRb+RbRc+RcRa)+ RbUca/(RaRb+RbRc+RcRa)= （UAB/RAB）-（ UCA/RCA）又因为要求Uab= UAB ，Uca= UCA 所以要求上示中对应项系数相等，即RAB=(RaRb+RbRc+RcRa)/ Rc -（1） RCA=(RaRb+RbRc+RcRa)/ Rb-（2）用类似的方法可以解得RBC=(RaRb+RbRc+RcRa)/ Ra-(3) (1)、（2）、（3）三式是将Y网络变换到网络的一组变换式。在(1)、（2）、（3）三式中将RAB 、RBC、RCA作为已知量解出Ra、Rb、Rc即可得到Ra=RAB*RCA/(RAB+RBC+RCA)-（4）Rb=RAB*RBC/(RAB+RBC+RCA) -（5）Rc=RBC*RCA/(RAB+RBC+RCA) -（6）(4)、（5）、（6）三式是将网络变换到Y网络的一组变换式。例（1）求如图15所示双T桥网络的等效电阻RAB。图15 图16分析：此题无法直接用串、并联规律求解，需要将双T桥网络中两个小的Y网络元变换成两个小的网络元，再直接用串、并联规律求解即可。解:原网络等效为如图16所示的网络，由此可以算得 RAB=118/934：电桥平衡法 如图19所示的电路称为惠斯通电桥，图中R1、R2、R3、R4分别叫电桥的臂，G是灵敏电流计。当电桥平衡（即灵敏电流计的示数为零）的时候，我们称之为电桥平衡。这时有I1=I2, I3=I4, I1RI=I3R3, I2R2=I4R4有这些关系可以得到 R1/R2=R3/R4 上式称之为电桥平衡条件，利用此式简化对称性不明显的电路，十分方便。 图19例:有n 个接线柱，任意两个接线柱之间都接有一个电阻R求任意两个接线柱之间的电阻。 分析：粗看本题根本无法求解，但是能充分利用电桥平衡的知识，则能十分方便得求解。解：如右图所示，设想本题求两接线柱A、B之间的等效电阻，根据对称性易知，其余的接线柱CDE- 中，任意两个接线柱之间的电阻无电流通过，故这些电阻都 可以删除，这样电路简化为:A、B之间连有电阻R，其余（n-2）个接线柱之间仅有电阻分别与A、B两点相连，它们之间没有电阻相连。即1/RAB=1/R+1/2R/(n-2)所以 RAB=2R/n二：无限电阻网络无限电阻网络分为线型无限网络和面型无限网络，下面我们就这两个方面展开讨论1：线型无限网络所谓“线型”就是一字排开的无限网络，既然研究对象是无限的，就可以利用“无限”这个条件，再结合我们以上讲的求电阻的方法就可以解决这类问题。例（1）如图所示的电路是一个单边的线型无限网络，每个电阻的阻值都是R，求A、B之间的等效电阻RAB .图21解：因为是“无限”的，所以去掉一个单元或增加一个单元不影响等效电阻即RAB应该等于从CD往右看的电阻RCDRAB=2R+R*RCD/(R+RCD)=RCD整理得 RCD2-2RRCD-2R2=0解得：RCD=（1+31/2）R= RAB例（2）一两端无穷的电路如图22所示，其中每个电阻均为r求a、b两点之间的电阻。图22 图23解：此电路属于两端无穷网络，整个电路可以看作是由三个部分组成的，如图所示，则Rab=(2Rx+r)r/(2Rx+2r) 即是无穷网络，bb1之间的电阻仍为Rx 则 Rx=（31/2-1）r代入上式中解得Rab=（6-31/2）*r/62：面型无限网络解线性无限网络的指导思想是利用网络的重复性，而解面型无限网络的指导思想是利用四个方向的对称性。例（1）如图27所示是一个无穷方格电阻丝网络的一部分，其中每一小段电阻丝的阻值都是R求相邻的两个结点A、B之间的等效电阻。分析：假设电流I从A点流入，向四面八方流到无穷远处，根据对称性，有I/4电流由A点流到B点。假设电流I经过无限长时间稳定后再由四面八方汇集到 B点后流出，根据对称性，同样有I/4电流经A点流到B点。 图27解:从以上分析看出，AB段的电流便由两个I/4叠加而成，为I/2因此 UAB=(I/2)*rA、B之间的等效电阻 RAB=UAB/I=r/2例（2）有一无限平面导体网络，它有大小相同的正六边型网眼组成，如下图所示。所有正六边型每边的电阻均为R0，求间位结点a、b间的电阻。分析：假设有电流I自a电流入，向四面八方流到无穷远处，那么必有I/3 电流由a流向c，有 I/6电流由c流向b.再假设有电流I由四面八方汇集b点流出，那么必有I/6电流由f流向 c, 有I/3电流由c流向b.解：将以上两种情况结合，由电流叠加原理可知Iac=I/3+I/6=I/2(由a流向c)Icb=I/3+I/6=I/2(由c流向b)因此ab之间的等效电阻为Rab=Uab/I=(IacR0+IcbR0)/I=R0 -