高考文科数学二轮专题复习讲义基本初等函数、函数与方程及函数的应用.doc

第2讲基本初等函数、函数与方程及函数的应用 考点1基本初等函数的图象及性质1指数与对数式的七个运算公式(1)amanamn；(2)(am)namn；(3)loga(MN)logaMlogaN；(4)logalogaMlogaN；(5)logaMnnlogaM；(6)alogaNN；(7)logaN.注：a>0且a1，b>0且b1，M>0，N>0.2指数函数与对数函数的图象和性质指数函数yax(a>0，a1)与对数函数ylogax(a>0，a1)的图象和性质，分0<a<1，a>1两种情况，当a>1时，两函数在定义域内都为增函数，当0<a<1时，两函数在定义域内都为减函数例1(1)2019全国卷已知alog20.2，b20.2，c0.20.3，则()Aa<b<cBa<c<bCc<a<b Db<c<a(2)2018全国卷已知函数f(x)ln(x)1，f(a)4，则f(a)_.【解析】(1)本题主要考查对数函数与指数函数的单调性，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算alog20.2<0，b20.2>1，c0.20.3(0,1)，a<c<b.故选B.(2) f(x)f(x)ln(x)1ln(x)1ln(1x2x2)22， f(a)f(a)2， f(a)2.【答案】(1)B(2)21三招破解指数、对数、幂函数值的大小比较(1)底数相同，指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较；(2)底数相同，真数不同的对数值用对数函数的单调性比较；(3)底数不同、指数也不同，或底数不同、真数也不同的两个数，常引入中间量或结合图象比较大小2警示(1)对于含参数的指数、对数问题，在应用单调性时，要注意对底数进行讨论；(2)解决对数问题时，首先要考虑定义域，其次再利用性质求解.对接训练12019山东青岛模拟若f(x)(m1)x22mx3是偶函数，则f(1)，f()，f()的大小关系为()Af()>f()>f(1)Bf()<f()<f(1)Cf()<f()<f(1)Df(1)<f()<f()解析：因为f(x)(m1)x22mx3为偶函数，所以m0，即f(x)x23，f(x)在0，)上为减函数，又f()f()，f(1)f(1)且1<<，所以f(1)>f()>f()，即f()<f()<f(1)故选B.答案：B22019广东茂名五大联盟学校联考若关于x的不等式4xlogax在x上恒成立，则实数a的取值范围是()A. B.C. D.解析：不等式4xlogax，可化为4xlogax，即当x时，函数y4x的图象不在函数ylogax的图象上方画出函数y4x的图象及函数ylogax的图象(图略)，显然a>1不成立，故0<a<1.数形结合易知当且仅当4loga时满足题意，即loga，所以a，得a，所以a<1.故选D.答案：D 考点2函数的零点1函数的零点的定义对于函数f(x)，我们把使f(x)0的实数x叫做函数f(x)的零点2确定函数零点的常用方法(1)解方程法；(2)利用零点存在性定理；(3)数形结合，利用两个函数图象的交点求解例2(1)2019湖北襄阳七校联考设a是方程2ln x3x的解，则a在下列哪个区间内()A(0,1) B(3,4)C(2,3) D(1,2)(2)2019广西宜州联考若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x2)f(x)，且当x0,1时，f(x)x，则函数yf(x)log3|x|的零点个数是()A5 B4C3 D2【解析】(1)令f(x)2ln x3x，则函数f(x)在(0，)上单调递增，且f(1)2<0，f(2)2ln 21ln 41>0，所以函数f(x)在(1,2)内有零点，即a在区间(1,2)内(2)偶函数f(x)满足f(x2)f(x)，函数的周期为2.当x0,1时，f(x)x，故当x1,0时，f(x)x.函数yf(x)log3|x|的零点个数等于函数yf(x)的图象与函数ylog3|x|的图象的交点个数在同一个坐标系中画出函数yf(x)的图象与函数ylog3|x|的图象，如图所示显然函数yf(x)的图象与函数ylog3|x|的图象有4个交点，故选B.【答案】(1)D(2)B1判断函数零点个数的方法(1)直接求零点：令f(x)0，则方程解的个数即为零点的个数(2)零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在a，b上是连续的曲线，且f(a)f(b)<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点(3)数形结合：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，然后数形结合，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点2警示应注意函数的零点不是函数图象与x轴的交点，能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值进行准确互化.对接训练32019山东青岛模拟已知a是函数f(x)2xlogx的零点，若0<x0<a，则f(x0)的值满足()Af(x0)0 Bf(x0)>0Cf(x0)<0 Df(x0)0解析：在同一坐标系中作出函数y2x，ylogx的图象，由图象可知，当0<x0<a时，有2x0<logx0，即f(x0)<0.答案：C42019湖南永州第二次模拟若函数f(x)2|x|k存在零点，则k的取值范围是()A(，0) B0，)C(，1) D1，)解析：由函数f(x)2|x|k存在零点，得2|x|k有解，作出函数y2|x|的图象如图所示，则由图象可知，要使函数f(x)2|x|k存在零点，只需y2|x|与yk的图象有交点，则k1，故选D.答案：D 考点3函数的实际应用1应用函数模型解决实际问题的一般程序.2函数实际应用题的常见类型及解题关键(1)常见类型：与函数有关的应用题，经常涉及物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题(2)解题关键：解答这类问题的关键是确切地建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答例3北京卷根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是(参考数据：lg 30.48)()A1033B1053C1073 D1093【解析】由题意，lglglg 3361lg 1080361lg 380lg 103610.4880193.28.又lg 103333，lg 105353，lg 107373，lg 109393，故与最接近的是1093.故选D.【答案】D解决函数实际应用题的两个关键点(1)认真读题，缜密审题，准确理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学地抽象概括，将实际问题归纳为相应的数学问题(2)要合理选取参变量，设定变量之后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数模型，最终求解数学模型使实际问题获解.对接训练52019云南保山联考某种新药服用x h后，血液中的药物残留量为y毫克，如图，为函数yf(x)的图象，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟应在当日()A上午10：00 B中午12：00C下午4：00 D下午6：00解析：当x0,4时，设yk1x，把(4,320)代入，得3204k1，解得k180，所以y80x.当x(4,20时，设yk2xb.把(4,320)，(20,0)分别代入可得解得所以y40020x.所以yf(x)令f(x)240，得x3或x8.故第二次服药最迟应在当日下午4：00.答案：C课时作业4基本初等函数、函数与方程及函数的应用12019河南省实验中学质量预测已知函数f(x)3x22(m3)xm3的值域为0，)，则实数m的取值范围为()A0，3 B3,0C(，30，) D0,3解析：由题意知，对于方程f(x)0，2(m3)243(m3)0，解得m3或m0，实数m的取值范围为0，3，故选A.答案：A22019安徽皖江八校联考已知函数yxa，yxb，ycx的图象如图所示，则a，b，c的大小关系为()Ac<b<a Ba<b<cCc<a<b Da<c<b解析：由图象可知，a>1，b，0<c<，得a>b>c，故选A.答案：A32019内蒙古一模已知函数f(x)则f()A1 B1C. D解析：函数f(x)fln1，ff(1)21(1)3.故选C.答案：C42019西藏拉萨第二次模拟已知a0.50.8，b0.80.5，c0.80.8，则()Ac<b<a Bc<a<bCa<b<c Da<c<b解析：由题意，根据指数函数与幂函数的单调性，可得a0.50.8<0.50.5，b0.80.5>0.50.5，所以b>a，又由c0.80.8>0.50.8，所以c>a，又b0.80.5>c0.80.8，所以a<c<b，故选D.答案：D52019安徽江淮名校联考已知函数f(x)，则f(x)是()A奇函数，且在R上是增函数B偶函数，且在(0，)上是增函数C奇函数，且在R上是减函数D偶函数，且在(0，)上是减函数解析：函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，f(x)，则f(x)f(x)0，所以f(x)是奇函数，函数f(x)显然是减函数故选C.答案：C62019山西大同模拟函数f(x)|lg(2x)|在下列区间中为增函数的是()A(，1 B.C. D1,2)解析：将ylg x的图象关于y轴对称得到ylg(x)的图象，再向右平移两个单位长度，得到ylg(x2)的图象，将得到的图象在x轴下方的部分翻折上来，就可以得到f(x)|lg(2x)|的图象如图所示，由图象知，在选项中的区间上，满足f(x)是增函数的显然只有D.故选D.答案：D72019安徽天长联考生产一定数量商品的全部费用称为生产成本某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本(单位：万元)为C(x)x22x20.一万件的售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品的数量为()A36万件 B18万件C22万件 D9万件解析：设利润为L(x)万元，则利润L(x)20xC(x)(x18)2142，当x18时，L(x)有最大值答案：B82019广西桂林一模下列函数中是奇函数且有零点的是()Af(x)x|x| Bf(x)x1xCf(x)tan x Df(x)sin解析：A选项，因为f(x)x|x|，所以f(x)x|x|，而f(x)x|x|，所以f(x)x|x|不是奇函数，排除A；B选项，因为f(x)x1x，所以f(x)x1xf(x)，所以函数f(x)是奇函数，但令f(x)0，可知方程无解，即f(x)没有零点，所以排除B；D选项，因为f(x)sincos x，所以f(x)cos xf(x)，即f(x)为偶函数，排除D；C选项，因为f(x)tan x，所以f(x)tan xf(x)，所以f(x)是奇函数，又由正切函数的图象和反比例函数的图象易知，曲线y与ytan x必然有交点，因此函数f(x)tan x必有零点故选C.答案：C92019山东青岛联考如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)log2(x1)的解集是()Ax|1<x0 Bx|1x1Cx|1<x1 Dx|1<x2解析：令g(x)ylog2(x1)，易知g(x)的定义域为(1，)，作出函数g(x)的图象，如图所示由得所以结合图象知不等式f(x)log2(x1)的解集为x|1<x1故选C.答案：C102019西藏日喀则一高月考如图是二次函数yax2bxc图象的一部分，图象过点A(3,0)，对称轴为直线x1.给出下列四个结论：b2>4ac；2ab1；abc0；5a<b.其中正确的是()A BC D解析：根据二次函数的图象，可以确定二次函数yax2bxc的图象与x轴必有两个交点，即方程ax2bxc0有两个不相等的实数根，b24ac>0，即b2>4ac，故正确；图象的对称轴为直线x1，2ab0，故错误；当x1时，由图象可知yabc0，故错误；函数图象开口向下，a<0,5a<2a，又b2a，5a<b，故正确故选B.答案：B112019河北保定月考设定义在R上的函数f(x)满足f(x2)f(x)，且f(x)则函数g(x)lg x的图象与函数f(x)的图象的交点个数为()A3 B5C9 D10解析：因为函数f(x)满足f(x2)f(x)，所以f(x4)f(x2)f(x)，所以函数f(x)是以4为周期的周期函数在同一平面直角坐标系内作出函数f(x)的图象与函数g(x)lg x的图象，如图所示，由图可知两曲线有9个交点答案：C122019湖北荆门模拟若函数f(x)(m2)x2mx(2m1)的两个零点分别在区间(1,0)和区间(1,2)内，则m的取值范围是()A. B.C. D.解析：依题意，结合函数f(x)的图象可知m需满足即解得<m<.答案：C132019四川德阳一诊若函数f(x)2x，g(x)log2x，则fg(2 019)gf(2 019)_.解析：fg(2 019)gf(2 019)f(log22 019)g(22 019)2log222 0192 019 2 0194 038.答案：4 038142019黑龙江大庆模拟已知a是实数，函数f(x)2ax22x3在1,1上恒小于零，则实数a的取值范围是_解析：由题意知2ax22x3<0在1,1上恒成立当x0时，3<0，符合题意；当x0时，a<2，易知(，11，)，所以当x1时，2取得最小值，所以a<.综上，实数a的取值范围是.答案：152019北京十一中月考已知14C的半衰期为5 730年(是指经过5 730年后，14C的残余量占原始量的一半)设14C的原始量为a，经过x年后的残余量为b，残余量b与原始量a的关系为baekx，其中x表示经过的时间，k为一个常数现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C的残余量约占原始量的76.7%.请你推断一下马王堆汉墓修建距今约_年(参考数据：log2 0.7670.4)解析：由题意可知，当x5 730时，ae5 730ka，解得k.现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C的残余量约占原始量的76.7%.所以76.7%e，得ln 0.767x，x5 7305 730log20.7672 292.答案：2 292162019天津南开一模设函数f(x)若函数g(x)xaf(x)有三个零点，则这三个零点之和的取值范围是_解析：函数f(x)函数g(x)xaf(x)有三个零点，即方程af(x)x有三个根，f(x)x所以函数ya和yf(x)x的图象有三个交点在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，如图所示设三个交点的横坐标分别为x1，x2，x3，且x1<x2<x3.易知x26x6的最小值为3，由3x43，得x，所以x1.根据二次函数图象的对称性得到x2x36，所以x1x2x3.答案：