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【精品文档】如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流高数下册笔记精.精品文档.第七章 微分方程§1 微分方程的基本概念一.基本概念:1.微分方程;凡表示未知函数,未知函数的导数与自变量之间的关系式称为微分方程2.常微分方程;如果微分方程中的未知函数是一元函数，则称此类方程为常微分方程3.偏微分方程; 如果微分方程中的未知函数是多元函数，则称此类方程为偏微分方程4.微分方程的阶;微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，就称为此微分方程的阶5.微分方程的解;将某个已知函数代入到微分方程的左右两边可使其成为恒等式，那么就称此已知函数为此微分方程的解6.微分方程的通解:如果微分方程的解中含有任意常数，并且任意常数的个数与微分方程的阶数相等，则这样的解就称为此微分方程的通解7.微分方程的初始条件与特解.8.微分方程的积分曲线: 微分方程的解的图象是一条平面曲线，称此曲线为微分方程的积分曲线二例题分析P2635写出由下列条件所确定的曲线所满足的微分方程:例1曲线在点处的切线的斜率等于该点横坐标的平方.解：设该曲线的方程为,则由题意得: .-这就是所需确定的曲线应满足的微分方程例2曲线上点处的法线与轴的交点为,且线段被轴平分.解：设该曲线的方程为,且设曲线在点P处的法线记为L，则其斜率为；设法线与轴的交点为点，再设法线上任意一点的坐标为M，进而得法线的方程为：且即；则易求得：且由题意知点为线段的中点知：且由上述，两式最终可得：-这就是所需确定的曲线应满足的微分方程§2可分离变量的一阶微分方程（注：它是一类最易求解的微分方程！）一一阶微分方程的一般形式和一阶微分方程的对称形式：一般形式：对称形式：二何为可分离变量的一阶微分方程？如果某一阶微分方程由对称式：，可等价地转化为的形式，则称原方程为可分离变量的微分方程三可分离变量的一阶微分方程的基本解法：（可由如下两步来完成求解过程）第一步：进行自变量，与因变量，的左右分离；第二步：方程两边同时作不定积分即可求得原方程的隐式通解§一阶齐次微分方程（注：它是一类经变量代换之后，可转化为变量左右分离的一阶微分方程！）一一阶齐次微分方程的定义：在某个一阶微分方程中，如果方程右边的函数可写成的函数式即，也即原方程形如：，则称此微分方程为一阶齐次微分方程二一阶齐次微分方程的基本解法：转化求解法即首先将原一阶齐次微分方程转化为变量分离方程；然后再按变量分离方程的解法去求解即可！具体地说，第一步，作变量代换令，则，代入原一阶齐次微分方程得：；第二步，进行变量与的左右分离得：；第三步，两边求不定积分即可得其解三例题分析参见271例又如276（4）求方程的通解解：原方程可转化为，作变量代换令，则；则原方程转化为：（注意：齐次方程在进行变量代换之后，一定是可以进行变量分离的！）紧接着就进行自变量与因变量的左右分离最后两边作不定积分即可§一阶线性微分方程一一阶线性微分方程的定义：称形如：的方程为一阶线性微分方程（注：因为方程的左边对未知函数及其导数来说是一次线性组合的形式，所以称上述方程为线性方程！）（i）.当时，则称为一阶线性齐次微分方程（ii）.当时，则称为一阶线性非齐次微分方程二一阶线性微分方程的解法（常数变易法是求解线性非齐次方程的基本方法）所谓的常数变易法：就是为了求解某一阶线性非齐次方程，可先去求解与其所对应的齐次方程；然后在所得齐次方程的通解中，将任意常数代换成一个待定的未知函数来构造生成非齐次方程的解；最后再将由此法构造生成的解，代回原非齐次方程中去确定那个待定函数的表达式整个这样的求解过程就称为非齐次方程的常数变易法（可参考278例）一阶线性微分方程：的通解公式如下：请牢记！三伯努利方程（注：它是一类经变量代换之后可转化为可分离变量的一阶微分方程！）伯努利方程的定义我们称形如：（）的方程为伯努利方程（或称级伯努利方程）伯努利方程的解法（变量代换转化法）只要令，则，将其代入原级伯努利方程（）可得-这是一个一阶线性非齐次方程!进而可由一阶线性非齐次方程的通解公式求出其解,这样也就求出原伯努利方程（）的解!变量代换法在求解微分方程中的运用利用变量代换（包括自变量的变量代换和因变量的变量代换），把一个微分方程转化为可分离变量方程，或转化为一个已知其求解步骤的方程，这是解微分方程的常用方法例解方程2829（1）解：可令，则原方程转化为两边积分就可得其解例282.9.（3）解方程解：可令两边关于自变量求导得代入原方程得：，两边积分就可得其解§可降阶的高阶微分方程（本节着重掌握三种容易降阶的高阶微分方程的解法）一型微分方程这类高阶微分方程的解法很简单，只要两边积分次，就可得其通解二型微分方程首先此方程的类型是二阶显微分方程，且此这类二阶显微分方程的特征是不显含因变量此类方程的解法：运用变量代换进行降阶求解具体地，可令，则，进而原方程转化为：这是一个一阶显微分方程根据其具体形式，可按前几节所介绍的求解一阶方程的解法去求解得其通解设为又，也即有，最后只要两边再作一次积分，就可得原二阶显微分方程的解三型微分方程首先方程的类型也是二阶显微分方程，且此这类二阶显微分方程的特征是不显含自因变量此类方程的解法：也是运用变量代换进行降阶求解具体地，可令，则，进而原方程转化为这也是一个一阶显微分方程根据其具体形式，可按前几节所介绍的求解一阶方程的解法去求解设得其通解为又，也即有，最后只要两边再作一次积分，就可得原二阶显微分方程的解四例题分析2921（5）求解方程：解：第一步：判定此方程的类型是二阶显微分方程且不显含因变量，即型接着可令，则，进而原方程转化为：这是一阶线性非齐次方程由一阶线性非齐次方程的通解公式知：；进而知：，最后只要两边再作一次积得原方程的通解五微分方程的参数方程形式的隐式通解及其在有关问题中的运用所谓微分方程的参数方程形式的隐式通解就是将微分方程的通解用参数方程形式来刻画即将微分方程的自变量与因变量都表达成某个参数的函数式的形式例如：2921（4）求解方程：解：首先判定此方程的类型是二阶显微分方程且不显变量和，它同属与型；所以解法相对由自以下我们来介绍微分方程的参数方程形式的隐式通解给大家！先设，则进而原方程转化为：这就求得了自变量关于参数的函数式；以下再来求出因变量关于参数的函数式，进而就可得原方程的参数方程形式的隐式通解由，所以；从而原方程的参数方程形式的隐式通解为：注：运用同样的方法，大家可以尝试一下去求解292（8）；（9）；（10）§高阶线性微分方程（主要的是学习二阶线性微分方程的有关理论！）一二阶线性微分方程的定义： 称形如：（）的方程为二阶线性微分方程（注：方程的左边对未知函数及其导数这三者来说，是一次线性组合形式！）（i）.当时，则称为二阶线性齐次微分方程（ii）.当时，则称为二阶线性非齐次微分方程二二阶线性微分方程的解的结构二阶线性齐次微分方程解的叠加原理定理：设与都是二阶线性齐次微分方程的解，则此两解的任意线性组合也是此二阶线性齐次微分方程的解定理揭示了齐次方程的解所满足的一种性质此性质常称为齐次方程解的叠加原理多个函数间的线性相关性与线性无关性的定义（参见教材296从略）特别地，两个函数与在区间上线性相关常数，二阶线性齐次微分方程的通解的结构定理：设与是二阶线性齐次微分方程的解，且与线性无关，则此两解的任意线性组合就是原二阶线性齐次微分方程的通解定理揭示了如何用齐次方程的两个线性无关的特解去构造生成齐次方程的通解！ 二阶线性非齐次微分方程通解的结构定理：设是二阶线性非齐次微分方程（）的一个特解，且是对应的二阶线性齐次方程的通解，则就是原二阶线性非齐次微分方程（）的通解定理揭示了如何用齐次方程的通解去构造非齐次方程的通解！即：非齐次通解齐次通解非齐次特解二阶线性非齐次微分方程解的叠加原理（297定理）定理：设有二阶线性非齐次微分方程，（其中）而是的特解，且是的特解则就是原二阶线性非齐次方程的一个特解定理揭示了如何去求非齐次方程特解的一种方法它通常又称为非齐次方程解的叠加原理！定理：设与是二阶线性非齐次微分方程（）的两个不相等的特解，则是对应的二阶线性齐次方程的一个非零特解此定理揭示了如何用二阶线性非齐次方程的二个特解去构造生成对应的齐次方程的特解！例题分析326.(4)已知是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，试求该方程的通解？分析与解答：设此二阶线性非齐次微分方程为（），则由定理知：非齐次通解齐次通解非齐次特解，现由题意知非齐次特解可取之中的任意一个，故以下只要求出齐次通解来即可再由定理知：齐次通解是两个线性无关的齐次特解的任意线性组合即：（其中是两个线性无关的齐次特解）而现在又应如何来求得两个线性无关的齐次特解呢？这可根据定理来得到！由定理知，可令：且，且显然两者线性无关，所以原非齐次方程的通解为三二阶线性非齐次微分方程的求解过程中的常数变易法与二阶线性非齐次微分方程的通解公式二阶线性非齐次微分方程求解过程中的常数变易法为了求解二阶线性非齐次微分方程（），可先求解与之对应的齐次方程；第一步：先求得对应的二阶线性齐次微分方程（）的两个线性无关特解与，则由定理知：（）就是原二阶线性齐次微分方程（）的通解；第二步：对齐次方程的通解（）作常数变易，去构造生成非齐次微分方程（）的解为()（其中是两个待定的未知函数）；第三步：接下来将（）式代入原非齐次方程（）并设法去求出，这样也就求出了原非齐次方程（）的解了！这就是二阶线性非齐次微分方程求解过程中的常数变易法二阶线性非齐次微分方程的通解公式定理设与是二阶线性齐次方程（）的两个线性无关的特解，记，则与之对应的二阶线性非齐次方程（）有通解公式：§常系数齐次线性微分方程（重点是掌握二阶线性常系数微分方程的有关理论！）一二阶线性常系数微分方程的定义： 在二阶线性微分方程：（）之中，(i)如果的系数都是常数，即（）式成为（其中为常数），则称其为二阶线性常系数微分方程；(ii)如果不全为常数，则称为二阶线性变系数微分方程 二二阶常系数齐线性微分方程的解法：（如下方法通常称为特征根公式法）第一步，写出原微分方程的特征方程，并求出此方程的二个特征根；第二步，根据特征根的不同情形，原方程的通解公式如下：(i)若特征根不相等，则原方程的通解为：；(ii)若特征根为相等，则原方程的通解为：；(iii)若特征根为一对共轭复根，则原方程的通解为：三二阶常系数齐次线性微分方程的求解举例：参见教材304-305例; 例; 例等§常系数非齐次线性微分方程（重点只需掌握如下关于二阶线性常系数非齐次微分方程的通解公式！）一关于二阶线性常系数非齐次微分方程（其中为常数）有如下结论：定理：设与是二阶线性常系数非齐次微分方程（）的两个线性无关的特解，记，则与之对应的二阶线性非齐次方程（）有通解公式：请记牢！注：此定理只不过是第七节中介绍的定理的一个特例而已！二常系数二阶非齐次线性微分方程求解举例例如313.例求方程的通解解：由定理应首先求对应的齐次方程的通解，再运用定理来求原非齐次方程的通解易知齐次方程的特征方程为，特征根于是，齐次方程的两个线性无关的特解为；进而原非齐次方程的通解为：三本章杂例3277设有可导函数满足，求分析与解答：这是一个积分方程，求解积分方程的思路：首先我们把它转化为一个与其对应的微分方程，再来求解现由两边关于自变量求导数得：现记，则有这是一阶线性非齐次微分方程由通解公式得：又由条件知，当时，则，所以综上得原方程的解为：四综述求解微分方程的一般程序如下：第一步，判定方程的类型，它是一阶微分方程还是二阶微分方程？（我们知道标准求解步骤的一阶方程类型包括：可分离变量方程；齐次方程；一阶线性（非）齐次方程；贝努利方程）；第二步，根据我们在本章所讲的各种方程的标准解法去求解！补充说明：如果方程类型是我们很陌生的形式，那么就首先考虑运用变量代换法将其转化为我们所熟悉的方程类型；然后再按上面的标准步骤去解决问题第八章 空间解析几何§ 向量及其线性运算一. 一些基本概念 向量与自由向量;单位向量与零向量;向量的共线与共面;向量的模,方向角,以及投影等.二. 向量的加法运算与数乘运算的定义三.向量的线性运算在空间直角坐标系下的表达 借助于空间直角坐标系，向量间的线性运算可以转化为它们坐标之间的线性运算§ 向量的数量积向量积混合积一两个向量的数量积数量积的定义 （其中为向量之间的夹角）数量积与投影之间的关系数量积的运算规律二两个向量的向量积向量积的定义 （其中为向量之间的夹角）向量积的模的几何意义：它表示以向量为邻边所成的平行四边形的面积三三个向量的混合积混合积的定义 三个混合积的模的几何意义：它表示以向量为邻边所成的平行六面体的有向体积 即；(i) 当呈右手系时，；(ii) 当呈左手系时，§ 曲面及其方程一. 曲面方程的概念1. 如果某曲面S上的点的坐标与某个三元方程的解之间能构成一一对应,则称这个三元方程为此曲面S的方程;2. 建立曲面方程的一般方法:首先在所求曲面上任取一点M，记其坐标为,然后利用该曲面的特征并将其等价地表达为点的坐标应满足的条件式即可!例如 :试求球心在点,半径为R的球面方程? 解:设为所求球面上任意一点,则由即所以二. 旋转曲面1. 旋转曲面的定义(参见P312)2. 坐标平面内的平面曲面绕坐标轴旋转所成旋转曲面的方程及其特点:例如: 将坐标平面内的曲线： 绕轴旋转所成旋转曲面的方程只要将平面曲线：的方程中的代换为，即得旋转曲面的方程为又如: 将坐标平面内的曲线：绕轴旋转所成旋转曲面的方程只要将平面曲线：的方程中的代换为，即得旋转曲面的方程为三. 柱面1.柱面的定义(参见P314)2.四种常见的柱面:圆柱面;椭圆柱面;抛物柱面;双曲柱面3.二元方程在空间直角坐标系中的几何意义: 二元方程在空间直角坐标系中的总表示一个母线平行于坐标轴的柱面.例如:方程表示的就是一个以坐标平面内的曲线：为准线，母线平行于轴的柱面四. 二次曲面1. 九种二次曲面的标准方程及其大致的曲面形状2. 掌握运用对旋转曲面伸缩变形来认识一般的二次曲面形状的思想方法;例如： 椭圆锥面：的大致形状可以按如下方式分析：首先将曲面方程中的改成，易知方程：表示的是一个旋转曲面，且它可以由平面内的两条对称直线：绕轴旋转来生成；进而把此旋转曲面沿轴方向伸或缩倍，即得椭圆锥面：的形状！§4 空间曲线及其方程一. 空间曲线的一般方程：即将空间曲线看成两张曲面的交线形式设和是某两张曲面的方程，则它们的交线为；二. 空间曲线的参数方程，（有关定义参见）三. 空间曲线向坐标平面的投影曲线与投影柱面（定义参见）四. 二个三元方程联立消元的几何意义联立消元的几何意义：实际上就是在求这两个方程联立的方程组所表示的空间曲线向某个坐标面内的投影柱面的方程例如：试求球面与平面的交线在坐标面上的投影柱面与投影曲线的方程？解：即需求空间曲线，向坐标面内的投影柱面与投影曲线的方程为此，只要在上述方程组中消去变量，得即为所需求的投影柱面的方程，而上述空间曲线向坐标面的投影曲线的方程为§5平面及其方程一. 平面的点法式方程 设某平面过一定点且以为其法向量，则所求平面的点法式方程为：二. 平面的一般式方程：（应知此平面是以向量为其法向量的某一张平面）三. 平面的截距式方程：；数值分别称为该平面在，轴上的截距四. 两个平面的夹角两个平面的夹角是指这两个平面的法向量之间的夹角（当其是锐角时），或者是指这两个平面的法向量之间的夹角的补角（当其是钝角时）五. 点到面的距离公式设是空间中的任意一点，记其到平面：的距离为，则§6 空间直线及其方程一.空间直线的一般方程(或称交线式方程)：二.空间直线的点向式方程(或称对称式方程)：三.空间直线的参数式方程由空间直线的点向式方程：，得此即为该直线的参数式方程；四.空间直线的两点式方程设有直线过两点，则此直线的两点式方程为五.两直线的夹角两直线的夹角是指这两条直线的方向向量之间的夹角（当其是锐角时），或者是指这两条直线方向向量之间的夹角的补角（当其是钝角时）六. 直线与平面的夹角（定义参见）七. 平面束的方程及其在解题中的运用 所谓平面束就是指经过某一定直线的所有平面的全体；平面束的方程可由此定直线的方程构造而得具体地说，若设直线的方程为，其中系数与不成比例，则以直线为轴的平面束的方程为：（注：不同位置的平面对应于不同的参数的取值）平面束的概念在解题中的运用例：参见例例：求过点且过直线：的平面方程？解：由直线的对称式：，得直线的一般式方程为，从而由平面束的概念知：可设所求平面的方程为：（其中为待定系数！）（）现由点在此平面上，所以应有，解得最后，将此值代入方程（）即得所需求的平面方程八点到直线的距离公式设点是直线外一点，是直线的方向向量且点是直线上任意一点，则点到直线的距离的计算公式为：（注：此式只要运用向量积模的几何意义即可证明！）九直线与平面的位置关系线与面的位置关系有如下四种：线在面内；线面平行；线面垂直；线面斜交现设直线的方向向量为，平面的法向量为，则有如下结论：线在面内：且但；线面平行：，且；线面垂直：； 线面斜交：不成立不成立；十本章有关的一些解题技巧求交点类问题：在此类问题中，运用直线的参数式方程来求解常常过程要简单一些例如：试求直线：与平面的交点？解：易知直线的参数为，将其代入平面的方程，得，解得，进而知交点的坐标为求距离类问题有时也可用直线的参数式来求解例如：求点到直线：的距离？解：直线：，设点为直线上的一动点其坐标可设为，则有，知当时，距离为最短！此时，点的坐标(注：本题中也演示了空间直线的三种方程形式之间的互化技巧，以后可做参考！)已知平面上一点时求平面的方程时，点法式写方程是我们求解平面方程的基本思路例如：求过点而与直线和都平行的平面方程？分析：现已知平面上一点，所以只需求得此平面的一个法向量来即可得此平面的点法式方程解： 记这两条直线的方向向量分别为，而所以平面的法向量设为，则由，进而，所以所求平面的方程为：