奥数专题-定义新运算(带答案完美排版).doc

Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date奥数专题-定义新运算(带答案完美排版)奥数专题-定义新运算(带答案完美排版) 定义新运算 我们学过的常用运算有：、×、÷等.如：235 2×36都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“”，“”，“×”，“÷”运算不相同.我们先通过具体的运算来了解和熟悉“定义新运算”.例1、设a、b都表示数，规定ab3×a2×b，求 32， 23；这个运算“”有交换律吗？求（176）2，17（62）；这个运算“”有结合律吗？如果已知4b2，求b.分析：解定义新运算这类题的关键是抓住定义的本质，本题规定的运算的本质是：用运算符号前面的数的3倍减去符号后面的数的2倍. 解： 323×32×2945 233×22×3660.由的例子可知“”没有交换律.要计算（176）2，先计算括号内的数，有：1763×172×639；再计算第二步3923 × 392×2113， 所以（176）2113.对于17（62），同样先计算括号内的数，623×62×214，其次17143×172×1423，所以17（62）23.由的例子可知“”也没有结合律.因为4b3×42×b122b，那么122b2，解出b5.例2、定义运算为 aba×b（ab）， 求57，75； 求12（34），（123）4；这个运算“”有交换律、结合律吗？ 如果3（5x）3，求x.解： 575×7（57）351223，7 57×5（75）351223.要计算12（34），先计算括号内的数，有：343×4（34）5，再计算第二步12512×5（125）43，所以 12（34）43.对于（123）4，同样先计算括号内的数，12312×3（123）21，其次21421×4（214）59，所以（12 3）459.由于aba×b（ab）；bab×a（ba） a×b（ab）（普通加法、乘法交换律）所以有abba，因此“”有交换律.由的例子可知，运算“”没有结合律.5x5x（5x）4x5；3（5x）3（4x5） 3（4x5）（34x5） 12x15（4x2） 8x 13那么 8x133 解出x2.例3、定义新的运算a Å ba×bab. 求6 Å 2，2 Å 6； 求（1 Å 2）Å 3，1 Å（2 Å 3）； 这个运算有交换律和结合律吗？ 解： 6 Å 26×26220，2 Å 62×62620. （1 Å 2）Å 3（1×212）Å 3 5 Å 3 5×353 23 1 Å（2 Å 3）1 Å（2×323） 1 Å 11 1×11111 23. 先看“Å”是否满足交换律： a Å ba×bab b Å ab×abaa×bab（普通加法与乘法的交换律） 所以a Å bb Å a，因此“Å”满足交换律. 再看“Å”是否满足结合律： （a Å b）Å c（a×bab）Å c （a×bab）×ca×babc abcacbcababc. a Å（b Å c）a Å（b×cbc） a×（b×cbc）ab×cbc abcabacabcbc abcacbcababc.（普通加法的交换律） 所以（a Å b）Å ca Å（b Å c），因此“Å”满足结合律. 说明：“Å”对于普通的加法不满足分配律，看反例： 1 Å（23）1 Å 51×51511； 1 Å 21 Å 31×2121×3135712； 因此1 Å（23） 1 Å 21 Å 3.例4、有一个数学运算符号“Ä”，使下列算式成立：2Ä48，5Ä313，3Ä511，9Ä725，求7Ä3？ 解：通过对2Ä48，5Ä313，3Ä511，9Ä725这几个算式的观察，找到规律： aÄb2ab，因此7Ä32×7317.例5、x、y表示两个数，规定新运算“*”及“”如下：x*y=mx+ny，xy=kxy，其中 m、n、k均为自然数，已知 1*2=5，（2*3）4=64，求（12）*3的值.分析：我们采用分析法，从要求的问题入手，题目要求12）*3的值，首先我们要计算12，根据“”的定义：12=k×1×2=2k，由于k的值不知道，所以首先要计算出k的值，k值求出后，l2的值也就计算出来了.我们设12=a， (12）*3=a*3，按“*”的定义： a*3=ma+3n，在只有求出m、n时，我们才能计算a*3的值.因此要计算（12）*3的值，我们就要先求出 k、m、n的值.通过1*2 =5可以求出m、n的值，通过（2*3）4=64求出 k的值.m=2n =（舍去） 解：因为1*2=m×1+n×2=m+2n，所以有m+2n=5.又因为m、n均为自然数，所以解出：m=3n =1m=1n =2 当m=1，n=2时：（2*3）4=（1×2+2×3）4 =84=k×8×4=32k 有32k=64，解出k=2.当m=3，n=1时：（2*3）4=（3×2+1×3）4 =94=k×9×4=36k 有36k=64，解出k=，这与k是自然数矛盾，因此m=3，n =1，k= 这组值应舍去. 所以m=l，n=2，k=2.（12）*3=（2×1×2）*3=4*3=1×4+2×3=10. 在上面这一类定义新运算的问题中，关键的一条是：抓住定义这一点不放，在计算时，严格遵照规定的法则代入数值.还有一个值得注意的问题是：定义一个新运算，这个新运算常常不满足加法、乘法所满足的运算定律，因此在没有确定新运算是否具有这些性质之前，不能运用这些运算律来解题.课后习题1.a*b表示a的3倍减去b的，例如： 1*2=1×32×=2，根据以上的规定，计算： 10*6； 7*（2*1）.2.定义新运算为 ab， 求2（34）的值； 若x41.35，则x？3.有一个数学运算符号，使下列算式成立： =，=，=，求的值.4.定义两种运算“Å”、“Ä”，对于任意两个整数a、b， aÅbab1，aÄb=a×b1，计算4Ä（6Å8）Å（3Å5）的值；若xÅ（xÄ4）=30，求x的值.5.对于任意的整数x、y，定义新运算“”， xy=（其中m是一个确定的整数）， 如果12=2，则29=？6.对于数a、b规定运算“”为ab=（a1）×（1b）， 若等式（aa）（a1）=（a1）（aa）成立，求a的值.7.“*”表示一种运算符号，它的含义是： x*y=， 已知2*1=，求1998*1999的值.8.ab=，在x（51）=6中，求x的值.9.规定 ab=a（a1）（a2）（ab1），（a、b均为自然数，b>a）如果 x10=65，那么x=？10.我们规定：符号表示选择两数中较大数的运算，例如：53=35=5，符号表示选择两数中较小数的运算，例如：53=35=3，计算：=？课后习题解答1.2. 3. 所以有5x-2=30，解出x=6.4 左边： 8.解：由于 9.解：按照规定的运算： x10=x +（x+1）+（x+2）+（x+101） =10x +（1+2+3+9）=10x + 45 因此有10x + 45=65，解出x=2.定义新运算 我们学过的常用运算有：、×、÷等.如：235 2×36都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“”，“”，“×”，“÷”运算不相同.我们先通过具体的运算来了解和熟悉“定义新运算”.例1、设a、b都表示数，规定ab3×a2×b，求 32， 23；这个运算“”有交换律吗？求（176）2，17（62）；这个运算“”有结合律吗？如果已知4b2，求b.例2、定义运算为 aba×b（ab）， 求57，75； 求12（34），（123）4；这个运算“”有交换律、结合律吗？ 如果3（5x）3，求x.例3、定义新的运算a Å ba×bab. 求6 Å 2，2 Å 6； 求（1 Å 2）Å 3，1 Å（2 Å 3）； 这个运算有交换律和结合律吗？ 例4、有一个数学运算符号“Ä”，使下列算式成立：2Ä48，5Ä313，3Ä511，9Ä725，求7Ä3？ 例5、x、y表示两个数，规定新运算“*”及“”如下：x*y=mx+ny，xy=kxy，其中 m、n、k均为自然数，已知 1*2=5，（2*3）4=64，求（12）*3的值.课后习题1.a*b表示a的3倍减去b的，例如： 1*2=1×32×=2，根据以上的规定，计算： 10*6； 7*（2*1）.2.定义新运算为 ab， 求2（34）的值； 若x41.35，则x？3.有一个数学运算符号，使下列算式成立： =，=，=，求的值.4.定义两种运算“Å”、“Ä”，对于任意两个整数a、b， aÅbab1，aÄb=a×b1，计算4Ä（6Å8）Å（3Å5）的值；若xÅ（xÄ4）=30，求x的值.5.对于任意的整数x、y，定义新运算“”， xy=（其中m是一个确定的整数）， 如果12=2，则29=？6.对于数a、b规定运算“”为ab=（a1）×（1b）， 若等式（aa）（a1）=（a1）（aa）成立，求a的值.7.“*”表示一种运算符号，它的含义是： x*y=， 已知2*1=，求1998*1999的值.8.ab=，在x（51）=6中，求x的值.9.规定 ab=a（a1）（a2）（ab1），（a、b均为自然数，b>a）如果 x10=65，那么x=？10.我们规定：符号表示选择两数中较大数的运算，例如：53=35=5，符号表示选择两数中较小数的运算，例如：53=35=3，计算：=？-