2006年高考理科数学试题及答案（安徽卷）.doc

2006年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）理科数学本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。第卷1至2页。第卷3至4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。考生注意事项：1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致。2答第卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。3答第卷时，必须用0.5毫米墨水签字笔在答题卡上书写。在试题卷上作答无效。4考试结束，监考人员将试题卷和答题卡一并收回。参考公式：如果时间A、B互斥，那么如果时间A、B相互独立，那么如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率球的表面积公式，其中R表示球的半径球的体积公式，其中R表示球的半径第卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）复数等于（ ）A B C D解：故选A（2）设集合，则等于（ ）A B C D解：，所以，故选B。（3）若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为（ ）A B C D解：椭圆的右焦点为(2,0)，所以抛物线的焦点为(2,0)，则，故选D。（4）设，已知命题；命题，则是成立的（ ）A必要不充分条件 B充分不必要条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解：命题是命题等号成立的条件，故选B。（5）函数 的反函数是（ ）A B C D解：有关分段函数的反函数的求法，选C。（6）将函数的图象按向量平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（ ） A BC D解：将函数的图象按向量平移，平移后的图象所对应的解析式为，由图象知，所以，因此选C。（7）若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（ ）A B C D解：与直线垂直的直线为，即在某一点的导数为4，而，所以在(1，1)处导数为4，此点的切线为，故选A（8）设，对于函数，下列结论正确的是（ ）A有最大值而无最小值 B有最小值而无最大值C有最大值且有最小值 D既无最大值又无最小值解：令，则函数的值域为函数的值域，又，所以是一个减函减，故选B。（9）表面积为 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为 A B C D解：此正八面体是每个面的边长均为的正三角形，所以由知，则此球的直径为，故选A。（10）如果实数满足条件 ，那么的最大值为（ ）A B C D解：当直线过点(0，-1)时，最大，故选B。（11）如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，则（ ）A和都是锐角三角形 B和都是钝角三角形C是钝角三角形，是锐角三角形D是锐角三角形，是钝角三角形解：的三个内角的余弦值均大于0，则是锐角三角形，若是锐角三角形，由，得，那么，所以是钝角三角形。故选D。（12）在正方体上任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为（ ） A B C D解：在正方体上任选3个顶点连成三角形可得个三角形，要得直角非等腰三角形，则每个顶点上可得三个(即正方体的一边与过此点的一条面对角线)，共有24个，得，所以选C。2006年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）理科数学第卷（非选择题 共90分）注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上书写作答无效。二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填写在答题卡的相应位置。（13）设常数，展开式中的系数为，则_。解：，由，所以，所以为1。（14）在中，M为BC的中点，则_。（用表示）解：，所以。（15）函数对于任意实数满足条件，若则_。ABCDA1B1C1D1第16题图A1解：由得，所以，则。（16）多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A在平面内，其余顶点在的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到的距离分别为1，2和4，P是正方体的其余四个顶点中的一个，则P到平面的距离可能是：3； 4； 5； 6； 7以上结论正确的为_。（写出所有正确结论的编号）解：如图，B、D、A1到平面的距离分别为1、2、4，则D、A1的中点到平面的距离为3，所以D1到平面的距离为6；B、A1的中点到平面的距离为，所以B1到平面的距离为5；则D、B的中点到平面的距离为，所以C到平面的距离为3；C、A1的中点到平面的距离为，所以C1到平面的距离为7；而P为C、C1、B1、D1中的一点，所以选。三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（17）（本大题满分12分）已知（）求的值；（）求的值。解：()由得，即，又，所以为所求。（）=。（18）（本大题满分12分）在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较。在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂。现有芳香度分别为0，1，2，3，4，5的六种添加剂可供选用。根据试验设计原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验。用表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和。（）写出的分布列；（以列表的形式给出结论，不必写计算过程）（）求的数学期望。（要求写出计算过程或说明道理）解：（）123456789PABCDEFOP第19题图H（）（19）（本大题满分12分）如图，P是边长为1的正六边形ABCDEF所在平面外一点，P在平面ABC内的射影为BF的中点O。（）证明；（）求面与面所成二面角的大小。解：（）在正六边形ABCDEF中，为等腰三角形，P在平面ABC内的射影为O，PO平面ABF，AO为PA在平面ABF内的射影；O为BF中点，AOBF，PABF。（）PO平面ABF，平面PBF平面ABC；而O为BF中点，ABCDEF是正六边形 ，A、O、D共线，且直线ADBF，则AD平面PBF；又正六边形ABCDEF的边长为1，。过O在平面POB内作OHPB于H，连AH、DH，则AHPB，DHPB，所以为所求二面角平面角。在中，OH=，=。在中，；而（）以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，P(0,0，1)，A(0，,0)，B(，0,0)，D(0,2，0)，设平面PAB的法向量为，则，得，；设平面PDB的法向量为，则，得，；（20）（本大题满分12分）已知函数在R上有定义，对任何实数和任何实数，都有（）证明；（）证明 其中和均为常数；（）当（）中的时，设，讨论在内的单调性并求极值。证明（）令，则，。（）令，则。假设时，则，而，即成立。令，假设时，则，而，即成立。成立。（）当时，令，得；当时，是单调递减函数；当时，是单调递增函数；所以当时，函数在内取得极小值，极小值为（21）（本大题满分12分）数列的前项和为，已知（）写出与的递推关系式，并求关于的表达式；（）设，求数列的前项和。解：由得：，即，所以，对成立。由，相加得：，又，所以，当时，也成立。（）由，得。而，（22）（本大题满分14分）如图，F为双曲线C：的右焦点。P为双曲线C右支上一点，且位于轴上方，M为左准线上一点，为坐标原点。已知四边形为平行四边形，。OFxyPM第22题图H（）写出双曲线C的离心率与的关系式；（）当时，经过焦点F且平行于OP的直线交双曲线于A、B点，若，求此时的双曲线方程。解：四边形是，作双曲线的右准线交PM于H，则，又，。（）当时，双曲线为四边形是菱形，所以直线OP的斜率为，则直线AB的方程为，代入到双曲线方程得：，又，由得：，解得，则，所以为所求。