2007年广东卷数学（理科）含答案.doc

绝密启用前2007年普通高等艺术招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分，考试时间120分钟。注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的铅笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上、将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。参考公式：锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高。 如果事件、互斥，那么. 如果事件、相互独立，那么. 用最小工乘法求线性回归方程系数公式.一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求的.1.已知函数的定义域为，的定义域为，则A.B.C.D.2.若复数是纯虚数（是虚数单位，是实数）则A.2B.C.D.-23.若函数A.最小正周期为的奇函数B.最小正周期为的奇函数C.最小正周期为的偶函数D.最小正周期为的偶函数4.客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h的速度匀速行驶1小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发.经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中，正确的是5.已知数|an|的前n项和Sn=n2-9n，第k项满足5<an <8,则k=A.9 B.8 C.7 D.66.图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1、A2、A10（如A2表示身高（单位：cm）（150，155）内的学生人数）.图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图.现要统计身高在160180cm(含160cm,不含180cm)的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是A.i<6 B. i<7 C. i<8 D. i<97.图3是某汽车维修公司的维修点环形分布图，公司在年初分配给A、B、C、D四个维修点的这批配件分别调整为40、45、61件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次（n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n）为A.15 B.16 C.17 D.188.设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a,bS，对于有序元素对（a,b）,在S中有唯一确定的元素a*b与之对应），若对任意的a,bS,有a*(b*a)=b,则对任意的a,bS,下列等式中不恒成立的是 A.（a*b）*a=a B.a*(b*a)*(a*b)=aC.b*(b*b)=b D.(a*b)* b*(a*b)=b二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分，其中1315题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分.9.甲、乙两个袋中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同.其中甲袋装有4个红球，2个白球，乙袋装有1个红球，5个白球. 现分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球，则取出的两球都是红球的概率为 .（答案用分数表示）10.若同量、满足的夹角为120，则 .11.在平面直角坐标系中，有一定点（2，1），若线段的垂直平分线过抛物线的焦点，则该抛物线的准线方程是 .12.如果一个凸多面体棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有 条.这些直线中共有对异面直线，则 图4 ; .（答案用数字或的解析式表示）13.（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为，圆的参数方程为，则题的圆心坐标为 ，圆心到直线的距离为 .14.（不等式选讲选做题）设函数 ;若，则x的取值范围是 .15.（几何证明选讲选做题）如图5所法，圆的直径，为圆周上一点，过作圆的切线，过作的垂线，分别与直线、圆交于点、，则 ，线段的长为 . 图5三、解答题：本大题共有6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分） 已知顶点的直角坐标分别为.（1）若，求sin的值;（2）若是钝角，求的取值范围.17.(本题满分12分)下表提供了某厂节油降耗技术发行后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对应数据.x3456y2.5344.5（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y=;（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（参考数值：32.5+43+54+64.566.5）18.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限，半径为2的圆C与直线y=x相切于坐标原点O.椭圆1与圆C的一个交点到椭圆两点的距离之和为10.（1）求圆C的方程.（2）试探安C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点P的距离等于线段OF的长.若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.19.（本小题满分14分）如图6所示，等腰ABC的底边AB=6,高CD=3，点B是线段BD上异于点B、D的动点.点F在BC边上，且EFAB.现沿EF将BEF折起到PEF的位置，使PEAE.记BEx，V(x)表示四棱锥P-ACFE的体积.（1）求V(x)的表达式；（2）当x为何值时，V(x)取得最大值？（3）当V(x)取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值20.（本小题满分14分）已知a是实数，函数f(x)=2ax2+2x-3-a,如果函数y=f(x)在区间-1,1上有零点，求a的取值范围.21.（本小题满分14分）已知函数f(x)=x2+x-1,、是方程f(x)=0的两个根（>）.f(x)是f(x)的导数.设a11，an+1=an-(n=1,2,).(1)求、的值；(2)证明：任意的正整数n，都有an>a;(3)记bn-(n=1,2,),求数列bn的前n项和Sn.2007年普通高等学校全国招生统一考试(广东卷)数学(理科)参考答案一、选择题题号12345678答案CADDBCBA二、填空题9. 10. 11.x= - 12.，12，13.(0，2)，2 14. -1，1 15.30，3三、解答题16. 解：(1) , 当c=5时，进而(2)若A为钝角，则ABAC= -3(c-3)+( -4)2<0 解得c>显然此时有AB和AC不共线，故当A为钝角时，c的取值范围为，+)17. 解： (1)如下图(2)=32.5+43+54+64.5=66.5=4.5=3.5=+=86故线性回归方程为y=0.7x+0.35(3)根据回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.7100+0.35=70.35故耗能减少了90-70.35=19.65(吨)18. 解： (1)设圆心坐标为(m，n)（m<0，n>0）,则该圆的方程为(x-m)2+(y-n)2=8已知该圆与直线y=x相切，那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则=2即=4 又圆与直线切于原点，将点(0，0)代入得m2+n2=8 联立方程和组成方程组解得 故圆的方程为(x+2)2+y2=8(2)=5，a2=25，则椭圆的方程为+=1其焦距c=4，右焦点为(4，0)，那么=4。要探求是否存在异于原点的点Q，使得该点到右焦点F的距离等于的长度4，我们可以转化为探求以右焦点F为顶点，半径为4的圆(x4)2+y2=8与(1)所求的圆的交点数。通过联立两圆的方程解得x=，y=即存在异于原点的点Q(，)，使得该点到右焦点F的距离等于的长。19. 解：(1)已知EFAB,那么翻折后，显然有PEEF,又PEAE,从而PE面ABC,即PE为四棱锥的高。四棱锥的底面积S=-而BEF与BDC相似，那么=则S=-=（1-）63=9（1-）故四棱锥的体积V(x)=SH=9（1-）=3（1-）(0<x<3)(2) V(x)= 3-x2(0<x<3)令V(x)=0得x=6当x(0，6)时，V(x)>0,V(x)单调递增；x(6，3)时V(x)><0,V(x)单调递减；因此x=6时， V(x)取得最大值V(x)max= V(6)=12 (3) 20. 解：当a=0时，函数为f(x)=2x -3，其零点x=不在区间-1，1上。当a0时，函数f(x) 在区间-1，1分为两种情况：函数在区间1，1上只有一个零点，此时或解得1a5或a= 函数在区间1，1上有两个零点，此时 或解得a5或a<综上所述，如果函数在区间1，1上有零点，那么实数a的取值范围为(-, 1, +)21. 解： (1)解方程x2+x-1=0得x=由>知=,=(2) f(x)=2x+1= - = 下面我们用数学归纳法来证明该结论成立当n=1时，a1=1<=成立，假设n=k(k1, kN*)时，结论也成立，即ak<成立，那么当n=k+1时，=-+<-+=+=这就是说，当n=k+1时，结论也成立，故对于任意的正整数n，都有an<(3) =()2由题意知an>,那么有an>，于是对上式两边取对数得ln=ln()2=2 ln()即数列bn为首项为b1= ln()=2ln( )，公比为2的等比数列。故其前n项和Sn=2ln( )=2ln( )(2n -1)