2007年湖北卷数学（理科）含答案.doc

2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数 学（理工农医类）一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如果 的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为A.3 B.5 C.6 D.102.将的图象按向量a=平移，则平移后所得图象的解析式为A. B. C. D. 3.设P和Q是两个集合，定义集合P-Q=，如果P=x|log2x<1,Q=x|x-2|<1,那么P-Q等于Ax|0<x<1 B.x|0<x1 C.x|1x<2 D.x|2x<34.平面外有两条直线m和n，如果m和n在平面内的射影分别是m和n，给出下列四个命题：mnmn; mn mnm与n相交m与n相交或重合； m与n平行m与n平行或重合.其中不正确的命题个数是A.1 B.2 C.3 D.45.已知p和q是两个不相等的正整数，且q2,则A0 B.1 C. D.6.若数列an满足N*),则称an为“等方比数列”.甲：数列an是等方比数列；乙：数列an是等比数列.则A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件7双曲线C1：（a>0,b>0）的左准线为l,左焦点和右焦点分别为F1和F2；抛物线C2的准线为l，焦点为F2.C1和C2的一个交点为M，则等于A.-1 B.1 C. D.8.已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为An和Bn，且，则使得为整数的正整数n的个数是A.2 B.3 C.4 D.59.连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量a=(m,n)与向量b=(1,-1)的夹角为，则的概率是A. B. C. D10.已知直线（a,b是非零常数）与圆x2+y2=100有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有A.60条 B.66条 C.72条 D.78条二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知函数y=2x-a 的反函数是y=bx+3,则 a= ;b= .12.复数z=a+bi,a,bR,且b0,若z2-4bz是实数，则有序实数对（a,b）可以是 .(写出一个有序实数对即可)13.设变量x，y满足约束条件则目标函数2x+y的最小值为 .14.某篮球运动员在三分线投球的命中率是，他投球10次，恰好投进3个球的概率 .（用数值作答）15.为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒. 已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（a为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：（）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式为 .（）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室.三、解答题：本大题共5小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）已知ABC的面积为3，且满足06，设和的夹角为.（）求的取值范围；（）求函数f()=2sin2的最大值与最小值.17.（本小题满分12分）在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细的一种量）共有100个数据，将数据分组如右表：（）在答题卡上完成频率分布表，并在给定的坐标系中画出频率分布直方图；（）估计纤度落在中的概率及纤度小于1.40的概率是多少；分 组频 数4253029102合 计100（）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间的中点值是1.32）作为代表. 据此，估计纤度的期望.18.（本小题满分12分）如图，在三棱锥V-ABC中，VC底面ABC，ACBC，D是AB的中点，且AC=BC=a，VDC=.（）求证：平面VAB平面VCD；（）当角变化时，求直线BC与平面VAB所成的角的取值范围.19.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，过定点C(0，p)作直线与抛物线x2=2px(p>0)相交于A、B两点.（）若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求ANB面积的最小值；（）是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由.（此题不要求在答题卡上画图）20.（本小题满分13分）已知定义在正实数集上的函数f(x)=x2+2ax，g(x)=3a2lnx+b，其中a>0.设两曲线y=f(x)，y=g(x)有公共点，且在该点处的切线相同.（）用a表示b，并求b的最大值；（）求证：f(x) g(x) (x>0).21.（本小题满分14分）已知m，n为正整数.（）用数学归纳法证明：当x>-1时，(1+x)m1+mx；（）对于n6，已知，求证，m=1,1,2，n；（）求出满足等式3n+4m+(n+2)m=(n+3)n的所有正整数n.2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工农医类）试题参考答案一、 选择题：本题考查基础知识和基本运算。每小题5分，满分50分。1.B 2.A 3.B 4.D 5.C 6.B 7.A 8.D 9.C 10.A二、填空题：本题考查基础知识和基本运算。每小题5分，满分25分。11.6；12.（2，1）（或满足a=2b的任一组非零实数对（a,b）13.- 14. 15.；0.6三、解答题：本大题共6小题，共75分。16.本小题主要考查平面向量数量积的计算，解三角形、三角公式、三角函数的性质等基本知识，考查推理和运算能力。解：（）设ABC中角A，B，C的对边分别为a,b,c,则由.(). .即当.17.本小题主要考查频率分布直方图、概率、期望等概念和用样本频率估计总体分布的统计方法，考查运用概率统计知识解决实际问题的能力.分组频数频率4 0.0425 0.25 30 0.30 29 0.29100.1020.02合计1001.00（）纤度落在中的概率约为0.30+0.29+0.100.69，纤度小于1.40的概率约为0.04+0.25+0.300.44.()总体数据的期望约为1.320.04+1.360.25+1.400.30+1.440.29+1.480.10+1.520.021.4088.18.本小题主要考查线面关系、直线与平面成角的有关知识，考查空间想象能力和推理运算能力以及应用向量知识解决数学问题的能力.解法1：（）是等腰三角形，又D是AB的中点，又()过点C在平面VD内作CHVD于H，则由（）知CH平面VAB.连接BH,于是CBH就是直线BC与平面VAB所成的角在RtCHD中，设,， 即直线BC与平面VAB所成角的取值范围为（0，）.解法2：（）以CA、CB、CV所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,0,0),A(a,0,0),B(0,a,0),D()，从而同理-即又 ()设直线BC与平面VAB所成的角为,平面VAB的一个法向量为n=(x,y,z),则由n19.本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力.解法1：（）依题意，点N的坐标为N(0,-p),可设A(x1,y1),B(x2,y2)，直线AB的方程为y=kx+p,与x2=2py联立得消去y得x2-2pkx-2p2=0.由韦达定理得x1+x2=2pk,x1x2=-2p2.于是.()假设满足条件的直线l存在，其方程为y=a,AC的中点为径的圆相交于点P、Q，PQ的中点为H，则.= =令，得为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为，即抛物线的通径所在的直线.解法2：（）前同解法1，再由弦长公式得又由点到直线的距离公式得.从而，得可取于是.即直线BC与平面VAB所成角的取值范围为（0，）.解法：（）以点D为原点，以DC、DB所在的直线分别为x轴、y轴，建立如衅所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0),A(0,-)，于是平面VAB平面VCD.()设直线BC与平面VAB所成的角为，平面VAB的一个法向量为则由得可取厂是又0即直线BC与平面VAB所成角的取值范围为（0，）解法4：以CA、CB、CV所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,0,0),A(a,0,0),B(0,a,0),D()，设V(0,0,t)(t>0).()即.即又()设直线BC与平面VAB所成的角为设n(x,y,z)是平面VAB的一个非零法向量，则取z=a,得x=y=t,可取于是即直线BC与平面VAB所成角的取值范围为（0，）.综合（i）（ii）知，对一切正整数m，不等式都成立.()证：当n6,mn时，由（）得于是()解：由（）知，当n6时，故只需要讨论n=1,2,3,4,5的情形；当n=1时，34，等式不成立；当n=2时，32+4252，等式成立；当n=3时，33+43+5363，等式成立；当n=4时，34+44+54+64为偶数，而74为奇数，故34+44+54+6474,等式不成立；当n=5时，同n=4的情形可分析出，等式不成立.综上，所求的n只有n=2,3.解法2：（）证：当x=0或m=1时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明：当x>-1，且x0时，m2,(1+x)m>1+mx. (i)当m=2时，左边1+2x+x2,右边1+2x，因为x0,所以x2>0，即左边>右边，不等式成立；（ii）假设当m=k(k2)时，不等式成立，即（1+x）k>1+kx,则当m=k+1时，因为x>-1,所以1+x>0.又因为x0,k2,所以kx2>0.于是在不等式（1+x）k>1+kx两边同乘以1+x得（1+x）k(1+x)>(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx2>1+(k+1)x,所以（1+x）k+1>1+(k+1)x,即当mk+1时，不等式也成立.综上所述，所证不等式成立.()证：当而由（）， （）解：假设存在正整数成立，即有（）+1.又由（）可得（）+与式矛盾，故当n6时，不存在满足该等式的正整数n.下同解法1，（）假设满足条件的直线t存在，其方程为y=a，则以AC为直径的圆的方程为将直线方程y=a代入得设直线l与以AC为直径的圆的交点为P(x2,y2),Q(x4,y4),则有令为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为.即抛物线的通径所在的直线.20.本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力.解：（）设y=f(x)与y=g(x)(x>0)在公共点（x0,y0）处的切线相同,.即即有令于是当当故为减函数,于是h(t)在（）设则故F(x)在（0，a）为减函数，在（a,+）为增函数，于是函数故当x>0时，有21.本小题主要考查数学归纳法、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力.解法1：（）证：用数学归纳法证明：（i）当m=1时，原不等式成立；当m=2时，左边1+2x+x2,右边1+2x,因为x20,所以左边右边，原不等式成立；（ii）假设当m=k时，不等式成立，即（1+x）k1+kx，则当m=k+1时，两边同乘以1+x得，所以时，不等式也成立.