2008年高考试题--数学文（湖北卷）.doc

绝密启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数 学（文史类）本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.祝考试顺利注间事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效.3.填空题和解答题用0.5毫米的黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效.4.考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设A. B.0 C.-3 D.-112. 的展开式中常数项是 A.210 B. C. D.-1053.若集合A. “”是“”的充分条件但不是必要条件B. “”是“”的必要条件但不是充分条件C. “”是“”的充要条件D. “”既不是“”的充分条件也不是“”的必要条件4.用与球必距离为1的平面去截面面积为，则球的体积为 A. B. C. D. 5.在平面直角坐标系中，满足不等式组的点的集合用阴影表示为下列图中的6.已知在R上是奇函数，且 A.-2 B.2 C.-98 D.987.将函数的图象F向右平移个单位长度得到图象F，若F的一条对称轴是直线则的一个可能取值是 A. B. C. D. 8. 函数）的定义域为 A. B. C. D. 9.从5名男生和5名女生中选3人组队参加某集体项目的比赛，其中至少有一名女生入选的组队方案数为 A.100 B.110 C.120 D.18010.如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆形轨道绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道I和的焦距，用和分别表示椭圆轨道I和的长轴的长，给出下列式子：其中正确式子的序号是 A. B. C. D.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应位置上.11.一个公司共有1 000名员工，下设一些部门，要采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为50的样本，已知某部门有200名员工，那么从该部门抽取的工人数是 .12.在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知则A .13.方程的实数解的个数为 .14.明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一准时响的概率是 .15.圆的圆心坐标为 ，和圆C关于直线对称的圆C的普通方程是 .三、解答题：本大题共6分小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（本小题满12分） 已知函数 （）将函数化简成的形式，并指出的周期； （）求函数上的最大值和最小值17.（本小题满分12分） 已知函数（m为常数，且m>0）有极大值9. （）求m的值； （）若斜率为的直线是曲线的切线，求此直线方程.18.（本小题满分12分） 如图，在直三棱柱中，平面侧面 （）求证： （）若，直线AC与平面所成的角为，二面角19.（本不题满分12分） 如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000cm2,四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm），能使矩形广告面积最小？20（本小题满分13分） 已知双同线的两个焦点为 的曲线C上. （）求双曲线C的方程； （）记为坐标原点，过点的直线与双曲线C相交于不同的两点E、F，若OEF的面积为求直线l的方程21.（本小题满分14分） 已知数列,其中为实数，为正整数.（）证明：对任意实数，数列不是等比数列（）证明：当（III）设为数列的前n项和，是否存在实数，使得对任意正整数n，都有 若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.2008年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文史类）试题参考答案一、选择题：本题考查基础知识和基本运算.第小题5分，满分50分.1.C解析：本题考查平面向量及其数量积的坐标运算。 ，。2.B解析：本题考查二项式定理。,所以常数项为。3.A解析：本题考查集合运算和充分必要条件。4.D解析：本题考查球的体积公式和空间想象能力。球的半径是，所以根据球的体积公式知5.C解析：本题考查二元不等式的图形表示。6.A解析：本题考查函数的基本性质: 周期性与奇偶性. 由题意可知函数是周期为4的奇函数,所以,7.A解析：本题考查图象的平移和三角函数中对称与最值。依题意可得图象的解析式为,当对称，根据选项可知A正确。8.D解析：本题考查函数定义域。要使函数有意义，则有，9.B解析：本题考查排列组合的基本知识。用间接法做: 考虑没有女生入选的,则所要求的结果为,故B正确10.B 解析：本题考查椭圆的基本量之间的关系二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，第小题5分，满分25分.11.10 解析：本题考查分层抽样方法。由分层抽样方法可知从该部门抽取的工人数满足12.30（或）解析：本题考查余弦定理。由余弦定理可得,再由余弦定理可得A=。13.2 解析：本题考查数形结合思想。由数形结合的数学思想，可知与的图象有两个交点，故方程的实数解的个数为2个。14.0.98 解析：本题考查间接法求概率,分类讨论思想。用间接法做: 两个闹钟一个也不准时响的概率是,所以要求的结果是.15.（3，2），（x2）2（y3）216（或x2y24x6y30）解析：本题考查圆的参数方程向标准方程的转化和对称问题。将圆的参数方程转化为标准方程为:,可知圆C的圆为（3，2）;要求关于直线对称的圆,关键在求圆心的坐标,显然（3，2）关于直线对称的点的坐标是（2，3）,所以要求的圆的方程是（或x2y24x6y30）.三、解答题：本题共6小题，共75分.16.本小题主要考查三角函数的恒等变换、周期性、单调性和最值等基本知识和运算能力.（满分12分）解：()f(x)=sinx+. 故f(x)的周期为2kkZ且k0.()由x，得.因为f(x)在上是减函数，在上是增函数.故当x=时，f(x)有最小值；而f()=2，f()2，所以当x=时，f(x)有最大值2.17.本小题主要考查应用导数研究函数性质的方法和基本运算能力.（满分12分）解：() f(x)3x2+2mxm2=(x+m)(3xm)=0,则x=m或x=m, 当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(,m)m(m,)(,+)f(x)+00+f (x)极大值极小值从而可知，当x=m时，函数f(x)取得极大值9，即f(m)m3+m3+m3+1=9,m2.()由()知，f(x)=x3+2x24x+1,依题意知f(x)3x24x45，x1或x.又f(1)6，f()，所以切线方程为y65(x1),或y5(x)，即5xy10，或135x27y230.18.本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角、二面角等有关知识，考查空间想象能力和推理论证能力.（满分12分） ()证明：如右图，过点A在平面A1ABB1内作ADA1B于D，则由平面A1BC侧面A1ABB1,且平面A1BC侧面A1ABB1A1B，得AD平面A1BC.又BC平面A1BC所以ADBC.因为三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱,则AA1底面ABC,所以AA1BC.又AA1AD=A,从而BC侧面A1ABB1,又AB侧面A1ABB1，故ABBC. ()证法1：连接CD,则由()知ACD就是直线AC与平面A1BC所成的角，ABA1就是二面角A1BCA的颊角，即ACD，ABA1=j. 于是在RtADC中，sin=,在RtADA1中，sinAA1D, sin=sinAA1D,由于与AA1D都是锐角，所以AA1D. 又由RtA1AB知，AA1DjAA1Bj，故j. 证法2：由()知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设AB=c（ca，则B(0,0,0)，A(0,c,0)，C(),A1(0,c,a)，于是，（0，c,a）,=(0,c,a)设平面A1BC的一个法向量为n=(x,y,z),则由可取n（0，a，c），于是n=ac0，与n的夹角b为锐角,则b与q互为余角.sinq=cosb=,cosj=所以sinq=cosj=sin(),又0q，j，所以q+j=.19.本小题主要考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数、不等式等知识解决实际问题的能力.（满分12分）解法1：设矩形栏目的高为a cm，宽为b cm，则ab=9000.广告的高为a+20，宽为2b+25，其中a0，b0.广告的面积S(a+20)(2b+25)2ab+40b+25a+50018500+25a+40b18500+2=18500+当且仅当25a40b时等号成立，此时b=,代入式得a=120，从而b=75.即当a=120，b=75时,S取得最小值24500.故广告的高为140 cm,宽为175 cm时，可使广告的面积最小.解法2：设广告的高为宽分别为x cm，y cm，则每栏的高和宽分别为x20，其中x20，y25两栏面积之和为2(x20),由此得y=广告的面积S=xy=x()x,整理得S=因为x200，所以S2当且仅当时等号成立，此时有(x20)214400(x20)，解得x=140，代入y=+25,得y175，即当x=140，y175时，S取得最小值24500，故当广告的高为140 cm，宽为175 cm时，可使广告的面积最小.20.本小题主要考查双曲线的定义、标准方程、直线和双曲线位置关系等平面解析几何的基础知识，考查待写系数法、不等式的解法以及综合运用数学知识进行推理运算的能力.（满分13分）()解法1：依题意，由a2+b2=4，得双曲线方程为（0a24，将点（3，）代入上式，得.解得a2=18（舍去）或a22，故所求双曲线方程为解法2：依题意得，双曲线的半焦距c=2.2a=|PF1|PF2|=a2=2，b2=c2a2=2.双曲线C的方程为()解法1：依题意，可设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线C的方程并整理，得(1k2)x24kx6=0.直线I与双曲线C相交于不同的两点E、F,k()(1,).设E(x1,y1),F(x2,y2)，则由式得x1+x2=于是|EF|=而原点O到直线l的距离d,SOEF=若SOEF，即解得k=,满足.故满足条件的直线l有两条，其方程分别为y=和解法2：依题意，可设直线l的方程为y=kx+2,代入双曲线C的方程并整理，得(1k2)x24kx60.直线l与比曲线C相交于不同的两点E、F，k()(1,).设E(x1,y1),F(x2,y2)，则由式得|x1x2|.当E、F在同一支上时（如图1所示），SOEF|SOQFSOQE|=；当E、F在不同支上时（如图2所示），SOEFSOQFSOQE综上得SOEF，于是由|OQ|2及式，得SOEF.若SOEF2，即,解得k=,满足.故满足条件的直线l有两条，基方程分别为y=和y=21.本小题主要考查等比数列的定义、数列示和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力.（满分14分）()证明：假设存在一个实数l，使an是等比数列，则有,即（）2=2矛盾.所以an不是等比数列.（）证明： 又由上式知故当数列bn是以为首项，为公比的等比数列.（）当由（）得于是 当时，从而上式仍成立. 要使对任意正整数n , 都有 即 令 当n为正奇数时，当n为正偶数时， 于是可得 综上所述，存在实数，使得对任意正整数，都有 的取值范围为