2022年河北省近五年中考数学压轴题综述 2.pdf

河北省近五年中考数学压轴题综述河北省中考数学最后一道压轴题的命制，从1996年至 2001年的近五年来呈现出一个规律：都是几何图形运动型的综合题，并且由运动的几何图形来看，类型各异，颇具特色。一、单点运动型例 1 (1999 年河北省中考压轴题 )如图 1-1，正方形 OABC 的顶点 O在坐标原点，且 OA边与 AB边所在直线的解析式分别为：y=x 和 y=-x+。D、E分别为边 OC和 AB的中点， P为 OA边上一动点 ( 点 P与点 O不重合 )，连结 DE和 CP ，其交点为 Q 。(1) 求证：点 Q为COP 的外心；(2) 求正方形 OABC 的边长；(3) 当Q 与 AB相外切时，求点P的坐标。解：(1) D 、 E分别为正方形 OABC 中 OC 、AB的中点，DE OA 。Q 也是 CP的中点。又CP是 RtCOP 的斜边，点 Q为COP 的外心。(2) 由方程组解得点 A的坐标为 (4 ，3) 。过点 A作 AF ox 轴，垂足为点 F。OF=4 ，AF=3 。由勾股定理，得OA=5。(3) 如图 1-2，当COP 的外接圆Q 与 AB相切时，圆心 Q在直线 DE上，且 DE AB ，E 为Q 与 AB相切的切点。又AE和 APO 分别是Q 的切线与割线AE2=AP AOOA=5 ，AE=( )2=AP 5，AP=当Q 与 AB相切时， OP=5-作 PH ox，垂足为 H。PH AF ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页OH=，PH=点 P的坐标为 (3 ，) 二、双点互动型例 2 (1997 年河北省中考压轴题 ) 已知： 如图 2-1， 在直角梯形 ABCD 中， AD BC ， B=90 ，AB=8厘米， AD=24厘米， BC=26厘米， AB为O 的直径。动点 P从点 A开始沿 AD边向点 D以1 厘米/ 秒的速度运动，动点Q从点 C开始沿 CB边向点 B以 3 厘米/ 秒的速度运动。 P、Q分别从点 A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动。设运动时间为t 秒。求：(1)t分别为何值时，四边形PQCD 为平行四边形、等腰梯形？(2)t分别为何值时，直线PQ与O 相切、相交、相离？解：(1) AD BC ，只要 QC=PD，四边形 PQCD 为平行四边形。此时，有 3t=24-t ，解，得 t=6。即当 t=6 秒时，四边形 PQCD 为平行四边形。同理，只要 PQ=CD，PD QC ，四边形 PQCD 为等腰梯形。过 P、D分别作 BC的垂线交 BC于 E、F 两点( 如图 2-2) ，则由等腰梯形的性质可知：EF=PD ，QE=FC=2 。2=3t(24-t) 解得 t=7 t=7 秒时，四边形 PQCD 为等腰梯形。(2) 设运动 t 秒时，直线 PQ与O 相切于点 G(如图 2-3) ，过 P作 PH BC ，垂足为 H。则 PH=AB ，BH=AP ，即 PH=8 ，HQ=26-3t-t=26-4t 。由切线长定理，得PQ=AP+BQ=t+26-3t=26-2t 。由勾股定理，得PQ2=PH2+HQ2，即(26-2t)2=82+(26-4t)2化简整理，得 3t2-26t+16=0 解，得 t1=，t2=8 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页即 t=秒或 t=8 秒时，直线 PQ与O 相切。t=0( 秒) 时，PQ与O 相交；当 t=8(秒)时，Q点运动到 B点，P点尚未运动到 D点，但也停止运动，此时PQ也与O 相交。当 t=或 t=8 时，直线 PQ与O 相切；当 0t 或 8t 8 时，直线 PQ与O 相交；当t 8 时，直线 PQ与O 相离。三、直线平移型例 3 (2000 年河北省中考压轴题 ) 在如图 3-1 所示的直角坐标系中，点C在 y 轴的正半轴上，四边形 OABC 为平行四边形， OA=2 ，AOC=60 ，以 OA为直径P 经过点 C，点 D在 y 轴上，DM 为始终与 y 轴垂直且与 AB边相交的动直线，设DM 与 AB边的交点为 M(点 M在线段 AB上，但与 A、B两点不重合 )，点 N是 DM与 BC的交点设 OD=t。(1) 求点 A和 B的坐标；(2) 设BMN 的外接圆G的半径为 R，请你用 t 表示 R及点 G的坐标；(3) 当G 与P 相切时，求直角梯形OAMD 的面积。解：(1) 连结 AC 。OA为P 的直径， ACO=90 又OA=2 ，AOC=60 ，OC=1 ， AC=点 A的坐标为 (,1) 又 OABC 为平行四边形， AB OC ，点 B的坐标为 (,2) (2) DM y轴，且 AB OC ，DM AB 。NMB=90 G 的圆心 G为 BN的中点。又B=AOC=60 ，BM= BN=R 。而点 B的纵坐标为 2，点 M的纵坐标 =点 D的纵坐标 =t ，BM=2 -t ，R=2-t 过点 G作 GH y轴，交 x 轴于点 H，交 DM 于点 F；过点 G作 GK x轴，交 AB于点 K(如图 3-2) 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页根据垂径定理，得到： FM= MN ，KM= BM 。设点 G的坐标为 (x, y) NM=(2-t) x=DM -MN= -(2-t)=t ，y=OD+ BM=t+ (2-t)=1+t 。点 G的坐标为 (t ，1+t) 。(3) 连结 GP ，过点 P作 PE x轴，交 GH于点 E。由 PE GE ，根据勾股定理得：GP=当G 与P 外切时， PG=R+1 ，=3-t 。解得 t=，经检验 t=是原方程的根。此时， OD=t= ，AM=1-MB=，DM=AC=此时， OD=t= ，AM=1-MB=，DM=AC= ，直角梯形 OAMD 的面积为：S=，DM=。四、点线共动型例 4 (2001 年河北省中考压轴题 )如图 4-1，在菱形 ABCD 中，AB=10 ，BAD=60 。点 M从点 A以每秒 1 个单位长的速度沿着AD边向点 D移动； 设点 M移动的时间为 t 秒(0t 10)。(1) 点 N为 BC边上任意一点。 在点 M移动过程中， 线段 MN 是否一定可以将菱形分割成面积相等的两部分？并说明理由；(2) 点 N从点 B(与点 M出发的时刻相同 ) 以每秒 2 个单位长的速度沿着BC边向点 C移动，在什么时刻，梯形ABNM 的面积最大？并求出面积的最大值；(3) 点 N从点 B(与点 M出发的时刻相同 ) 以每秒 a(a2)个单位长的速度沿着射线BC方向精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页(可以超越 C点) 移动，过点 M作 MP AB ，交 BC于点 P。当MPN ABC时，设 MPN 与菱形ABCD 重叠部分的面积为 S，求出用 t 表示 S的关系式，并求出 S=0时 a 的值。解：(1)MN一定能在某一时刻将菱形ABCD 分割成面积相等的两部分。对于中心对称图形，过中心的任一直线均能将图形分割成面积相等的两部分。而且菱形是中心对称图形 (如图 4-2 所示) 。在点 M由 A到 D的移动过程中，一定存在一个时刻，使得线段MN过菱形的中心。(2) 过 B作 BE AD ，垂足为 E(如图 4-3) 。在 RtABE中，BE=10sin60=5AM=t ，BN=2t，S梯形 ABNM=(t+2t)5=t 。2t 10，t 5当 t=5 时，S梯形 ABNM最大。最大面积为：5=。(3) ABC是腰长为 10 的等腰三角形。当ABC ABC时( 如图 4-4) MP=10 ，PN=BC=10 ，且 MP=PN。NC=PN -PC=BC-PC=PB BP=AM=t ，PC=10 -t ，NC=t 过 P作 PG DC ，垂足为 G 。在 RtPGC 中，PG=PCsin60 =(10-t)。设 MN 交 DC于 F，DC MP ，且 MP=PN ，NFC= NMP= MNP ，FC=NC=t 。重叠部分 MPCF 是梯形，S= (t+10) (10-t)=-t2+25当 S=0，即-t2+25=0时，解得 t1=10，t2=-10( 舍去) BN=at，且 BN=PN+PB=10+t，at=10+t 。将 t=10 代入 at=10+t ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页解得 a=2。五、点圆齐动型例 5 (1998 年河北省中考压轴题 ) 如图 5-1 所示，一艘轮船以 20浬/ 时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以40 浬/ 时的速度由南向北移动，距台风中心20浬的圆形区域 ( 包括边界 ) 都属台风区。当轮船到A处时，测得台风中心移到位于点A正南方向B处，且 AB=100浬。(1) 若这艘轮船自 A处按原速度继续航行， 在途中会不会遇到台风？若会，试求轮船最初遇到台风的时间；若不会，请说明理由；(2) 现轮船自 A处立即提高航速，向位于东偏北30方向，相距 60 浬的 D港驶去。为使台风到来之前，到达D港，问船速至少应提高多少(提高的船速取整数，3.6) ？解：(1) 设途中会遇到台风，且最初遇到台风的时间为t 小时，此时，轮船位于C处，台风中心移到 E处，连结 CE(如图 5-2) 。则有 AC=20t，AE=AB-BE=100-40t ，EC=20。在 RtAEC中，AC2+AE2=EC2，(20t)2+(100-40t)2=(20)2。整理，得 t2-4t+3=0 =(-4)2- 413=4 0，途中会遇到台风。解，得 t1=1，t2=3。最初遇到台风的时间为1 小时。(2) 设台风抵达 D港时间为 t 小时，此时台风中心至M点。过 D作 DF AB ，垂足为 F，连结 DM 。在 RtADF中，AD=60 ，FAD=60 ，DF=30，FA=30 。又(30)2+(130-40t)2=(20)2，整理，得 4t2-26t+39=0 解之，得 t1=，t2=。台风抵达 D港的时间为小时。轮船从 A处用小时到 D港的速度为 6025.5。因此，为使台风抵达D港之前轮船到 D港，轮船至少应提速6 浬/ 时。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页连续五年的中考压轴题都以几何图形的运动为命题背景，并非纯属巧合。大概主要原因是命题者看中了这种题目的综合性强、对思维能力的要求高这一颇具选拔性的功能；而在动中求静的辨证统一思想，又成为体现数学中辩证法的很好素材。由此可见，无论从此类题目的命题形式、还是考查意图上，把它放在最后一道压轴题的位置，都是恰如其分的。(05 河北 ).如图 12，在直角梯形ABCD 中， AD BC， C90， BC16，DC12，AD 21。动点 P 从点 D 出发，沿射线 DA 的方向以每秒2 两个单位长的速度运动，动点 Q 从点 C 出发，在线段 CB 上以每秒1 个单位长的速度向点B 运动，点 P，Q 分别从点D，C 同时出发，当点 Q 运动到点B 时，点 P 随之停止运动。设运动的时间为 t（秒） 。（1）设 BPQ 的面积为S，求 S 与 t 之间的函数关系式；（2）当 t 为何值时，以B，P，Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形？（3）当线段PQ 与线段AB 相交于点O，且 2AO OB 时，求BQP 的正切值；（4）是否存在时刻t，使得 PQBD ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由。(06 河北 ).如图 13，在 RtABC 中， C 90， AC12，BC 16，动点 P 从点 A 出发沿 AC 边向点 C 以每秒 3 个单位长的速度运动，动点Q 从点 C 出发沿 CB 边向点 B 以每秒 4 个单位长的速度运动P，Q 分别从点 A，C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动在运动过程中，PCQ 关于直线 PQ 对称的图形是PDQ设运动时间为t（秒）（1）设四边形PCQD 的面积为y，求 y 与 t 的函数关系式；（2）t 为何值时，四边形PQBA 是梯形？（3）是否存在时刻t，使得 PDAB？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；（4）通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t，使得 PDAB？若存在，请估计t 的值在括号中的哪个时间段内（0t1；1 t2；2t3；3t4） ；若不存在，请简要说明理由(07 河北 ). 如图 16，在等腰梯形ABCD中，ADBC，AB=DC=50，AD=75，BC=135点P从点B出发沿折线段BA-AD-DC以每秒 5 个单位长的速度向点C匀速运动；点Q从点C出发沿线段CB方向以每秒3个单位长的速度匀速运动，过点Q向上作射线QKBC， 交折线段CD-DA-AB于点E 点P、Q同时开始运动，当点P与点C重合时停止运动，点Q也随之停止设点P、Q运动的时间是t秒（t0） （1）当点P到达终点C时，求t的值，并指出此时BQ的长；（2）当点P运动到AD上时，t为何值能使PQDC ？（3） 设射线QK扫过梯形ABCD的面积为S，分别求出点E运动到CD、DA上时，S与t的函数关系式；（不A B Q C P D 图 12 图 13 A P C Q B D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页必写出t的取值范围）（4）PQE能否成为直角三角形？若能，写出t的取值范围；若不能，请说明理由(08 河北 ). 如图 15， 在RtABC中，90C，50AB，30AC，DEF， ，分别是ACABBC，的中点 点P从点D出发沿折线DEEFFCCD以每秒 7 个单位长的速度匀速运动；点Q从点B出发沿BA方向以每秒4 个单位长的速度匀速运动，过点Q作射线QKAB，交折线BCCA于点G点PQ，同时出发，当点P绕行一周回到点D时停止运动，点Q也随之停止设点PQ，运动的时间是t秒（0t） （1）DF，两点间的距离是；（2）射线QK能否把四边形CDEF分成面积相等的两部分？若能，求出t的值若不能，说明理由；（3）当点P运动到折线EFFC上，且点P又恰好落在射线QK上时，求t的值；（4）连结PG，当PGAB时，请直接写出t的值(09 河北 )如图 16，在 RtABC 中， C=90 ，AC = 3，AB = 5点 P 从点 C 出发沿 CA 以每秒 1 个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点 Q 从点 A 出发沿 AB 以每秒 1 个单位长的速度向点B 匀速运动伴随着 P、 Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ， 且交 PQ 于点 D， 交折线 QB-BC-CP于点 E点 P、Q 同时出发，当点Q 到达点 B 时停止运动，点P 也随之停止设点P、 Q 运动的时间是t秒（ t0） （1）当 t = 2 时， AP = ，点 Q 到 AC 的距离是；（2）在点 P 从 C 向 A 运动的过程中，求 APQ 的面积 S与t 的函数关系式； （不必写出t 的取值范围）（3）在点 E 从 B 向 C 运动的过程中，四边形QBED 能否成为直角梯形？若能，求t 的值若不能，请说明理由；（4）当 DE 经过点 C 时，请直接写出 t 的值D E K P Q C B A 图 16 A E C D F G B Q K 图 15 P A C B P Q E D 图 16 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页(10 河北 ).如图 16，在直角梯形ABCD 中， ADBC，90B，AD = 6，BC = 8，33AB，点 M 是 BC的中点点P 从点 M 出发沿 MB 以每秒 1 个单位长的速度向点 B 匀速运动，到达点B 后立刻以原速度沿BM 返回；点 Q 从点 M 出发以每秒1 个单位长的速度在射线MC 上匀速运动在点P，Q 的运动过程中，以 PQ 为边作等边三角形EPQ，使它与梯形ABCD 在射线 BC 的同侧点P，Q 同时出发，当点P 返回到点 M 时停止运动，点Q 也随之停止设点 P，Q 运动的时间是t 秒(t0)（1）设 PQ 的长为 y，在点 P 从点 M 向点 B 运动的过程中，写出y 与 t 之间的函数关系式（不必写t的取值范围） （2）当 BP = 1 时，求 EPQ 与梯形 ABCD 重叠部分的面积（3）随着时间t 的变化， 线段 AD 会有一部分被EPQ 覆盖， 被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值，请回答：该最大值能否持续一个时段？若能，直接写出 t 的取值范围；若不能，请说明理由M A D C B P Q E 图 16 A D C B （备用图）M 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页