2022年江苏省扬州、泰州、南通、淮安、宿迁、徐州六市2017届高三下学期第二次调研测试数学试题 .pdf

i 1 While i 6 ii2 S2i3 End While Print S第 3 题宿迁市 2017 届高三第二次调研测试数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14 小题，每题5 分，共计70 分1 已知集合 034 A， ，1023 B， ， ，则 AB【答案】03，2 已知复数3i1iz，其中i为虚数单位，则复数z的模是【答案】53 根据如下图的伪代码，可知输出的结果S是【答案】 17 4 现有 1 000 根某品种的棉花纤维，从中随机抽取50 根，纤维长度单位：mm的数据分组及各组的频数见右上表，据此mm 的根数是【答案】 1805 100 张卡片上分别写有1，2，3， 100从中任取1 张，则这张卡片上的数是6 的倍数的概率是【答案】425或 0.166 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线24yx 上一点P到焦点的距离为3，则点P的横坐标是【答案】 2 7 现有一个底面半径为3 cm，母线长为5 cm 的圆锥状实心铁器，将其高温融化后铸成一个实心铁球不计损耗 ，则该铁球的半径是cm纤维长度频数，25.5) 3 ，28.5) 8 ，31.5) 9 ，34.5) 11 ，37.5) 10 ，40.5) 5 ， 4 第 4 题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 15 页【答案】398 函数2( )lg 5f xx的定义域是【答案】22，9 已知na是公差不为0 的等差数列，nS 是其前n 项和假设2345a aa a ，927S，则1a 的值是【答案】510 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1C ：22481xy，圆2C ：22669xy假设圆心在x轴上的圆 C 同时平分圆1C 和圆2C 的圆周，则圆C 的方程是【答案】2281xy11 如图，在平面四边形ABCD 中， O 为BD的中点，且3OA，5OC假设 ABAD7，则 BCDC的值是【答案】 912 在 ABC 中，已知2AB，226ACBC，则 tanC 的最大值是【答案】2 5513 已知函数20( )10 xmxfxxx，其中0m假设函数( )1yff x有 3 个不同的零点，则 m 的取值范围是【答案】 (01)，14 已知对任意的xR， 3sincos2 sin23 axxbxabR，恒成立，则当ab 取得最小值时，a的值是【答案】45二、解答题：本大题共6 小题，共计90 分15 本小题总分值14 分已知2sin410，2，求： 1cos的值；B C D O (第 11 题) A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 15 页2sin 24的值解： 1法一：因为2，所以35444，又2sin410，所以2227 2cos1sin1441010 3 分所以coscos44coscossinsin444472222102102356 分法二：由2sin410得，2sincoscossin4410，即1sincos53 分又22sincos1. 由解得3cos5或cos45因为2，所以3cos56 分2因为2，3cos5，所以2234sin1cos1558 分所以4324sin22sincos25525，2237cos22cos1252512 分所以sin 2sin 2coscos2sin4442224725225217 25014 分16 本小题总分值14 分如图，在直三棱柱111ABCA B C 中， ACBC ，A1B与 AB1交于点 D，A1C与 AC1交于点 EC1A1B1D E 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 15 页求证：1DE平面 B1BCC1；2平面1A BC平面11A ACC 证明：1在直三棱柱111ABCAB C 中，四边形 A1ACC1为平行四边形又 E为 A1C与 AC1的交点，所以 E为 A1C的中点2 分同理， D 为 A1B 的中点，所以 DEBC4 分又 BC平面 B1BCC1，DE平面 B1BCC1，所以 DE平面 B1BCC17 分 2在直三棱柱111ABCA BC 中，1AA平面 ABC，又 BC平面 ABC，所以1AABC 9 分又 ACBC ，1ACAAA，1ACAA，平面11A ACC ，所以 BC平面11A ACC 12 分因为 BC平面1A BC ，所以平面1A BC平面11A ACC 14 分17 本小题总分值14 分如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221 (0)yxabab的离心率为23，C为椭圆上位于第一象限内的一点 1假设点 C 的坐标为523，求 a，b 的值； 2设 A 为椭圆的左顶点，B为椭圆上一点，且AB12OC，求直线AB的斜率解： 1因为椭圆的离心率为23，所以2223aba，即2259ba( 第 17 题) O A B C x y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 15 页又因为点 C523，在椭圆上，所以2242519ab 3 分由解得2295ab，因为0ab，所以35ab，5 分2法一：由知，2259ba，所以椭圆方程为2222915yxaa，即222595xya 设直线 OC的方程为xmy0m，11()B xy，22()C xy，由222595xmyxya，得2222595m yya ，所以222559aym因为20y，所以22559aym 8 分因为 AB12OC，所以/ABOC 可设直线AB的方程为xmya由222595xmyaxya，得22(59)100myamy，所以0y或21059amym，得121059amym11 分因为 AB12OC，所以11221122xayxy，于是212yy ，即2559am22059amm0m，所以35m所以直线 AB的斜率为5 313m14 分法二：由 1可知，椭圆方程为222595xya ，则(0)Aa， 设11()B xy，22()C xy，由 AB12OC，得11221122xayxy，所以1212xxa ，1212yy 8 分因为点 B，点 C都在椭圆222595xya 上，所以22222222225951595.22xyayxaa，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 15 页解得24ax，254 3ay，12 分所以直线 AB的斜率225 33ykx14 分18 本小题总分值16 分一缉私艇巡航至距领海边界线lA 处，发现在其北偏东 30 方向相距 4 海里的 B处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3 倍假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行 1假设走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截成功； 参考数据：sin17 36，335.7446 2问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由解： 1设缉私艇在C 处与走私船相遇如图甲，依题意，3ACBC 2 分在 ABC 中，由正弦定理得，sinsinBCBACABCACsin120336因为 sin17 36，所以17BAC 从而缉私艇应向北偏东47方向追击5 分在 ABC 中，由余弦定理得，2224cos1208BCACBC，解得1334BC1.68615 又 B到边界线l 的距离为 3.84sin301.8 因为 1.686151.8 ，所以能在领海上成功拦截走私船8 分2如图乙，以A为原点，正北方向所在的直线为y轴建立平面直角坐标系xOy 则22 3B，设缉私艇在()P xy，处缉私艇恰好截住走私船的位置与走私船相遇，则3PAPB，即22223(2)2 3xyxy整理得，229993444xy，12 分ABC图甲y 公海领海AB图乙60l x 领海AB北( 第 18 题) 30公海l精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 15 页所以点()P xy，的轨迹是以点99344，为圆心，32为半径的圆因为圆心99344，到领海边界线l ：3.8x的距离为1.55，大于圆半径32，所以缉私艇能在领海内截住走私船14 分答： 1缉私艇应向北偏东47方向追击；2缉私艇总能在领海内成功拦截走私船 16 分19 本小题总分值16 分已知函数1( )exfx，( )lng xx ，其中 e 为自然对数的底数1求函数( ) ( )yfx g x 在 x1 处的切线方程；2假设存在12xx，12xx，使得1221()()()()g xg xf xf x成立，其中为常数，求证：e；3假设对任意的01x， ，不等式( ) ( )(1)fx g xa x恒成立，求实数a 的取值范围解： 1因为ln( ) ( )exxyf x g x，所以211elnelneexxxxxxxxy，故11exy所以函数( ) ( )yf x g x 在 x1 处的切线方程为1(1)eyx，即e10 xy2 分2由已知等式1221()()()()g xg xf xf x得1122()()()()g xf xg xf x记( )( )( )lnexp xg xf xx，则e( )exxxp xx4 分假设e假设 0，则( )0p x，所以( )p x 在 0 +，上为单调增函数又12()()p xp x，所以12xx ，与12xx 矛盾6 分假设 0e，记( )exr xx ，则( )exrx令( )0rx，解得0lnx当0 xx 时，( )0rx，( )r x 在0 x ，上为单调增函数；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 15 页当00 xx 时，( )0rx，( )r x 在00 x，上为单调减函数所以0()()=1ln)0r xr x（，所以( )0px ，所以( )p x 在 0 +，上为单调增函数又12()()p xp x，所以12xx ，与12xx 矛盾综合，假设不成立，所以e9 分3由( ) ( )(1)f x g xa x得 lne (1)xxax 0记lne (1)xF xxax( )=， 0 x 1，则211eeexxxF xaxxaxx( )=当1ea时，因为211eexx，e0 xx，所以0F x()，所以 F x( ) 在0 +，上为单调增函数，所以(1)F xF( )= 0，故原不等式恒成立12 分法一：当1ea时，由 2知 eexx，3211eea xF xa xxx()，当13e1ax时，0F x( )，( )F x 为单调减函数，所以(1)F xF( )= 0，不合题意法二：当1ea时，一方面1 =1e0Fa( )另一方面，111exa，111121111eeee 10F xa xxaxaaxx()所以01(1)xx ，使0=0F x()，又 Fx( ) 在 (0)，上为单调减函数，所以当01xx时，0Fx( )，故 F x() 在0(1)x ，上为单调减函数，所以(1)F xF( )= 0，不合题意综上，1ea 16 分20 本小题总分值16 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 15 页设数列na的前 n 项和为 Sn*nN，且满足：12aa；22112nnr np Snn anna，其中 rpR，且0r 1求 p 的值； 2数列na能否是等比数列？请说明理由； 3求证：当r 2 时，数列na是等差数列解： 1n1 时，211(1)220rp Saa，因为12aa，所以20S，又0r，所以 p12 分2na不是等比数列理由如下：假设na是等比数列，公比为q，当 n2 时，326rSa ，即211(1)6raqqaq ，所以2(1)6rqqq， i4 分当 n3 时，431212+4rSaa ，即2321112(1)124raqqqa qa ，所以232(1)62rqqqq，ii6 分由 i ii得 q1，与12aa矛盾，所以假设不成立故na不是等比数列8 分3当 r 2 时，易知3122aaa 由22112(1)()(2)nnnSnn anna ，得2n时，11(1)(1)(2)211nnn nannaSnn，112(1)(2)(1)(2)2nnnnannaSnn， 得，2112(1)(2)(1)(2)21(1)nnnnnan nannaannn n， 11 分即11121(1)(2)()(1)()2()1nnnnnaan naaaann，211112()(2)()()11nnnaanaan aannn，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 15 页即2111111121nnnnaaaan aaaannnn111(1)2212nnn naaaann3121(1)3202223121n naaaa，所以11121121nnaaaaaann，令21aad，则11naadn(2)n14 分所以1(1)(2)naandn. 又1n时，也适合上式，所以*1(1) ()naand nN所以*1()nnaad nN所以当 r 2 时，数列na是等差数列16 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 15 页数学附加题21 【选做题】此题包括A、B、C、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答假设多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A 选修 4-1：几何证明选讲本小题总分值10 分如图，已知ABC内接于 O，连结 AO并延长交 O 于点 D，ACBADC 求证：2AD BCAC CD 证明：连结OC 因为ACBADC ，ABCADC ，所以ACBABC 3 分因为 OCOD，所以OCDADC 所以ACBOCD 所以 ABC ODC 8 分所以ACBCOCCD，即 AC CDOC BC 因为12OCAD ，所以2AD BCAC CD 10 分B 选修 4-2：矩阵与变换 本小题总分值10 分设矩阵A满足：A12061203，求矩阵A的逆矩阵1A解：法一：设矩阵abcdA，则1206abcd1203，所以1a， 262ab，0c， 263cd4 分解得0b，12d，所以10102A6 分D A CB O 第 21A 题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 15 页根据逆矩阵公式得，矩阵11002A10 分法二：在A12061203两边同时左乘逆矩阵1A得，12061A12034 分设1Aabcd，则1206abcd1203，所以1a，232ab，0c，236cd6 分解得1a，0b，0c，2d，从而11002A10 分C 选修 4-4：坐标系与参数方程 本小题总分值10 分在平面直角坐标系xOy 中，已知直线232222xlyl，l 为参数与曲线218xtyt，t为参数相交于A，B两点，求线段AB的长解：法一：将曲线218xtyt，t为参数化为普通方程为28yx 3 分将直线232222xlyl， l 为参数代入28yx 得，282240ll，6 分解得12 2l，26 2l则124 2ll，所以线段AB的长为 4 2 10 分法二：将曲线218xtyt，t为参数化为普通方程为28yx ，3 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 15 页将直线232222xlyl， l 为参数化为普通方程为302xy， 6 分由28302yxxy，得，122xy，或926.xy，所以AB的长为229162422210 分D 选修 4-5：不等式选讲 本小题总分值10 分设xyz， ，均为正实数，且1xyz，求证：333111xyyzzxx yy zz x证明：因为xyz， ，均为正实数，且1xyz，所以3122xyyzxx y，3122yzxzyy z，3122xzxyzz x 8 分所以333111xyyzzxx yy zz x10 分【必做题】第22、23 题，每题10 分，共计20 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22 本小题总分值10 分某乐队参加一户外音乐节，准备从3 首原创新曲和5 首经典歌曲中随机选择4 首进行演唱 1求该乐队至少演唱1 首原创新曲的概率； 2假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为aa 为常数，演唱一首经典歌曲观众与乐队的互动指数为2a求观众与乐队的互动指数之和X的概率分布及数学期望解： 1设“至少演唱1 首原创新曲”为事件A，则事件A的对立事件A 为： “没有 1 首原创新曲被演唱” 所以4548C13()1114CP AP A答：该乐队至少演唱1 首原创新曲的概率为13144 分2设随机变量x表示被演唱的原创新曲的首数，则x的所有可能值为0，1，2，3依题意，24Xaxax ，故X的所有可能值依次为8a，7a，6a，5a则4548C1(8 )(0)14CP XaP x，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 15 页133548C C3(7 )(1)7CP XaP x，223548C C3(6 )(2)7CP XaP x，313548C C1(5 )(3)14CP XaP x从而X的概率分布为：8 分所以X的数学期望133191876514771414EXaaaaa 10 分23 本小题总分值10 分设*2nnN ，有序数组12naaa，经 m 次变换后得到数组12mmmnbbb，其中11iiibaa，111mimimibbb，i1，2，n ，11naa ，1111mnmbb，(2)m例如：有序数组123， ，经 1 次变换后得到数组12233 1，即354， ，； 经第2 次变换后得到数组897， ，1假设 (12)iaiin， ，求35b，的值；2求证：0Cmjmiijmjba，其中i1，2，n注：当 ijknt 时，*kN ，t1，2，n，则ijtaa 解： 1依题意，1 2345678n， ， ， ， ， ， ， ，经 1 次变换为：35791113 151n， ， ，经 2 次变换为：812 162024284n，经 3 次变换为：202836445212n，所以3552b，3 分2下面用数学归纳法证明对*mN ，0Cmjmiijmjba，其中12in， ， X8a7a6a5aP1143737114精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 15 页 i当1m时，11110Cjiiiijjbaaa，其中12in， ， ，结论成立； ii假设* ()mkkN时，kib，0Ckjijkja，其中12in， ， 5 分则1mk时，11kikikibbb，100CCkkjjijkijkjjaa1101CCkkjjijkijkjjaa0111CCCCkjjkikijkkikkjaaa0111111CCCkjkikijkikkjaaa110Ckjijkja，所以结论对1mk时也成立由 i ii知，*mN ，0Cmjmiijmjba，其中12in， ， 10 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 15 页