龙岩市 2020 年4月份高三教学质量检查数学（理科）试题.docx

龙岩市 2020 年高中毕业班教学质量检查数学（理科）试题本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题） 全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟注意事项：1. 考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上2. 答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”第卷（选择题共 60 分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每个小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的1已知集合 M = x | y =2 - x, N = x | -2 < x < 3，则 M I N =Ax -3 < x 2Bx -3 < x < 2Cx -2 < x 2Dx -2 < x < 22. 若复数 z 满足 z =（1- 2i） i ，则复平面内 z 对应的点位于3A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3已知 a = log 8 ， b = 21.1 ， c = 0.83.1 ，则A. b < a < cB. a < c < bC. c < b < aD. c < a < b4. (x +1)(2x - 1 )5 的展开式中常数项为xA. - 40B. 40C. - 80D. 805. 赵爽弦图（图 1）是取材于我国古代数学家赵爽的勾股圆方图，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的 一个大正方形.图 2 是由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼接而成现随机向图 2 中大正方形的内部投掷一枚飞镖,若直角三角形的直角边长分别为2 和 3，则飞镖投中小正方形（阴影）区域的概率为（第 5 题图）1495A.B.C.D.25252536pp3p6. 已知函数 f (x) = 2 sin(2x +j) 满足 f (8- x) =f (+ x) ，则 f () =88A. - 2B. 0C. 2D. 237. 函数 f ( x ) = (3x - 3- x )log x 2 的图象大致为ABCD28. 已知椭圆C : xa2+ y2b2= 1(a > b > 0) 的左焦点为 F ，上顶点为 A ，右顶点为 B ，若 DAFB是直角三角形，则椭圆C 的离心率为23A. B.22C.D.3 -15 -1229. 关于函数 f (x) =xp+ x）- x 有下述四个结论：2sinsin（222函数 f (x) 的图象把圆 x2 + y2 = 1的面积两等分 f (x) 是周期为p的函数函数 f (x) 在区间(-, +) 上有 3 个零点函数 f (x) 在区间(-, +) 上单调递减其中所有正确结论的编号是ABCD210. 已知O 是坐标原点， F 是双曲线C : xa2y23a = 4b > 0F-=b21 （）的左焦点，过作斜率为k （ k > 0 ）的直线l 与双曲线渐近线相交于点 A ， A 在第一象限且 OA = OF等于，则 k11A. BC. 1D. 1234uuur uuur 511. 已知在DABC 中， AB = 4, AC = 6 ，其外接圆的圆心为O ，则 AO BC = （）A. 20B. 29C.10D. 92212. 已知正三棱柱 ABC - A1B1C1 的底面边长为 2，用一平面截此棱柱与侧棱 AA1 , BB1 , CC1 分别交于 M , N , Q ，若DMNQ 为直角三角形，则DMNQ 面积的最小值为77A.B. 3C. 2D. 6第卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分（3 a2 - b2 - c2 )13. 曲线 y = (x2 - 2) ln x 在 x = 1 处的切线方程为.14. DABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c .若DABC 的面积为，则4A = .15. 记 S 为数列a 的前 n 项和，若 a= 1， 2S+1 = a，则 2S10 +1 = .nn1nn+1a1016. 波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前 262-190 年）的著作圆锥曲线论是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样 一个命题：平面内与两定点距离的比为常数 k （ k > 0, 且 k 1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.现有DABC , AC = 4, sin C = 2 sin A ，则当DABC 的面积最大时， AC 边上的高为 .三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17. （本小题满分 12 分）已知等差数列an 的公差 d 0 ，若 a6 = 11，且 a2 , a5 , a14 成等比数列.（1） 求数列an 的通项公式；n（2） 设b =1，求数列b 的前 n 项和 S .anannn+118.（本小题满分 12 分）如图，在四棱柱 ABCD - A1B1C1D1 中，底面 ABCD 是等腰梯形， AB / CD ， AB = 4 ，BC = CD = 2 ，顶点 D1 在底面 ABCD 内的射影恰为点C .（1） 求证： BC 平面 ACD1 ；（2） 若直线 DD 与底面 ABCD 所成的角为p，求平面14ABC1D1 与平面 ABCD 所成锐二面角的余弦值19.（本小题满分 12 分）（第 18 题图）近一段时间来，由于受非洲猪瘟的影响，各地猪肉价格普遍上涨，生猪供不应求.各大养 猪场正面临巨大挑战.目前各项针对性政策措施对于生猪整体产量恢复、激发养殖户积极性的 作用正在逐步显现.现有甲、乙两个规模一致的大型养猪场，均养有 1 万头猪，将其中重量（kg）在1,139 内的猪分为三个成长阶段如下表. 猪生长的三个阶段阶段幼年期成长期成年期重量（Kg）1,24)24,116)116,139根据以往经验，两个养猪场猪的体重 X 均近似服从正态分布 X N (70,232 ) .由于我国有关部门加强对大型养猪场即将投放市场的成年期猪的监控力度，高度重视成年期猪的质量保证，为了养出健康的成年活猪，甲、乙两养猪场引入两种不同的防控及养殖模式.已知甲、乙两个养猪场内一头成年期猪能通过质检合格的概率分别为（1） 试估算甲养猪场三个阶段猪的数量；3 , 4 .4 5（2） 已知甲养猪场出售一头成年期的猪，若为健康合格的猪，则可盈利 600 元，若为不合格的猪，则亏损 100 元；乙养猪场出售一头成年期的猪，若为健康合格的猪，则可盈利 500元，若为不合格的猪，则亏损 200 元.（）记Y 为甲、乙养猪场各出售一头成年期猪所得的总利润，求随机变量Y 的分布列；（）假设两养猪场均能把成年期猪售完，求两养猪场的总利润期望值.（参考数据: 若 Z N (m,s2 ) ， P(m-s< Z < m+s) = 0.6826 ，P(m- 2s< Z < m+ 2s) = 0.9544 ， P(m- 3s< Z < m+ 3s) = 0.9974 ）20.（本小题满分 12 分）已知抛物线C : x2 = 2 py ( p > 0) 上一点 P(2, m) ， F 为焦点， DPFO 面积为 1.（1）求抛物线C 的方程；（2）过点 P 引圆 M : x2 + ( y - 3)2 = r 2 (0 < r <2) 的两条切线 PA 、 PB ，切线 PA 、PB 与抛物线C 的另一个交点分别为 A 、 B ,求直线 AB 斜率的取值范围.21.（本小题满分 12 分）已知函数 f (x) = x ln x - ax2 (a R)（1） 讨论函数的极值点个数；（2） 若 g(x) =f (x) - x 有两个极值点 x1 , x2 ，试判断 x1 + x2 与 x1 x2 的大小关系并证明.请考生在 22、23 两题中任选一题作答. 注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做第一个题目计分. 作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑22（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是r- 6 cosq= 0 ，以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴，建3立平面直角坐标系，直线l 过点 M (0, 2) ，倾斜角为 4（1） 求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的参数方程；11MAMB（2） 设直线l 与曲线C 交于 A ， B 两点，求+的值23（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 f (x) =| x +1| + | x - 2a | .（1） 若 a = 1 ，解不等式 f (x) < 4 ；（2） 对任意的实数m ，若总存在实数 x ，使得m2 -2m+4= f (x)，求实数a 的取值范围.龙岩市 2020 年高中毕业班教学质量检查数学（理科）参考答案及评分细则评分说明：1. 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可在评卷组内 讨论后根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则2. 对计算题，当考生的解答在某一步仅出现严谨性或规范性错误时，不要影响后续部分 的判分；当考生的解答在某一步出现了将影响后续解答的严重性错误时，后继部分的解答不再给分3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4. 只给整数分数选择题和填空题不给中间分一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算。共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题号123456789101112选项CDDAABBDCBCB二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算每小题 5 分，满分 20 分13 x + y -1 = 014 2p （或120o ）15316 833( y - x)2 + 412略解一：把 N 画到 B 处，Q 在CC1 上，M 在 AA1 上，设 AM = x, CQ = y 不妨设 y > x ，BM =x2 + 4, BQ =y2 + 4, MQ =,此时BMQ = 90o由 BM 2 + MQ2 = BQ2 ，得 x2 - xy + 2 = 0, y = x + 2x2 4x2xS = 12x2 + 4 ， S 2 = x2 + 4( y - x)2 + 42x2+ 5 2+ 5 = 9 S 3 ，当且仅当 x =时取等号， Smin = 3 .略解二：以 AC 中点O 为坐标原点， OB 所在直线为 x 轴， AC 所在直线为 y 轴，建立空间直角坐标系，设 M (0,-1, a) ，N ( 3,0, b),Q(0,1, c) ，不妨设 N 为直角，MN = (3,1,b - a),QN = ( 3,-1,b - c) ，所以 MN QN = 0 ，124 +（b - a)24 + (b - c)21（b - a)(b - c) + 2 = 0 , S =| MN | | QN |=2= 1 16 + 4(b - a)2 + (b - c)2 +(b - a)(b - c)22 1 16 +16 + 4 = 3216解：Q sin C = 2sin A，= sin C = 2 为非零常数，故点B 的轨迹是圆.ABCBsin A以线段AC 中点为原点， AC 所在直线为 x 轴建立直角坐标系则A(-2,0),C(2,0)，设 B(x, y) Q AB = 2 CB ，(x+ 2）2 + y2(x- 2）2 + y2= 223x2 + 3y2 - 20x +12 = 0 ，整理得(x - 10)2 + y2 = (8)33因此，当DABC 面积最大时， BC 边上的高为圆的半径 8 .3三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（本小题满分 12 分）解：（1）Qa6 = 11， a1 + 5d = 11 2 分Q a , a , a 成等比数列，a2 = a a ，（a + 4d )2 = (a + d )(a+13d )251452 14111化简得6a d = 3d 2 ，Q d 0 ， 2a = d 4 分11由可得， a1 = 1, d = 2所以数列的通项公式是 an = 2n -16 分（2）由（1）得bn=1(2n -1)(2n +1)= 1 (21-2n -11)2n +19 分 S = b + b+L+ b= 1 (1- 1 + 1 - 1 +L+1 -1)n12= 11n2335n2n -12n +1（1-) =22n +12n +112 分18（本小题满分 12 分）解：（1）证明：如图，连接D1C ，则D1C 平面ABCD ，Q BC 平面ABCD , BC D1C2 分在等腰梯形ABCD 中，连接AC ，过点C 作 CG AB 于点G ，Q AB = 4 ， BC =CD = 2 , AB /CD ，22 - 123则AG = 3,BG = 1，CG =32 +( 3 )23 AC =AG 2 +CG 2 = 2G因此满足AC2 + BC2 = 16 = AB2 ，BC AC又 D1C, AC 面A D 1C ， D1C I AC = CBC 平面AD1C（2）由（1）知AC,BC,D1C 两两垂直，5 分6 分 DC 平面ABCD ，D DC = p，DC =CD = 21141以C 为坐标原点，分别以CA,CB,CD1 所在直线为 x 轴， y 轴， z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，7 分则C(0,0,0)， A(2 3,0,0)， B(0,2,0)， D1(0,0,2)，uuuruuuur AB = (-2 3, 2, 0) ， AD1 = (-2 3, 0, 2)ruuur r设平面ABCD 的法向量 n = ( x, y, z)，由 AB n = 0-2 3x + 2 y = 0得1 1uuuur rr AD1 n = 0-2 3x + 2z = 0可得平面ABC1D1 的一个法向量 n = (1, 3, 3) ，9 分uuur又CD1 = (0, 0, 2) 为平面ABCD 的一个法向量，10 分设平面ABC1D1 与平面ABCD 所成锐二面角为q2 32 721uuuur urCD1 n则cosq= uuuur ur =CD1 n7因此平面ABC1D1 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值为19（本小题满分 12 分）解：（1）由于猪的体重 X 近似服从正态分布 X N (70, 232 ) , 设各阶段猪的数量分别为 n1, n2 , n312 分217 P(1 X < 24) = P(70 - 3 23 X < 70 - 2 23) = 0.9974 - 0.9544 = 0.02152 n1 = 10000 0.0215 = 215 （头）；同理， P(24 X < 116) = P(70 - 2 23 X < 70 + 2 23) = 0.9544 n2 = 10000 0.9544 = 9544 （头）P(116 X < 139) = P(70 + 2 23 X < 70 + 3 23) = 0.9974 - 0.9544 = 0.02152n3 = 10000 0.0215 = 215所以，甲养猪场有幼年期猪 215 头，成长期猪 9544 头，成年期猪 215 头.6 分（每个2 分）（2）依题意，甲、乙两个养猪场内一头成年期猪能通过质检合格的概率分别为 3 , 4 ，4 5随机变量Y 可能取值为1100, 400, -300 .P(Y = 1100) =3 445= 3 ， P(Y = 400) =53 1 +451 4 = 7 ，4520P(Y = -300) = 1 1 = 14520所以Y 的分布列为：Y1100400- 300P35720120所以 E(Y ) = 1100 35+ 400 720- 300 120= 785（元）10 分由于各养猪场均有 215 头成年期猪，一头猪出售的利润总和的期望为 785 元， 则总利润期望为785 215 = 168775 （元）12 分20（本小题满分 12 分）1解：（1）由已知得，2| OF | 2 = 1，即 p2= 1，解得 p = 2 ，所以C 的方程为 x2 = 4 y4 分（2）由（1）得 P(2,1) ，设直线 PA 斜率为 k1 ，则 PA 方程为 y -1 = k1 (x - 2) ，即 k x - y +1- 2k= 0 ,Q直线 PA 与圆相切， 2 | k1 +1| = r ，11（4 - r 2 )k 2 + 8k+ 4 - r 2 = 0k 2 +116 分11设直线 PB 斜率为 k ，同理得（4 - r2 )k 2 + 8k + 4 - r2 = 0222 k1 , k2 是方程（4 - r )k + 8k + 4 - r = 0 的两个根222D = 4r 2 (8 - r 2 ) > 0(Q 0 < r <2) k1+ k2=8r 2 - 4， k1k2 = 18 分设 A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ) y - 1 = k1 (x - 2)2由x2 = 4 y得 x - 4k1x + 8k1 - 4 = 0 ，由韦达定理得 x1 + 2=4k1 x1 = 4k1 - 2 ，同理 x2 = 4k2 - 29 分x2x2y - y 2 - 118所以 k= 21 = 44 =(x + x ) = k + k-1 =-110 分xAB2- x1x2 - x141212r 2 - 4Q 0 < r 2 < 2 ，-4 <8r 2 - 4< -2 kAB(-5,-3)直线 AB 斜率的取值范围是(-5, -3)21（本小题满分 12 分）12 分解：（1） f (x) = ln x + x 1x- 2ax = ln x - 2ax +1(x > 0)1 分令 f（x) = 0, 得2a =1 + ln x x，记Q(x) =1 + ln x x, 则Q(x) =- ln x x2令Q(x) > 0 ，得0 < x < 1；令Q(x) < 0 ，得 x > 1Q(x) 在(0,1) 上是增函数，在(1,+) 上是减函数，且Q(x)最大 =Q(1) = 1 1当2a > 1, 即 a >时， f (x) = 0 无解， f (x) 无极值点2当 2a = 1, 即 a = 1 时， f (x) = 0 有一解， 2a 1 + ln x ，即ln x - 2ax +1 02xf (x) 0 恒成立， f (x) 无极值点1当0 < 2a < 1，即0 < a <时， f (x) = 0 有两解， f (x) 有 2 个极值点2当 2a 0 即 a 0 时， f (x) = 0 有一解， f (x) 有一个极值点.1综上所述：当 a , f (x) 无极值点； 0 < a <21 时， f (x) 有 2 个极值点；2当 a 0 ， f (x) 有 1 个极值点5 分（2） g(x) = x ln x - ax2 - x ， g(x) = ln x - 2ax(x > 0)ln x令 g(x) = 0 ，则ln x - 2ax = 0 ， 2a =x记 h(x) = ln x ，则 h(x) = 1- ln xxx2由 h(x) > 0, 得0 < x < e ，由 h(x) < 0 ，得 x > e ，1 h(x) 在(0, e) 上是增函数，在(e,+) 上是减函数hmax (x) = h(e) = e , 当 x > e 时， f (x) > 0当0 < 2a < 1 即0 < a < 1 时e2eg(x) 有 2 个极值点 x1 , x2ln x1 = 2ax1由ln x2 = 2ax27 分得ln(x1 x2 ) = ln x1 + ln x2 = 2a(x1 + x2 ) 2a = ln(x1 x2 )x1 + x2不妨设 x1 < x2 , 则1 < x1 < e < x2 ， x1 + x2 > x2 > e又 h(x) 在(e,+) 上是减函数 ln(x1 + x2 ) < ln x2 = 2a = ln(x1 x2 )8 分9 分11 分x1 + x2x2x1 + x2ln(x1 + x2 ) < ln(x1 x2 ) x1 + x2 < x1 x222（本小题满分 10 分）解：（1）因为r= 6 cosq，所以r2 = 6rcosq，12 分所以 x2 + y2 = 6x ，即曲线C 的直角坐标方程为： (x - 3)2 + y2 = 9 ，2 分 x = t cos 34 x = -2 t2直线l 的参数方程 y = 2 + t sin3 ( t 为参数)，即y = 2 +( t 为参数)，2 t425 分（2）设点 A ， B 对应的参数分别为t1 ， t2 ，222 2将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程得 - 2 t - 3 + 2 + 2 t = 9 ，22t1 + t2 = -5整理，得t+ 5 2t + 4 = 0 ，所以t1t2 = 4，7 分2Qt1 + t2 < 0, t1 t2 > 0,t1 < 0, t2 < 0所 以 MA + MB = t1 + t2= -(t1 + t2 ) = 5, MA MB=| t1t2 | =4,+11MAMB所以=10 分5 2MA+MBMA MB423（本小题满分 10 分）解：（1）当 a = 1 时， f (x) < 4 | x +1| + | x - 2 |< 4 ， x < - 1-1 x 2x > 23化为 2 x > - 3 或 < 4或2x -1 < 43 分- 3 < x < -1解得2或-1 x 22 < x < 5或2 ，(- 3 5- 3 < x < 5 即不等式 f (x) < 4 的解集为, ) 5 分22 .2 2 .（2）根据题意，得 m2 - 2m + 4 的取值范围是 f (x) 值域的子集.m2 - 2m + 4 = (m -1)2 + 3 3又由于 f (x) =| x +1| + | x - 2a | 2a +1|， f (x) 的值域为| 2a +1|,+)4 分故| 2a +1| 3 ，-2 a 1 .即实数 a 的取值范围为-2,110分