龙岩市 2020 年4月份高三教学质量检查数学（文科）试题.docx

龙岩市 2020 年高中毕业班教学质量检查数学（文科）试题本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题） 全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟注意事项：1. 考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上2. 答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”第卷（选择题共 60 分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每个小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的1设集合 M = 1,3,5 ， N = 2, 4, 5 ，则 M U N =A52设 z = i(1 - i) ，则 z =A. 1 - ix22B 3,5B. 1 + iC 2, 4, 5C. -1 - iD 1, 2, 3, 4, 5D. -1 + i3. 若双曲线- ya2= 1(a > 0) 的实轴长为 4，则其渐近线方程为A. y = xB. y = 2xC. y = 1 x20.24已知 a = log2 , b = 20.2 , c = 0.20.3 ，则A a < c < bC. c < a < bx - 3y + 4 0D. y = 2xB a < b < cD b < c < a5. 若变量 x, y 满足约束条件3x - y - 4 0 ，则 z = 4x - y 的最小值是x + y 0A. -6B. -5C. 5D 66. 从 2 名女同学和 3 名男同学中任选 2 人参加演讲比赛，则选中的 2 人是 1 名男同学 1 名女同学的概率是1234A. BCD55557. 第 24 届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的如图所示，赵爽弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方 形拼成的一个大正方形如果小正方形的面积为 1，大正方形的面积为25，直角三角形中较大的锐角为q，那么cos2 q=2A 3B 3105C. 7D 41058. 已知 f (x) 为奇函数，且当 x 0 时， f (x) = ex -1，则 f (ln 1) =211A -B -12C.1 D29. 已知四棱锥 S - ABCD 的所有顶点都在球O 的球面上， SA = SB , SA SB ，底面 ABCD 是等腰梯形， AB / CD ，且满足 AB = 2 AD = 2DC = 2 ，则球O 的表面积是A. 4 3B. 8 2 3x2C. 4D 810. 已知点 F 为椭圆a2+ y2 = 1(a > 1) 的一个焦点，过点 F 作圆 x2 + y 2 = 1 的两条切线，若这两条切线互相垂直，则a =23A 2BCD11. 函数 f (x) = coswx(w> 0) 在区间对称，则w=0, 上是单调函数，且 f (x) 的图像关于点 M ( 3 24, 0)2102141014A. 或33B 3 或2C3 或2D 3 或 34an - an222212. 已知数列an 满足 an+1 = 2 +，则 a1 + a2020 的最大值是2A 4 - 2B 8 -C 4 + 2D. 8 +第卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13. 曲线 y = (x - 1)ex 在点(1, 0) 处的切线方程为 14. 已知向量a = (1,1), b = (-3, m) ，若向量 2a - b 与向量b 共线，则实数 m = 15. 已知圆锥的顶点为 S ，点 A,B,C 在底面圆周上，且 AB 为底面直径，若 SA = AC = BC ， 则直线 SA 与 BC 的夹角为 316. 有一道题目由于纸张破损，有一条件看不清楚，具体如下：“在DABC 中，角 A , B , C 的对边分别为a, b, c ，已知 a = ， ， c2 - b2 - 3c + 3 = 0 ，求角 A ”经推断，破损处的条件为三角形一边的长度，且该题的答案 A = 45 是唯一确定的，则破损处应是 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分。17. 已知a 是公差为1的等差数列，数列b 满足b = 1 , b = 1 , a b+ b= nb n（1） 求数列bn 的通项公式；n122n n+1n+1n（2） 设cn = bnbn+1 ，求数列cn 的前 n 项和 Sn 18. 如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD - A1B1C1D1 中， E , F , M 分别是棱 AB , BC , AD 的中点（1） 证明： D1M / 平面 A1EF ；（2） 求点 D1 到平面 A1EF 的距离19. 某共享单车运营公司的市场研究人员为了了解公司的经营状况，对公司最近 6 个月的市场占有率 y% 进行了统计，结果如下表：月份2019.2019.2019.2019.12019.12019.12月份代码 x123456y101415162021（1） 请用相关系数说明能否用线性回归模型拟合 y 与月份代码 x 之间的关系如果能， 请计算出 y 关于 x 的线性回归方程；如果不能，请说明理由；（结果精确到 0.01）（2） 根据调研数据，公司决定再采购一批单车扩大市场，从成本 1000 元/辆的 A 型车和800 元/辆的 B 型车中选购一种，两款单车使用寿命频数如下表：报废年限车型1 年2 年3 年4 年总计A8324020100B12433510100经测算，平均每辆单车每年能为公司带来 500 元的收入，不考虑除采购成本以外的其它成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，用频率估计每辆单车使用寿命的概率，以平均每辆单车所产生的利润的估计值为决策依据，如果你是公司负责人，会选择哪款车型？6 6 6 参考数据： (x - x)( y - y) = 37 ， (x - x)2 = 17.5 ， ( y - y)2 = 82 ，iii=1ii=1ii=1143537 37.88 ， 37.88 0.98 n i=1n n (x - x)( y - y)2i2ii=1(xi - x)( yi - y)n (xi - x)( yi - y) 参考公式：相关系数 r =i=1，b$ =i=1(x - x)n 2i，$a = y - $b x i=120. 设抛物线C : y2 = 2 px( p > 0) 的焦点为 F ，C 的准线与 x 轴的交点为 E ，点 A 是C 上的动点当DAEF 是等腰直角三角形时，其面积为 2（1） 求C 的方程；（2） 延长 AF 交C 于点 B ，点 M 是C 的准线上的一点，设直线 MF , MA , MB 的斜率分别是k0 , k1 , k2 ，证明： k1 + k2 = 2k0 21. 已知函数 f (x) = x + 1 ln2 x - ln x +1 2（1） 讨论 f (x) 的单调性；（2） 若 m > 0 ，方程 mf (x) - x + m = 0 有两个不同的实数解，求实数 m 的取值范围x（二）选考题：共 10 分请考生在 22、23 两题中任选一题作答. 注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做第一个题目计分. 作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑22（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是r- 6 cosq= 0 ，以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立3平面直角坐标系，直线l 过点 M (0, 2) ，倾斜角为 4（1） 求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的参数方程；MA（2） 设直线l 与曲线C 交于 A , B 两点，求1+1MB的值23（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 f (x) =| x +1| + | x - 2a | （1） 若 a = 1 ，解不等式 f (x) < 4 ；（2） 对任意的实数m ，若总存在实数 x ，使得 m2 - 2m + 4 = f (x) ，求实数a 的取值范围龙岩市 2020 年高中毕业班教学质量检查数学（文科）参考答案一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题号123456789101112选项DACABCDBCDBC12：【简解】依题意a= 2 +可化为(a- 2)2 + (a- 2)2 = 4 ，令b= (a- 2)2 ，4a - a 2nnn+1n+1nnn则b+ b= 4 ， b+ b= 4 ，于是b= b ， b= (a- 2)2 ,b= b = (a- 2)2n+1nn+2n+1n+2n11202022 b + b= b + b = 4 ，即(a - 2)2 + (a- 2)2 = 41202012120202a1 = 2 + 2 cosqp法一： a2020= 2 + 2 sinq a1 + a2020 = 4 + 2 2 sin(q+p) 4 + 24（当且仅当q=时等号成立）4法二：x + y ，x2 + y 222(a - 2)2 + (a2- 2)2 a + a= (a- 2) + (a- 2) + 4 2 12020+ 4 = 4 + 2120201202022（当且仅当 a1 = a2020 = 2 +时等号成立）法三： (a - 2)2 + (a- 2)2 = 4 ，即(a , a) 在(x - 2)2 + ( y - 2)2 = 4 上，1202012020| z - 4 |22令 z = x + y ，即 x + y - z = 0 ， d = 2 ，| z - 4 | 2，2 4 - 2 z 4 + 2， zmax = 4 + 222二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 y = ex - e ；14 -3 ；15 p；16 c = 3 + 3 33222222a2 + c2 - b216.【简解】因为c- b - 3c + 3 = 0 c- b -3ac + a= 0 =，2ac2所以cos B =b3 ，又 B (0,180) ，所以 B = 30 2（1）sin 30= b =36sin 4526检验：bsin B=asin A2=sin 303sin A sin A =2 ，又 A (0,180) ，且 a > b ，2所以 A = 45 或者 A = 135 ，这与已知角 A 的解为唯一解矛盾（2） B = 30 ，又 A = 45 ，所以C = 105 ，csin105= c =33 + 3sin 452c检验：3 + 3=a2=3 sin A =2 ，sin Csin Asin 75sin A23 +3又 A (0,180) ，且c > a ， A = 45故应填的条件是： c =2三、解答题：本大题共6小题，满分70分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤17（本小题满分 12 分）解：（1）由已知得， a1b2 + b2 = b1 ，所以 a1 = 1又因为an 是公差为1的等差数列，所以 an = n 所以(n +1)bn+1 = nbn ，所以数列nbn 是常数数列，所以 nbn= b1= 1，所以bn=6 分1n111nn（2）由已知得, cn = n(n +1) =-+1 ，11111所以 Sn = (1- 2) + (- ) +L+ ( 23-) ，nn +1所以 Sn= 1-1=n +1n n +112 分18（本小题满分 12 分）解：（1）法一：取CD 的中点 N ，连结 MN ,D1N , EN .因为 E , F , M , N 分别是棱 AB , BC , AD , CD 的中点， 所以 MN / EF ，又因为 MN 平面 A1EF ，EF 平面 A1EF ，所以 MN / 平面 A1EF .又因为 A1D1 /EN ，所以四边形 A1D1NE 是平行四边形， 所以 A1E / D1N ，所以 D1N / 平面 A1EF .又 D1N I MN = N ，所以平面 D1MN / 平面 A1EF ，又 D1M 平面 D1MN ，所以 D1M / 平面 A1EF6 分法二：连接 A1C1 , C1F , AC , MF ，所以 AC /A1C1 ，因为 E , F 分别是棱 AB , BC 的中点，所以 EF / 1 AC ，21所以 EF / 2 A1C1 ，所以 A1 , E, F , C1 共面1 ，因为 F , M 分别是棱 BC , AD 的中点，所以 MF /DC /D1C所以四边形 D1C1FM 是平行四边形，所以 D1M / C1F ，又因为 D1M 面 A1EF ，C1F 平面 A1EF ，所以 D1M / 平面 A1EF6 分（2） 因为 D1M / 平面 A1EF ，所以点 D1 到平面 A1EF 的距离可以转化为点 M 到平面A1EF 的距离1112AA 2 + AF 214 + 51由已知可得 SDMEF = 2 21 = 1 ,所以VA -MEF = 3 SDMEF AA1 = 3 1 2 = 3 ,又 A E =5, EF =2, A F = 3 ，115 + 2 - 9103 10所以cos A1EF =2 5 = -210，可知sin A1EF = 10，113 1031所以 SDA EF = 2 A1E EF sin A1EF = 2 5 2 10= 2又因为V= V，所以点 M 到平面 A EF 的距离为 4 A1 -MEFM - A1EF13所以点 D 到平面 A EF 的距离为 4 12 分11319（本小题满分 12 分）解：（1）由表格中数据可得， x = 3.5 ， y = 16 n ( x - x )( y- y )ni=1( x- x )2ini=1( y - yi)2 r =i=1ii=37=37 0.98 2 分17.5 821435 y 与月份代码 x 之间高度正相关，故可用线性回归模型拟合两变量之间的关系n ( x - x )( y- y )3774b =i=1ii= 2.114 ，i=1in (x - x )217.535 a = y - bx = 16 - 2.114 3.5 8.601 ，关于 x 的线性回归方程为 y = 2.11x + 8.60 6 分（2）这 100 辆 A 款单车平均每辆的利润为1100(-500 8 + 0 32 + 500 40 +1000 20 )= 360 （元），这 100 辆 B 款单车平均每辆的利润为1100(-30012 + 200 43 + 700 35 +120010 )= 415 （元）用频率估计概率，A 款单车与B 款单车平均每辆的利润估计值分别为 360 元、415 元， 应采购 B 款车型12 分20（本小题满分 12 分）解：（1）解：依题意可知，当DAEF 是等腰直角三角形时， AFE = 90抛物线C 方程为 y2 = 2 px( p > 0) ,焦点 F ( p , 0) ，E(- p , 0) ，| EF |=| AF |= p DAEF 的面积 SDAEF22= 1 p 2 = 2 ，解得 p = 2 ，2抛物线C 的方程为 y2 = 4x4 分（2）证明：由（1）知 F (1,0) ，2设直线 AB 的方程： x = ty +1代入 y2 = 4x 得: y2 - 4ty - 4 = 0 , 设 A(x1, y1 ), B(x2 , y2 ) ，所以 y1 + y2 = 4t, y1 y2 = -4设 M (-1, y ) ，则： k= - yM ， k= y1 - yM ， k= y2 - yMM021x1 = ty1 + 1x1 +1 = ty1 + 2x1 +1x2 +1 x = ty + 1， x +1 = ty + 2 22 22 k + k= y1 - yM + y2 - yM= y1 - yM + y2 - yM12x +1x +1ty + 2ty + 21212= ( y1 - yM )(ty2 + 2) + ( y2 - yM )(ty1 + 2)(ty1 + 2)(ty2 + 2)= 2ty1 y2 + 2( y1 + y2 ) - yM t( y1 + y2 ) + 4t 2 y y + 2t ( y + y ) + 41 212-8t + 8t - y (4t 2 + 4)- y (4t 2 + 4)= M= M= - yM-4t 2 + 8t 2 + 44t 2 + 4 k1 + k2 = 2k012 分21（本小题满分 12 分）解：（1）依题意函数 f (x) 的定义域为(0, +)， f (x) = 1+ ln x - 1 = x + ln x -1 ，xxx令 g(x) = x + ln x -1，则g(x) = 1+ 1 > 0 ，故 g(x) 在(0, +) 单调递增，x又 g(1) = 0 ，所以当 x (0,1) 时， g(x) < 0 , 即 f (x) < 0 ，当 x (1, +) 时， g(x) > 0 ，即 f (x) > 0 ；故 f (x) 在(0,1) 上单调递减，在(1, +) 上单调递增5 分（2）解法一：方程 mf (x) - x + m = 0 化简可得 m(x + ln x) = x 2 ，x2m2x2 - mx - m设 F (x) = x- mx - m ln x ，则 F (x) = 2x - m -=，xx令 F(x) = 0 ，可得 x1 =m -m +m2 + 8m4， x2 =m2 + 8m 4< 0 （舍去）所以当 x (0, x1 ) 时，F(x) < 0 ；当 x (x1 , +) 时，F(x) > 0 ；故 F (x) 在(0, x1 ) 上单调递减，在(x1 , +) 上单调递增 所以 F (x) 在 x = x1 时取得最小值，故要使方程mf (x) - x + m = 0 有两解，xF(x ) = 02x 2 - mx- m = 0须满足1，即11，化简得 2 ln x + x-1 > 0 1111F (x ) < 0x 2 - mx- m ln x < 011令h(x) = 2 ln x + x -1，由于 h(x) = 2 +1 > 0 ，x所以 h(x) 在(0, +) 单调递增，又h(1) = 0 ，所以当 x (1, +) 时， h(x) > 0 ,所以 x1 > 1 ，即 x1 => 1，解得 m > 1m +m2 + 8m41当m > 1时， F (1) = 1 + m(1 - ) > 0 ee2e11所以， F ( e)F (x1 ) < 0 ，所以存在唯一t1 ( e , x1 ) ，使得 F (t1 ) = 0.m +(m + 4)2m又 x1<=+ 1< m + 1< em ，42所以 F (em ) = em (em - m) - m 2 > em - m 2令G(x) = ex - x 2 (x > 1) ， G(x) = ex - 2x ， G (x) = ex - 2 > e - 2 > 0 ， 所以G(x) 在(1, +) 上单调递增， G(x) > G(1) = e - 2 > 0 ，所以G(x) 在(1, +) 上单调递增， G(x) > G(1) = e -1 > 0 ，所以 F (em ) = em (em - m) - m2 > em - m2 > 0所以， F (em )F (x ) < 0 ，所以存在唯一t (x , em ) ，使得 F (t) = 0 1112所以方程 mf (x) - x + m = 0 有两个不同的实数解时，x正实数m 的取值范围是(1, +)12 分解法二：方程 mf (x) - x + m = 0 化简可得 m(x + ln x) = x 2 ，x所以方程 mf (x) - x + m = 0 有两解等价于方程 x + ln x = 1 有两解，xx2mx + ln xx2 + x - 2x2 - 2x ln x1- x - 2 ln x设 F (x) =，则 F (x) =，x2(x2 )2x3令h(x) = 1- x - 2 ln x ，由于 h(x) = -1- 2 < 0 ，所以h(x) 在(0, +) 单调递减，x又h(1) = 0 ，所以当 x (0,1) 时， h(x) > 0 , 即 F(x) > 0当 x (1, +) 时， h(x) < 0 ，即 F(x) < 0 ；故 F (x) 在(0,1) 上单调递增，在(1, +) 上单调递减 所以 F (x) 在 x = 1时取得最大值 F (1) = 1 ，又 F (1) = e - e2 < 0 ， F (1) = 1 > 0 ，所以存在 x (1 ,1) ，使得 F (x ) = 0e1e1又 F (x) 在(0,1) 上单调递增，所以当 x (0, 1) 时， F (x) < 0 ；e当 x (1 ,1) 时， F (x) > 0 ，即 F (x) (0,1) .e因为 F (x) 在(1, +) 上单调递减，且当 x (1, +) 时， F (x) = x + ln x > 0 ，即x2F (x) (0,1) .x + ln x11所以方程=有两解只须满足0 << 1 ，x2mm解得： m > 1所以方程 mf (x) - x + m = 0 有两个不同的实数解时，x实数 m 的取值范围是(1, +)12 分22（本小题满分 10 分）解：（）因为r= 6 cosq，所以r2 = 6rcosq，所以 x2 + y2 = 6x ，即曲线C 的直角坐标方程为：(x - 3)2 + y2 = 9 ，2 分x = t cos 3x = - 2 t直线l 的参数方程43 ( t 为参数)，即2( t 为参数)， 2 y = 2 + t sin4 y = 2 +t25 分（）设点 A , B 对应的参数分别为t1 , t2 ，将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程得(-2 t - 3)2 + (2 +2 t)2 = 9 ，22整理，得t2 + 5 2t + 4 = 0 ，所以t1 + t2 = -5 2 ， 7 分t1t2 = 42Qt1 + t2 < 0, t1 t2 > 0,t1 < 0, t2 < 0所 以 MA + MB = t1 + t2= -(t1 + t2 ) = 5, MA MB=| t1t2 | =4,+11MAMB所以=10 分5 2MA+MBMA MB423（本小题满分 10 分）解：（）当 a = 1 时， f (x) < 4 | x +1| + | x - 2 |< 4 ， x < - 1-1 x 2x > 2化为 2 x >或- 33 < 4或2x -1 < 43 分解得- 3 < x < -1或-1 x 2 或2 < x < 522 ，353 5- 2 < x < 2 .即不等式 f (x) < 4 的解集为(- 2 , 2)5分（）根据题意，得 m2 - 2m + 4 的取值范围是 f (x) 值域的子集.m2 - 2m + 4 = (m -1)2 + 3 3又由于 f (x) =| x +1| + | x - 2a | 2a +1|， f (x) 的值域为| 2a +1|,+)故| 2a +1| 3 ，-2 a 1 .4 分即实数 a 的取值范围为-2,110 分