2020年普通高等学校招生全国统一模拟考试理科数学答案.docx

【命题:启光考试与评价研究院】2020年普通高等学校招生全国统一模拟考试理科数学试卷参考答案及评分标准2。2。.3、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分.1. B 2. A 3. C 4. C 5. A 6. D 7. C 8. B 9. D 10. B 11. B 12. A二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 1 14. -115. 3216. 8k三、解答题：共70分.（一）必考题：共60分.17. （12 分）解：（1）由 cosZCDB=-y,得 cos匕CDA = ,所以 sinZCDA =差.2 分由正弦定理得，弟=涪嬴，即膘=為，得8=罕.4分T A F）AC由正弦定理，在小財中，显毎=亦务成，在左BDC 中，sin%CD = sin片DC 6 分又 sinZADC= sinZBDC,AD = 2DB,sin匕ACD =Vsin/BCD,由書得CB=a/T , 8分由余弦定理得 CB2 =AC2 +AB22AC ABcosA,即 7 = i+AB22AB,解得 AB = 3, 10 分12分所以ABC 的面积 S = AC-AB sinA =礬.18. （12 分）（1）证明:如图，设AC与BD相交于点O,连接BO,又面ABCD为菱形，故ACBD,0为AC的中点.又故 BiO丄AC. 2 分又 BDU平面 BDDiBi ,BiOU平面 BDD1B1,且故AC丄平面BDDiBi,又ACU平面ABCD,所以平面BDDiBi丄平面ABCD. 4分(2)解：由ADBiB是等边三角形，可得B1OBD,故务。丄平面ABCD,所以BiO,AC,BE>两两垂直.如图以。为坐标原点，0A所在直线为z轴,OB所在直线为j 轴,OBi所在直线为z轴,建立空间直角坐标系Oxyz. 6分不妨设 AB=2 9 则 AO=V 9OB1,则 A（姫,0,0）,B（0,l,0） ,Bi（0,0） ,。（0, 1,0） ,Ai， 1），G （ /3 , 1） 9 设n=（功以1 ,功）为平面GBD的法向量，n B（）=092夕1=0，则 . 即可取/1=（1,0,1）, 9 分n OCi 0,一/3Tx一少+a/2i =0,设m=（2 ,北次2）为平面A1BD的法向量，（m b5=0,（2yz=0,则 即可取/=（ 1,0,1）, 11 分m OAi = 0,5/3" j2 +Vzz09所以 COS#,/K= |"|"| =0.n m所以二面角A.-BD-C.的余弦值为0. 12分19. (12 分)解：(1)由柱状图，该批次产品长度误差的绝对值X的频率分布列为下表:X00.010. 020. 030. 04频率P0.40. 30.20.0750.025所以X的数学期望的估计为E（X）=0X0. 4 + 0. 01X0. 3 + 0. 02X0. 2 + 0. 03X0. 075 + 0.04X0. 025 = 0. 01025. 5分(2)由(1)可知标准长度的概率为0. 4,设至少有1件是标准长度产品为事件B,则FCB)=1一倍)2=樓=0.64<0.8,故不符合概率不小于0. 8的要求.8分设生产一件产品为标准长度的概率为z,由题意 P(B) = l-(l-x)2>0.8,又 0Vz<l,解得一季，11 分所以符合要求时，生产一件产品为标准长度的概率的最小值为1尊.12分20. (12 分) 一匝(1)解：由题意得Ya :解得 a=49b=2.丄=i2十胪丄所以椭圆c的方程是+普=1(2)证明：设直线 AB 的方程为 X =mj/+4,A(i 见),B(x2 ,y2) ,D(j70 ,30 ),x = my-4：,由K2"仍= +4 =丄 +坦 北+8m2y2*+310分1_A1+厶)2综上，点D在定直线z = *上.21. (12 分)(1)证明：若 <2 = 1,则 /(rc) = x(2 + cos rr) sin 工,则 f (z) =2 zsin x, 设 h(x) = ff (x) = 2 xsin z,则 Az(x) = sin xxcos 次,h(0)=0, 7/(j?) = sin :c+xcos x=hf (x)，故函数 /()是奇函数， 当(。，分丿时仆也 z>0，zcos *>0,这时 hf (j；X0 ,又函数hS是奇函数,所以当 M (一分,0)时，矽(z)>0.综上，当m (一分，)时，函数r&)单调递增；当火(0,号)时，函数广&)单调递减.又 f (分)=2学>0/(分)=2分>0,故Xa)>o在区间(一分，号)上恒成立，所以f(z)在区间(一寺，考)上没有零点. 4分 (2)解：/(a;) = (2 + cos x)(皿-亿)，由 cos xE 1 1 ?所以 2 +cos z>0 恒成立， 若 /U)>0,则 ax-?11137 >0,设 F&)=az_：nz , + cos x2 + cos x Ff(x) =a 2csz+l =q_?_p= j J_V-pa X, (2 + cos x)22 + cos x (2 + cos x)22 + cos x 3 /3 , y_n 得(m2+3)j/2+8my+10 = 0. = (8m)2 -40(m2 +3)>0m2>5 , 则有 yi+y2 =,少 =>m十3m十3 由M&，得yx =ky2 由a6= a d菖可得广Xi Xx2_yi Xy2 yo=r8分 _xx x2 _myx +4 A (my2 +4) _ 2my1 x _ 一曰一1-A2x I。泌2 2yt 23/1% "+3_ 5*)* j+gi 8m 2m9?n2 +312分92mX-故当 时,F(*)20.又F(0)=0,所以当z>0时,F&)>0,满足题意.8分当a0时，有F(f )=f X-J<>与条件矛盾.10分当 0Va<时，令 g(z) = sin x 3az,则 g(工)=cos x3a,又3a<l,故gz(x)=cos x3a = 0在区间(0,+8)上有无穷多个零点，设最小的零点为 e ,则当 (0,1)时,gz(x)>0.因此g(Q在(O,xi)_h单调递增.故当 xG (O,xi)时，g(z)g(0)=0,所以 sin x>ax.于是，当xE (O,i)时 普1女 >前号”>心,得vo,与条件矛盾.Z 十 cos x3Z 十 cos X故a的取值范围是，+8). 12分(二)选考题：共1。分.22. (10 分)解：(1)由卩=竺+2上。为参数)，得2*=_2,化简得+23,-472=0,y=42-ty故直线Z的普通方程为工+ 2, 4旋=0 2分由 p=2sin 们得 # =2psin 0,又 p =T +y2 9x=pcos 0,y=psin 6,所以G的直角坐标方程为 + 31)2=1. 4分(2)由(1)G的直角坐标方程为 + 31)2=1,向下平移1个单位得到x2+y=l,纵坐标不 变，横坐标变为原来的2倍得到曲线C2的方程为于+尸=1,所以曲线G的参数方程为(註鷲"为参数).故点P到直线I的距离为a2cos+2sin 04|10分10分当0=号时,d最小为穿.23. (10 分)（1）证明 zf（ix） = | 2xa I + I xb I =<3%q+SzV 3,3xa 们 们（芸）=3+6 = , .a+2D=l. （2）解：V2.a + btab 恒成立，且 a>0,b>0,."W笑尹恒成立，即+丄）.ab b a /min. +丄=（呈+丄）（a + 26）=5 +丝+若当且仅当a = b=时等号成立, b a b a Ia b3.*9,实数*的最大值为9.