2022年全国高考理科数学试题分类汇编：立体几何 .pdf

全国高考理科数学试题分类汇编7：立体几何一、选择题1 （2013 年高考新课标1（理）如图 , 有一个水平放置的透明无盖的正方体容器, 容器高 8cm,将一个球放在容器口 , 再向容器内注水, 当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度, 则球的体积为（）A35003cmB38663cmC313723cmD320483cm【答案】A 2 （2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷）设,m n是两条不同的直线,是两个不同的平面 , 下列命题中正确的是（）A若,m,n, 则mnB若/,m,n, 则/mnC若mn,m,n,则D若m,/mn,/n, 则【答案】D 3 （2013 年上海市春季高考数学试卷）若两个球的表面积之比为1: 4, 则这两个球的体积之比为（）A1: 2B1: 4C1: 8D1:16【答案】C 4 （2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）已知正四棱柱1111ABCDABC D中12AAAB,则CD与平面1BDC所成角的正弦值等于（）A23B33C23D13【答案】A 5 （2013 年高考新课标1（理） ）某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 40 页（）A168B88C1616D816【答案】A 6 （2013 年高考湖北卷（理） ）一个几何体的三视图如图所示, 该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积分别记为1V,2V,3V,4V, 上面两个简单几何体均为旋转体, 下面两个简单几何体均为多面体, 则有（）A1243VVVVB1324VVVVC2134VVVVD2314VVVV【答案】C 7 （2013 年高考湖南卷 （理）已知棱长为1 的正方体的俯视图是一个面积为1 的正方形 , 则该正方体的正视图的面积不可能等于（）A1B2C2-12D2+12【答案】C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 40 页8 （2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）某四棱台的三视图如图所示, 则该四棱台的体积是（）A4B143C163D6【答案】B 9 （2013年普通高等学校招生统一考试新课标卷数学（理） ）已知nm,为异面直线 ,m平面,n平面. 直线l满足,lm ln ll, 则（）A/, 且/lB, 且lC与相交 , 且交线垂直于lD与相交 , 且交线平行于l【答案】D 10 （2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案）已知三棱柱111ABCABC的侧棱与底面垂直 , 体积为94, 底面是边长为3的正三角形 . 若P为底面111ABC的中心 , 则PA与平面ABC所成角的大小为（）A512B3C4D6【答案】B 11 （2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）某几何体的三视图如题5图所示 , 则该几何体的体积为（）A5603B5803C200D24012211正视图俯视图侧视图第 5 题图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 40 页【答案】C 12 （2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）已知三棱柱111ABCABC的 6 个顶点都在球O的球面上 , 若34ABAC，,ABAC,112AA, 则球O的半径为（）A3 172B2 10C132D3 10【答案】C 13 （2013 年高考江西卷（理） ）如图 ,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上,且ABCD, 正方体的六个面所在的平面与直线CE,EF相交的平面个数分别记为,m n, 那么mn（）A8 B9 C 10 D11【答案】A 14 （2013 年普通高等学校招生统一考试新课标 卷数学（理）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0), 画该四面体三视图中的正视图时, 以zOx平面为投影面, 则得到正视图可以为（）ABCD【答案】A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 40 页15 （2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）在下列命题中 , 不是公理的是（）A平行于同一个平面的两个平面相互平行B过不在同一条直线上的三点, 有且只有一个平面C如果一条直线上的两点在一个平面内, 那么这条直线上所有的点都在此平面内D如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么他们有且只有一条过该点的公共直线【答案】A 16 （2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）在空间中 , 过点A作平面的垂线 , 垂足为B, 记)(AfB. 设,是两个不同的平面, 对空间任意一点P,)(),(21PffQPffQ, 恒有21PQPQ, 则（）A平面与平面垂直B平面与平面所成的 ( 锐) 二面角为045C平面与平面平行D平面与平面所成的 ( 锐) 二面角为060【答案】A 17 （2013 年高考四川卷（理） ）一个几何体的三视图如图所示, 则该几何体的直观图可以是【答案】D 二、填空题18 （ 2013年 高 考 上 海 卷 （ 理 ）在xOy平 面 上 , 将 两 个 半 圆 弧22(1)1(1)xyx和22(3)1(3)xyx、两条直线1y和1y围成的封闭图形记为D,如图中阴影部分. 记 D绕 y轴旋转一周而成的几何体为, 过(0,)(| 1)yy作的水平截面 , 所得截面面积为2418y,试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体,得出的体积值为 _ 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 40 页【答案】2216. 19 （2013 年高考陕西卷（理） ）某几何体的三视图如图所示, 则其体积为 _3_. 1121【答案】320 （2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆, 其公共弦长等于球O的半径 ,32OK, 且圆O与圆K所在的平面所成的一个二面角为60, 则球O的表面积等于_.【答案】1621 （2013 年高考北京卷（理） ）如图 , 在棱长为2 的正方体ABCD-A1B1C1D1中 ,E为BC的中点 , 点P在线段D1E上, 点P到直线CC1的距离的最小值为_. 【答案】2 551D1BPD1CCEBA1A精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 40 页22 （ 2013年普通高等学校招生全国统一招生考 试江苏卷（数学） ）如图 , 在三棱柱ABCCBA111中 ,FED，分 别 是1AAACAB，的 中 点 , 设 三 棱 锥A D EF的 体 积 为1V, 三 棱 柱ABCCBA111的体积为2V, 则21:VV_. 【答案】1: 2423 （2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）若某几何体的三视图( 单位 :cm) 如图所示 , 则此几何体的体积等于 _2cm. 【答案】24 24 （2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）如图 , 正方体1111ABCDABC D的棱长为 1,P 为BC的中点 ,Q 为线段1CC上的动点 , 过点 A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是_ _(写出所有正确命题的编号). 当102CQ时,S 为四边形; 当12CQ时,S 为等腰梯形; 当34CQ时,S 与11C D的交点 R满43233正视图侧视图俯视图（第 12 题图）ABCADEFBC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 40 页足1113C R; 当314CQ时,S 为六边形; 当1CQ时,S 的面积为62.【答案】25 （2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积是_. 【答案】161626 （2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）已知某一多面体内接于一个简单组合体, 如果该组合体的正视图. 测试图 . 俯视图均如图所示, 且图中的四边形是边长为2 的正方形 , 则该球的表面积是_ 【答案】1227 （2013 年上海市春季高考数学）在如图所示的正方体1111ABCDABC D中, 异面直线1AB与1BC所成角的大小为 _ 【答案】3三、解答题D1C1B1A1DCAB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 40 页28 （2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）如图 ,AB 是圆的直径 ,PA 垂直圆所在的平面,C 是圆上的点 . (I) 求证 :PACPBC平面平面；(II)2.ABACPACPBA若，1，1，求证：二面角的余弦值【答案】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 40 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 40 页29 （ 2013年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 重 庆 数 学 （ 理 ）如 图 , 四 棱 锥PA B C D中,PAABCD底面,2,4,3BCCDACACBACD,F为PC的中点 ,AFPB. (1) 求PA的长 ; (2)求二面角BAFD的正弦值 . 【答案】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 40 页1 （2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）如图 , 圆锥顶点为p. 底面圆心为o, 其母线与底面精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 40 页所成的角为22.5 .AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦, 轴OP与平面PCD所成的角为60. ( ) 证明 : 平面PAB与平面PCD的交线平行于底面 ; () 求cosCOD. 【答案】解: ( ) PABP D,/ / /CmABCDCDPCDABPCD设面面直线且面面/ /ABm直线ABCDmABCDAB面直线面/. 所以 ,ABCDDPPAB的公共交线平行底面与面面C. ( ) rPOOPFFCDr5.22tan.60,由题知，则的中点为线段设底面半径为. 5 .22tan15.22tan245tan,2cos5.22tan60tan60tan,2CODrOFPOOF. )223(3),1-2(321cos, 1-25.22tan12cos2cos22CODCODCOD212-17cos.212-17cosCODCOD所以. 法二 : 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 40 页1 （ 2013年普 通高 等 学 校招 生统 一 考试 浙 江数 学（ 理）如图 , 在四面体BCDA中 ,AD平面BCD,22,2,BDADCDBC.M是AD的中点 ,P是BM的中点 , 点Q在线段AC上 , 且QCAQ3. (1) 证明 :/PQ平面BCD;(2) 若二面角DBMC的大小为060, 求BDC的大小 . 【答案】解: 证明( ) 方法一 : 如图 6, 取MD的中点F, 且M是AD中点 , 所以3AFFD. 因为P是BM中点 , 所以/ /PFBD; 又因为 ( )3AQQC且3AFFD, 所以/ /QFBD, 所以面/ /PQF面BDC, 且PQ面BDC, 所以/ /PQ面BDC; ABCDPQM（第 20 题图）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 40 页方法二 : 如图7 所示 , 取BD中点O, 且P是BM中点 , 所以1/ /2POMD; 取CD的三等分点H, 使3DHCH, 且3AQQC, 所 以11/ / /42QHADMD, 所 以/ / /P OQ HP QO H, 且OHBCD, 所以/ /PQ面BDC; ( ) 如图 8 所示 , 由已知得到面ADB面BDC, 过C作CGBD于G, 所以CGBMD, 过G作GHBM于H, 连 接CH, 所 以C H G就 是CB MD的 二 面 角 ; 由 已 知 得 到813BM, 设BDC, 所以cos,sin2 2 cos,2 2 cossin,22sin,CDCGCBCDCGBCBDCDBD, 在RT BCG中 ,2sin22sinBGBCGBGBC,所 以 在R TB H G中 , 2212 2sin332 2sinHGHG, 所以在RTCHG中22 2cossintantan6032 2sin3CGCHGHGtan3(0,90 )6060BDC; 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 40 页2 （2013年上海市春季高考数学）如图 , 在正三棱锥111ABCA BC中,16AA, 异面直线1BC与1AA所成角的大小为6, 求该三棱柱的体积. 【答案】 解 因为1CC1AA. 所以1BCC为异面直线1BC与1AA. 所成的角 , 即1BCC=6. 在 Rt1BCC中,113tan62 33BCCCBC C, 从而233 34ABCSBC, 因此该三棱柱的体积为13 3 618 3ABCVSAA. 3 （2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏）本小题满分14 分. 如图 , 在三棱锥ABCS中, 平面SAB平面SBC,BCAB,ABAS, 过A作SBAF, 垂足为F, 点GE，分别是棱SCSA，的中点 . 求证 :(1) 平面/EFG平面ABC; (2)SABC. 【答案】证明:(1) ABAS,SBAFF 分别是 SB的中点E.F 分别是 SA.SB的中点EF AB又EF平面 ABC, AB平面 ABC EF 平面ABC 同理:FG平面ABC 又EFFG=F, EF.FG平面 ABC 平面/EFG平面ABC(2) 平面SAB平面SBC平面SAB平面SBC=BC AF平面 SAB ABCSGFEB1A1C1ACB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 40 页AF SBAF 平面SBC 又BC平面 SBC AF BC 又BCAB, ABAF=A, AB.AF平面 SAB BC 平面 SAB又SA平面 SAB BC SA4 （2013 年高考上海卷（理） ）如图 , 在长方体ABCD-A1B1C1D1中 ,AB=2,AD=1,A1A=1,证明直线BC1平行于平面DA1C,并求直线BC1到平面 D1AC的距离 . D1C1B1A1DCBA【答案】因为 ABCD-A1B1C1D1为长方体 , 故1111/,ABC DABC D, 故 ABC1D1为平行四边形 , 故11/BCAD, 显然 B不在平 面 D1AC上, 于是直线BC1平行于平面DA1C; 直线 BC1到平面 D1AC的距离即为点B到平面 D1AC的距离设为h考虑三棱锥ABCD1的体积 , 以 ABC为底面 , 可得111(1 2)1323V而1AD C中,115,2ACDCAD, 故132AD CS所以 ,13123233Vhh, 即直线 BC1到平面 D1AC的距离为23. 5 （ 2013年高考湖北卷（理）如图 ,AB是圆O的直径 , 点C是圆O上异于,A B的点 , 直线PC平面ABC,E,F分别是PA,PC的中点 . (I) 记平面BEF与平面ABC的交线为l, 试判断直线l与平面PAC的位置关系 , 并加以证明 ; (II)设(I) 中的直线l与圆O的另一个交点为D, 且点Q满足12DQCP. 记直线PQ与平面ABC所 成 的 角 为, 异 面 直 线PQ与EF所 成 的 角 为, 二 面 角ElC的 大 小 为, 求证:sinsinsin. 第 19 题图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 40 页【答案】解:(I)EFAC,ACABC平面,EFABC平面EFABC平面又EFBEF平面EFllPAC平面(II)连接 DF,用几何方法很快就可以得到求证.( 这一题用几何方法较快, 向量的方法很麻烦, 特别是用向量不能方便的表示角的正弦. 个人认为此题与新课程中对立体几何的处理方向有很大的偏差.) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 40 页6 （ 2013年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 广 东 省 数 学 （ 理 ） ）如 图1, 在 等 腰 直 角 三 角 形ABC中,90A,6BC,D E分别是,AC AB上的点 ,2CDBE,O为BC的中点 . 将ADE沿DE折起 , 得到如图2 所示的四棱锥ABCDE, 其中3A O. ( ) 证明 :A O平面BCDE; () 求二面角ACDB的平面角的余弦值. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 40 页C D O x E A向量法图y z B 【答案】( ) 在图 1 中,易得3,3 2,2 2OCACAD连结,OD OE, 在OCD中, 由余弦定理可得222cos455ODOCCDOC CD由翻折不变性可知2 2A D, 所以222A OODA D, 所以A OOD, 理可证A OOE, 又ODOEO, 所以A O平面BCDE. ( ) 传统法 : 过O作OHCD交CD的延长线于H, 连结A H, 因为A O平面BCDE, 所以A HCD, 所以A HO为二面角ACDB的平面角 . 结合图 1 可知 ,H为AC中点 , 故3 22OH, 从而22302A HOHOA所以15cos5OHA HOA H, 所以二面角ACDB的平面角的余弦值为155. 向量法 : 以O点为原点 , 建立空间直角坐标系Oxyz如图所示 , 则0,0,3A,0, 3,0C,1, 2,0D所以0,3,3CA,1,2,3DA设, ,nx y z为平面A CD的法向量 , 则C D O B E AH . C O B D E A C D O B E A图 1 图 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 40 页00n CAn DA, 即330230yzxyz, 解得3yxzx, 令1x, 得1, 1,3n由( ) 知 ,0,0,3OA为平面CDB的一个法向量 , 所以315cos,535n OAn OAn OA, 即二面角ACDB的平面角的余弦值为155. 7（201 3 年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）如图 , 四棱柱ABCD-A1B1C1D1中 , 侧棱A1A底面ABCD, AB/DC, ABAD, AD = CD = 1, AA1 = AB = 2, E为棱AA1的中点 . ( ) 证明B1C1CE; ( ) 求二面角B1-CE-C1的正弦值 . ( ) 设点M在线段C1E上, 且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为26, 求线段AM的长 . 【答案】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 40 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 40 页8 （2013 年高考新课标1（理）如图 , 三棱柱 ABC-A1B1C1中 ,CA=CB,AB=A A1, BA A1=60.( ) 证明 AB A1C; ( ) 若平面ABC 平面 AA1B1B,AB=CB=2,求直线 A1C 与平面 BB1C1C所成角的正弦值. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 40 页【答案】( ) 取 AB中点 E,连结 CE,1A B,1A E, AB=1AA,1BAA=060, 1BAA是正三角形 , 1AE AB, CA=CB, CE AB, 1CEA E=E, AB面1CEA, AB 1AC; ( ) 由( ) 知 EC AB,1EA AB,又面 ABC 面11ABB A,面 ABC 面11ABB A=AB, EC面11ABB A, EC1EA, EA,EC,1EA两两相互垂直, 以 E 为坐标原点 ,EA的方向为x轴正方向 ,|EA| 为单位长度 , 建立如图所示空间直角坐标系Oxyz, 有题设知A(1,0,0),1A(0,3,0),C(0,0,3),B(-1,0,0),则BC=(1,0,3),1BB=1AA=(-1,0,3),1AC=(0,-3,3), 设n=( , , )x y z是平面11CBBC的法向量 , 则100BCBBnn, 即3030 xzxy, 可取n=(3,1,-1), 1cos, ACn=11|ACACn|n|105, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 40 页直线 A1C 与平面 BB1C1C所成角的正弦值为1059 （2013 年高考陕西卷（理） ）如图 , 四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形 , O为底面中心 , A1O平面ABCD, 12ABAA. ( ) 证明 : A1C平面BB1D1D; ( ) 求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角的大小 . OD1B1C1DACBA1【答案】解:( ) BDOAABCDBDABCDOA11,面且面; 又因为 , 在正方形AB CD中,BDCAACACAACABDAACOABDAC11111,，故面且面所以；且. 在正方形AB CD中,AO = 1 . .111OAOAART中，在OECAOCEAEDB1111111为正方形，所以，则四边形的中点为设. ，所以由以上三点得且，面面又OOBDDDBBODDBBBD111111E.E,DDBBCA111面.( 证毕 ) ( ) 建立直角坐标系统, 使用向量解题. 以 O为原点 , 以 OC为 X轴正方向 , 以 OB为 Y轴正方向 . 则) 1,0, 1 ()1 , 1 , 1(),100(),001(,0, 1 ,0111CABACB，）（. 由( ) 知 , 平面BB1D1D的一个法向量.0,0 , 1),1 , 1 , 1(),1, 0, 1(111）（OCOBCAn设平面OCB1的法向量为，则0, 0,2122OCnOBnnOD1B1C1DACBA1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 40 页).1- , 1 ,0(法向量2n为解得其中一个21221|,cos|cos212111nnnnnn. 所以 , 平面OCB1与平面BB1D1D的夹角为310（2013年高考江西卷（理）如图,四棱锥PAB中,PA,ABCD EBD平面为的中点,GPD为的中点，3,12DABDCB EAEBABPA，, 连接CE并延长交AD于F. (1) 求证 :ADCFG平面; (2) 求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值. 【答案】解:(1) 在ABD中,因为E是BD的中点 ,所以1EAEBEDAB, 故,23BADABEAEB, 因为DABDCB, 所以EABECB, 从而有FEDFEA, 故,EFAD AFFD, 又因为,PGGD所以FGPA. 又PA平面ABCD, 所以,GFAD故AD平面CFG. (3) 以点A为坐标原点建立如图所示的坐标系, 则33(0,0,0),(1,0,0),(,0),(0,3,0)22ABCD, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 40 页(4) 3(0,0,)2P, 故1333 333(0),(,),(,0)2222222BCCPCD，设平面BCP的法向量111(1,)ny z, 则111130223330222yyz , 解得113323yz, 即13 2(1,)33n. 设平面DCP的法向量222(1,)nyz, 则222330223330222yyz, 解得2232yz, 即2(1, 3,2)n. 从而平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值为1212423cos41689n nn n. 11 （ 2013年 高 考 四 川 卷 （ 理 ）如 图 , 在 三 棱 柱11ABCA BC中 , 侧 棱1AA底 面ABC,12ABACAA,120BAC,1,D D分别是线段11,BC BC的中点 ,P是线段AD的中点 . ( ) 在平面ABC内 , 试作出过点P与平面1A BC平行的直线l, 说明理由, 并证明直线l平面11ADD A; ( ) 设( ) 中的直线l交AB于点M, 交AC于点N, 求二面角1AAMN的余弦值 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 40 页D1DCBA1B1C1AP【答案】解:如图 , 在平面ABC内, 过点P做直线l/BC, 因为l在平面1ABC外 , BC在平面1ABC内, 由直线与平面平行的判定定理可知, l/ 平面1ABC. 由已知 ,ABAC,D是BC的中点 , 所以 ,BCAD, 则直线lAD. 因为1AA平面ABC, 所以1AA直线l. 又因为1,AD AA在平面11ADD A内 , 且AD与1AA相交 , 所以直线平面11ADD A解法一 : 连接1AP, 过A作1AEAP于E, 过E作1EFAM于F, 连接AF. 由知,MN平面1AEA, 所以平面1AEA平面1AMN. 所以AE平面1AMN, 则1AMAE. 所以1AM平面AEF, 则1AMAF. 故AFE为二面角1AAMN的平面角 ( 设为). 设11AA, 则由12ABACAA,120BAC, 有60BAD,2,1ABAD. 又P为AD的中点 , 所以M为AB的中点 , 且1,12APAM, 在1Rt AAP中, 152A P; 在1Rt A AM中 , 12AM. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 40 页从而 ,1115AAAPAEA P,1112AAAMAFA M, 所以2sin5AEAF. 所以22215cos1sin155. 故二面角1AAMN的余弦值为155解法二 : 设11AA. 如图 , 过1A作1AE平行于11BC, 以1A为坐标原点, 分别以111,A E A D,1AA的方向为x轴,y轴,z轴的正方向 , 建立空间直角坐标系Oxyz( 点O与点1A重合 ). 则10,0,0A,0,0,1A. 因为P为AD的中点 , 所以,M N分别为,AB AC的中点 , 故3 13 1,1 ,12222MN, 所以13 1,122AM,10,0,1AA,3,0,0NM. 设平面1AAM的一个法向量为1111,nx y z, 则1111,nA MnA A即11110,0,nA MnA A故有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 40 页1111113 1,10,22,0,0,10,x y zx y z从而1111310,220.xyzz取11x, 则13y, 所以11,3,0n. 设平面1AMN的一个法向量为2222,nxy z, 则212,nA MnNM即2120,0,nA MnNM故有2222223 1,10,22,3,0,00,xy zxyz从而2222310,2230.xyzx取22y, 则21z, 所以20,2, 1n. 设二面角1AAMN的平面角为, 又为锐角 , 则12121,3,00,2,115cos525nnnn. 故二面角1AAMN的余弦值为15512 （2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷）本小题满分10 分. 如图 , 在直三棱柱111A BCABC中,ACAB,2ACAB,41AA, 点D是BC的中点(1) 求异面直线BA1与DC1所成角的余弦值(2) 求平面1ADC与1ABA所成二面角的正弦值. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页，共 40 页【答案】本题主要考察异面直线. 二面角 . 空间向量等基础知识以及基本运算, 考察运用空间向量解决问题的能力 . 解:(1) 以1,AAACAB为为单位正交基底建立空间直角坐标系xyzA, 则)0,0,0(A)0,0,2(B,)0 ,2,0(C,)4, 0, 0(1A,)0, 1 , 1(D,)4,2 , 0(1C)4, 0,2(1BA,)4, 1, 1(1BA10103182018,cos111111DCBADCBADCBA异面直线BA1与DC1所成角的余弦值为10103(2)0 ,2, 0(AC是平面1ABA的的一个法向量设平面1ADC的法向量为),(zyxm, )0 , 1 , 1(AD,)4 , 2,0(1AC由1,ACmADm0420zyyx取1z, 得2,2 xy, 平面1ADC的法向量为) 1 , 2,2(m设平面1ADC与1ABA所成二面角为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 31 页，共 40 页32324,coscosmACmACmAC, 得35sin平面1ADC与1ABA所成二面角的正弦值为3513 （ 2013年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 大 纲 版 数 学 （ 理 ）如 图 , 四 棱 锥PA B C D中,902,ABCBADBCADPAB，与PAD都是等边三角形. (I) 证明 :;PBCD (II)求二面角APDC的大小 . 【答案】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 32 页，共 40 页14 （ 2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）如图所示, 在三棱锥PABQ中 ,PB平面ABQ,BABPBQ,D C E F分别是,AQ BQ AP BP的中点 , 2AQBD,PD与EQ交于点G,PC与FQ交于点H, 连接GH. ( ) 求证 :ABGH; () 求二面角DGHE的余弦值 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 33 页，共 40 页【答案】解:( ) 证明 : 因为,D C E F分别是,AQ BQ AP BP的中点 , 所以EFAB,DCAB, 所以EFDC, 又EF平面PCD,DC平面PCD, 所以EF平面PCD, 又EF平面EFQ, 平面EFQ平面PCDGH, 所以EFGH, 又EFAB, 所以ABGH. ( ) 解法一 : 在ABQ中, 2AQBD,ADDQ, 所以=90ABQ, 即ABBQ, 因为PB平面ABQ, 所以ABPB, 又BPBQB, 所以AB平面PBQ, 由( ) 知ABGH, 所以GH平面PBQ, 又FH平面PBQ, 所以GHFH, 同理可得GHHC, 所以FHC为二面角DGHE的平面角 , 设2BABQBP, 连接PC, 在tRFBC中, 由勾股定理得 ,2FC, 在tRPBC中, 由勾股定理得 ,5PC, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 34 页，共 40 页又H为PBQ的重心 , 所以1533HCPC同理53FH, 在FHC中 , 由余弦定理得552499cos5529FHC, 即二面角DGHE的余弦值为45. 解法二 : 在ABQ中,2AQBD,ADDQ, 所以90ABQ, 又PB平面ABQ, 所以,BA BQ BP两两垂直 , 以B为坐标原点 , 分别以,BA BQ BP所在直线为x轴,y轴,z轴, 建立如图所示的空间直角坐标系,设2BABQBP, 则(1,0,1)E,(0,0,1)F,(0,2,0)Q,(1,1,0)D,(0,1,0)C(0,0, 2)P, 所以( 1,2,1)EQ,(0,2, 1)FQ,( 1, 1,2)DP,(0, 1,2)CP, 设平面EFQ的一个法向量为111(,)mx y z, 由0m EQ,0m FQ, 得111112020 xyzyz取11y, 得(0,1,2)m. 设平面PDC的一个法向量为222(,)nxyz由0n DP,0n CP, 得222222020 xyzyz取21z, 得(0,2,1)n. 所以4cos,5m nm nm n精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 35 页，共 40 页因为二面角DGHE为钝角 ,所以二面角DGHE的余弦值为45. 15 （2013 年高考湖南卷（理） ）如图 5, 在直棱柱1111/ /ABCDABC DADBC中，,90 ,1BADACBD BC,13ADAA. (I) 证明 :1ACB D; (II)求直线111BCACD与平面所成角的正弦值. 【答案】解: ( ) ACBBABCDBDABCDBBDCBAABCD111111,面且面是直棱柱DBACBDBDBBDBACBBBBDBDAC11111,，面。面且又. ( 证毕 ) ( )。的夹角与平面的夹角即直线与平面直线111111,/ACDADACDCBADBCCB轴正半轴。为轴正半轴，为点，量解题。设原点在建立直角坐标系，用向XADYABABDACyBDyACyCyBDDA),0 , 3(),0, 1()0 , 1(),0 , 0(),3, 0, 3(),0,0 , 3(,00, 01，则，设).3, 0, 3(),0 ,3, 1 (. 30, 003012ADACyyyBDAC），（），（的一个法向量平面则的法向量为设平面303,313-.00,111ADnACDADnACnnACD7213733|,cos|sin003,313-1ADnADnACD），（），（的一个法向量平面72111夹角的正弦值为与平面所以ACDBD. 16 （ 2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）如图 , 在四棱柱1111ABCDABC D中 , 侧棱1AAABCD底面,/ /ABDC,11AA,3ABk,4ADk,5BCk,6DCk(0)k. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 36 页，共 40 页(1) 求证 :11;CDADD A平面(2) 若直线1AA与平面1ABC所成角的正弦值为67, 求k的值 ; (3) 现将与四棱柱1111ABCDABC D形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的棱柱, 规定 :若拼接成的新的四棱柱形状和大小完全相同, 则视为同一种拼接方案. 问 : 共有几种不同的方案?在这些拼接成的新四棱柱中, 记其中最小的表面积为( )f k, 写出( )f k的表达式 ( 直接写出答案, 不必要说明理由 ) 【答案】解:( ) 取CD中点E, 连接BE/ /ABDEQ,3ABDEk四边形ABED为平行四边形/ /BEAD且4BEADk在BCEV中,4 ,3 ,5BEk CEk BCkQ222BECEBC90BEC, 即BECD, 又/ /BEADQ, 所以CDAD1AAQ平面ABCD,CD平面ABCD1