2022年最新2019版高考数学大一轮复习-第九章第7节-抛物线教案-理-新人教B版 .pdf

1 第 7 节抛物线，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2. 掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 知 识 梳 理1. 抛物线的定义(1) 平面内与一个定点F和一条定直线l(F?l) 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线. (2) 其数学表达式：M|MF| d(d为点M到准线l的距离 ). 2. 抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程y22px(p0) y22px(p0) x22py(p0) x22py(p0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离性质顶点O(0 ，0) 对称轴y0 x0 焦点Fp2，0Fp2，0F0，p2F0，p2离心率e1 准线方程xp2xp2yp2yp2范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR开口方向向右向左向上向下 常用结论与微点提醒 1. 通径：过焦点垂直于对称轴的弦长等于2p，通径是过焦点最短的弦. 2. 抛物线y22px(p0)上一点P(x0，y0) 到焦点Fp2，0 的距离 |PF| x0p2，也称为抛物线精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 15 页2 的焦半径 . 诊 断 自 测1. 思考辨析 ( 在括号内打“”或“”)(1) 平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( ) (2) 方程yax2(a0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是a4，0 ，准线方程是xa4.( ) (3) 抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.( ) (4)AB为抛物线y22px(p0) 的过焦点Fp2， 0 的弦，假设A(x1，y1) ，B(x2，y2) ，则x1x2p24，y1y2p2，弦长 |AB| x1x2p.( ) 解析(1) 当定点在定直线上时，轨迹为过定点F与定直线l垂直的一条直线， 而非抛物线 . (2) 方程yax2(a0)可化为x21ay，是焦点在y轴上的抛物线，且其焦点坐标是0，14a，准线方程是y14a. (3) 抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形. 答案(1) (2) (3) (4) 2. 以x 1为准线的抛物线的标准方程为( ) A.y22xB.y2 2xC.y2 4xD.y2 4x解析由准线x1 知，抛物线方程为：y2 2px(p0)且p21，p2，抛物线的方程为y2 4x. 答案D 3. (2018黄冈联考) 已知方程y2 4x表示抛物线， 且该抛物线的焦点到直线xm的距离为4，则m的值为 ( ) A.5 B. 3 或 5 C. 2 或 6 D.6 解析抛物线y2 4x的焦点为F(1 ，0)，它与直线xm的距离为d|m1| 4，m 3或 5，故选 B. 答案B 4.( 教材练习改编) 已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P( 2， 4)，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 15 页3 则该抛物线的标准方程为_. 解析很明显点P在第三象限，所以抛物线的焦点可能在x轴负半轴上或y轴负半轴上 . 当焦点在x轴负半轴上时，设方程为y2 2px(p0) ，把点P( 2， 4) 的坐标代入得 ( 4)2 2p( 2) ，解得p 4，此时抛物线的标准方程为y2 8x；当焦点在y轴负半轴上时，设方程为x2 2py(p0) ，把点P( 2， 4) 的坐标代入得 ( 2)2 2p( 4) ，解得p12，此时抛物线的标准方程为x2y. 综上可知，抛物线的标准方程为y2 8x或x2y. 答案y2 8x或x2y5. 已知抛物线方程为y28x，假设过点Q( 2，0) 的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是_. 解析设直线l的方程为yk(x2) ，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2 (4k28)x4k20，当k0 时，显然满足题意；当k0 时， (4k28)24k24k264(1 k2) 0，解得 1k0 或 0k1，因此k的取值范围是 1，1. 答案 1，1 考点一抛物线的定义及应用【例 1】 (1) 已知F是抛物线y2x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF| |BF| 3，则线段AB的中点D到y轴的距离为 ( ) A.34B.1 C.54D.74(2) 假设抛物线y22x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3 ，2)，则|PA| |PF|取最小值时点P的坐标为 _. 解析(1) 因为抛物线y2x的准线方程为x14. 如下图， 过点A，B，D分别作直线x14的垂线， 垂足分别为G，E，M，因为 |AF| |BF| 3，根据抛物线的定义，|AG| |AF| ，|BE| 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 15 页4 |BF| ，所以 |AG| |BE| 3，所以 |MD| |BE| |AG|232，即线段AB的中点D到y轴的距离为321454. (2) 将x3 代入抛物线方程y22x，得y6. 62，A在抛物线内部，如图. 设抛物线上点P到准线l：x12的距离为d，由定义知 |PA| |PF| |PA| d，当PAl时， |PA| d最小，最小值为72，此时P点纵坐标为2，代入y22x，得x2，点P的坐标为 (2 ，2). 答案(1)C (2)(2 ，2) 规律方法应用抛物线定义的两个关键点(1) 由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化. (2) 注意灵活运用抛物线上一点P(x0，y0) 到焦点F的距离 |PF| |x0| p2或|PF| |y0| p2. 【训练1】 (1)动圆过点 (1 ， 0) ，且与直线x 1 相切，则动圆的圆心的轨迹方程为_. (2)(2017 全国卷) 已知F是抛物线C：y28x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.假设M为FN的中点，则 |FN| _. 解析(1) 设动圆的圆心坐标为(x，y) ，则圆心到点 (1 ，0)的距离与到直线x 1 的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y24x. (2) 如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，过点M作准线的垂线，垂足为点B，交y轴于点P，PMOF. 由题意知，F(2 ，0)，|FO| |AO| 2. 点M为FN的中点，PMOF，|MP| 12|FO| 1. 又|BP| |AO| 2，|MB| |MP| |BP| 3. 由抛物线的定义知|MF| |MB| 3，故 |FN| 2|MF| 6. 答案(1)y24x(2)6 考点二抛物线的标准方程及其性质精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 15 页5 【例 2】 (1)已知双曲线C1：x2a2y2b21(a0，b0C2：x22py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为 ( ) A.x2833y B.x21633yC.x28y D.x216y(2)(2016 全国卷) 以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点 . 已知 |AB| 42，|DE| 25，则C的焦点到准线的距离为( ) A.2 B.4 C 解析(1) x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为2，ca2，即c2a2a2b2a24，ba3. x22py(p0)的焦点坐标为0，p2，x2a2y2b21(a0，b0) 的渐近线方程为ybax，即y3x. 由题意得p21322，解得pC2的方程为x216y. (2) 不妨设抛物线C：y22px(p0)，圆的方程为x2y2r2(r0)，|AB| 42，|DE| 25，抛物线的准线方程为xp2，不妨设A4p，22 ，Dp2，5 ，点A4p，22 ，Dp2，5 在圆x2y2r2上，16p28p245，解得p 4( 负值舍去 ) ，故C的焦点到准线的距离为4. 答案(1)D (2)B ，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程. 2. 在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此. 【训练 2】 (1) 如图，过抛物线y2 2px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，假设 |BC| 2|BF| ，且 |AF| 3，则此抛精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 15 页6 物线的方程为 _. (2) 过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点 . 假设 |AF| 3，则AOB的面积为 _. (1) 解析设A，B在准线上的射影分别为A1，B1，由于 |BC| 2|BF| 2|BB1| ，则直线的斜率为3，故|AC| 2|AA1| 6，从而 |BF| 1，|AB| 4，故p|AA1|CF|AC|12，即p32，从而抛物线的方程为y23x. (2) 如图，由题意知，抛物线的焦点F的坐标为 (1 ，0) ，又|AF| 3，由抛物线定义知，点A到准线x 1 的距离为3，所以点A的横坐标为2，将x2 代入y2 4x得y2 8，由图知点A的纵坐标为y22，所以A(2 ，22) ，所以直线AF的方程为y22(x1)，联立直线与抛物线的方程y22x1，y2 4x，解得x12，y2或x2，y22，由图知B12，2 ，所以SAOB121 |yAyB| 322. 答案(1)y23x(2)322考点三直线与抛物线的位置关系( 多维探究 ) 命题角度1 直线与抛物线的公共点( 交点 ) 问题【例 31】 (2016全国卷) 在直角坐标系xOy中，直线l：yt(t0)交y轴于点M，交抛物线C：y22px(p0) 于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H. (1) 求|OH|ON|；(2) 除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由. 解(1) 如图，由已知得M(0 ，t) ，Pt22p，t，又N为M关于点P的对称点，故Nt2p，t，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 15 页7 故直线ON的方程为yptx，将其代入y22px整理得px2 2t2x0，解得x10，x22t2p，因此H2t2p， 2t. 所以N为OH的中点，即|OH|ON|2. (2) 直线MH与C除H以外没有其它公共点，理由如下：直线MH的方程为ytp2tx，即x2tp(yt). 代入y22px得y24ty4t20，解得y1y22t，即直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外，直线MH与C没有其它公共点. 命题角度2 与抛物线弦长( 中点 ) 有关的问题【例 3 2】 (2017北京卷 ) 已知抛物线C：y2 2px过点P(1 ，1) ，过点0，12作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点 . (1) 求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2) 求证：A为线段BM的中点 . (1) 解把P(1 ， 1)代入y22px，得p12，所以抛物线C的方程为y2x，焦点坐标为14，0 ，准线方程为x14. (2) 证明当直线MN斜率不存在或斜率为零时，显然与抛物线只有一个交点不满足题意，所以直线MN( 也就是直线l) 斜率存在且不为零. 由题意，设直线l的方程为ykx12(k0)，l与抛物线C的交点为M(x1，y1) ，N(x2，y2). 由ykx12，y2x，消去y得 4k2x2(4k4)x1 0. 考虑(4k4)244k216(12k) ，由题可知有两交点，所以判别式大于零，所以k0)与C交于点P，PFx轴，则k( ) A.12C.32解析由题可知抛物线的焦点坐标为(1 ，0) ，由PFx轴知， |PF| 2，所以P点的坐标为(1， 2) ，代入曲线ykx(k0)得k2. 答案D 3. (2018张掖诊断) 过抛物线y2 4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1) ，Q(x2，y2) 两点，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 15 页10 如果x1x26，则 |PQ| ( ) 解析抛物线y2 4x的焦点为F(1 ，0) ，准线方程为x，|PQ| |PF| |QF| x11x21x1x228. 答案B 4. (2018铁岭质检) 设抛物线C：y23x的焦点为F，点A为C上一点，假设 |FA| 3，则直线FA的倾斜角为 ( ) A.3B.4C.3或23D.4或34解析如图，作AHl于H， 则|AH| |FA| 3， 作FEAH于E， 则|AE|33232，在 RtAEF中， cosEAF|AE|AF|12，EAF3，即直线FA的倾斜角为3，同理点A在x轴下方时，直线FA的倾斜角为23. 答案C 5. (2018衡水调研) 已知抛物线y24x， 过点P(4 ， 0) 的直线与抛物线相交于A(x1，y1) ，B(x2，y2) 两点，则y21y22的最小值为 ( ) 解析当直线的斜率不存在时，其方程为x4，由x4，y24x，得y1 4，y24，y21y22，设其方程为yk(x4) ，由y2 4x，ykx4，得ky24y16k0，y1y24k，y1y2 16，y21y22(y1y2)22y1y216k23232，综上可知，y21y2232. y21y22的最小值为32. 答案D 二、填空题6. (2018广东省际名校联考) 圆(x1)2y21 的圆心是抛物线y2px(p0) 的焦点为F，抛物线C与直线l1：yx的一个交点的横坐标为 8. (1) 求抛物线C的方程；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 15 页12 (2) 不过原点的直线l2与l1垂直，且与抛物线交于不同的两点A，B，假设线段AB的中点为P，且 |OP| |PB| ，求FAB的面积 . 解(1) 易知直线与抛物线的交点坐标为(8 ， 8) ，( 8)22p8， 2p8，抛物线方程为y28x. (2) 直线l2与l1垂直，故可设直线l2：xym，A(x1，y1) ，B(x2，y2) ，且直线l2与x轴的交点为M. 由y28x，xym，得y28y8m0， 6432m0，m2. y1y28，y1y2 8m，x1x2y21y2264m2. 由题意可知OAOB，即x1x2y1y2m28m0，m8 或m0( 舍 )，直线l2：xy8，M(8 ，0). 故SFABSFMBSFMA12|FM| |y1y2| 3y1y22 4y1y2245. 10. (2017全国卷) 设A，B为曲线C：yx24上两点，A与B的横坐标之和为4. (1) 求直线AB的斜率；(2) 设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AMBM，求直线AB的方程 . 解(1) 设A(x1，y1) ，B(x2，y2) ，则x1x2，y1x214，y2x224，x1x24. 于是直线AB的斜率ky1y2x1x2x1x241. (2) 由yx24，得yx2. 设M(x3，y3) ，由题设知x321，解得x32，于是M(2 ， 1). 设直线AB的方程为yxm，故线段AB的中点为N(2 ，2m) ，|MN| |m1|. 将yxm代入yx24得x24x4m0. 当16(m1)0 ，即m1 时，x1，222m 1. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 15 页13 从而 |AB| 2|x1x2| 42m 1. 由题设知 |AB| 2|MN| ，即 42m1 2(m1) ，解得m 7. 所以直线AB的方程为xy7 0. 能力提升题组( 建议用时： 20 分钟 ) 11. (2018南昌模拟) 已知抛物线C1：y12px2(p0)的焦点与双曲线C2：x23y21 的右焦点的连线交C1于点M(M在第一象限 ) ，假设C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p( ) A.316B.38C.233D.433解析由抛物线C1：y12px2(p0)得x22py(p0)，所以抛物线的焦点坐标为0，p2. 由x23y21 得a3，b1，c2. 所以双曲线的右焦点为(2 ，0). 则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为y0p20 x202. 即px 4y 2p0. 设Mx0，x202p(x00) ，则C1在点M处的切线的斜率为x0p. 由题意可知x0p33，解得x033p，所以M33p，p6，把M点的坐标代入得3p2323p 2p0. 解得p433. 答案D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 15 页14 12. 已知抛物线方程为y2 4x，直线l的方程为2xy40，在抛物线上有一动点A，点A到y轴的距离为m，到直线l的距离为n，则mn的最小值为 _. 解析如图，过A作AHl，AN垂直于抛物线的准线，则|AH| |AN| mn1，连接AF，则|AF| |AH| mn1，由平面几何知识，知当A，F，H三点共线时，|AF| |AH| mn1 取得最小值，最小值为F到直线l的距离，即65655，即mn的最小值为6551. 答案6551 13. 已知抛物线y22px(p0) 的焦点为F，A(x1，y1) ，B(x2，y2) 是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：(1)y1y2p2，x1x2p24；(2)1|AF|1|BF|为定值；(3) 以AB为直径的圆与抛物线的准线相切. 证明(1) 由已知得抛物线焦点坐标为p2，0 . 由题意可设直线方程为xmyp2，代入y22px，得y22p myp2，即y22pmyp20.(*) 则y1，y2是方程 (*) 的两个实数根，所以y1y2p2. 因为y212px1，y222px2，所以y21y224p2x1x2，所以x1x2y21y224p2p44p2p24. (2)1|AF|1|BF|1x1p21x2p2x1x2px1x2p2x1x2p24. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 15 页15 因为x1x2p24，x1x2|AB| p，代入上式，得1|AF|1|BF|AB|p24p2|AB| pp242p( 定值 ). (3) 设AB的中点为M(x0，y0) ，分别过A，B作准线的垂线，垂足为C，D，过M作准线的垂线，垂足为N，则|MN| 12(|AC| |BD|) 12(|AF| |BF|) 12|AB|. 所以以 AB为直径的圆与抛物线的准线相切. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 15 页