2022年高中数学常用结论集锦 .pdf

第 1 页 共 10 页1. 德摩根公式();()UUUUUUCABC AC B CABC AC B. 2UUABAABBABC BC AUAC BUC ABR3. 假设 =123,na aaa, 则的子集有2n个, 真子集有 (2n1) 个, 非空真子集有(2n2) 个4. 二次函数的解析式的三种形式一般式2( )(0)f xaxbxc a; 顶点式2( )()(0)f xa xhk a;零点式12( )()()(0)f xa xxxxa. 三次函数的解析式的三种形式一般式32( )(0)f xaxbxcxd a零点式123( )()()()(0)f xa xxxxxxa5. 设2121,xxbaxx那么1212()()()0 xxf xf x1212()()0( ),f xf xf xa bxx在上是增函数；1212()()()0 xxf xf x1212()()0( ),f xf xf xa bxx在上是减函数 . 设函数)(xfy在某个区间内可导，如果0)(xf，则)(xf为增函数；如果0)(xf，则)(xf为减函数 . 6. 函数( )yf x的图象的对称性: 函数( )yf x的图象关于直线xa对称()()f axf ax(2)( )faxf x函数( )yf x的图象关于直2abx对称()()f axf b x()( )f a b xf x. 函数( )yf x的图象关于点( ,0)a对称( )(2)f xfax函数( )yf x的图象关于点( , )a b对称( )2(2)f xbfax7. 两个函数图象的对称性: 函数( )yf x与函数()yfx的图象关于直线0 x( 即y轴) 对称 . 函数()yf mxa与函数()yf bmx的图象关于直线2abxm对称 . 特殊地 : ()yf xa与函数()yf ax的图象关于直线xa对称函数( )yf x的图象关于直线xa对称的解析式为(2)yfax函数( )yf x的图象关于点( ,0)a对称的解析式为(2)yfax函数)(xfy和)(1xfy的图象关于直线y=x 对称 . 8. 分数指数幂mnmnaa0,am nN，且1n. 1mnmnaa0,am nN，且1n. 9.log(0,1,0)baNbaN aaN. logloglogaaaMNMN (0.1,0,0)aaMNlogloglogaaaMMNN(0.1,0,0)aaMN精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页第 2 页 共 10 页10. 对数的换底公式logloglogmamNNa. 推论loglogmnaanbbm. 对数恒等式logaNaN0,1aa11.11,1,2nnnsnassn( 数列na的前 n 项的和为12nnsaaa). 12. 等差数列na的通项公式*11(1)()naanddnad nN；13. 等差数列na的变通项公式dmnaamn)(对于等差数列na，假设qpmn，(m,n,p,q 为正整数 )则qpmnaaaa。14.假设数列na是等差数列，nS是其前 n 项的和，*Nk，那么kS，kkSS2，kkSS23成等差数列。如下列图所示：kkkkkSSSkkSSkkkaaaaaaaa3232k31221S321其前 n 项和公式1()2nnn aas1(1)2n nnad211()22dnad n. na是等差数列naknb,数列na是等差数列nS=2AnBn16设数列na是等差数列，奇S是奇数项的和，偶S是偶数项项的和，nS是前 n 项的和，则有如下性质：1 前 n 项的和偶奇SSSn2 当 n 为偶数时，d2nS奇偶S，其中 d 为公差；3 当 n 为奇数时，则中偶奇aSS，中奇a21nS，中偶a21nS，11SSnn偶奇，n偶奇偶奇偶奇SSSSSSSn其中中a是等差数列的中间一项。17假设等差数列na的前12n项的和为12nS，等差数列nb的前12n项的和为12 nS，则1212nnnnSSba。18. 等比数列na的通项公式1*11()nnnaaa qqnNq；等比数列na的变通项公式mnmnqaa其前 n 项的和公式11(1),11,1nnaqqsqna q或11,11,1nnaa qqqsna q. 19.对于等比数列na，假设vumn(n,m,u,v 为正整数 )，则vumnaaaa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页第 3 页 共 10 页也就是：23121nnnaaaaaa。如下图：nnaanaannaaaaaa112,1232120. 数列na是等比数列，nS 是其前n 项的和，*Nk，那么kS ，kkSS2，kkSS23成等比数列。如下列图所示：kkkkkSSSkkSSkkkaaaaaaaa3232k31221S32121. 同角三角函数的基本关系式22sincos1，tan=cossin，tan1cot. 2211tancos22. 正弦、余弦的诱导公式212( 1) sin,sin()2( 1)s,nnnncon为偶数为奇数212( 1)s ,s()2( 1)sin,nnconncon为偶数为奇数即: 奇变偶不变 , 符号看象限 , 如cos()cos,sin()sin22sin()sin,cos()cos23. 和角与差角公式sin()sincoscossin; cos()coscossinsin; tantantan()1tantan. 22sin()sin()sinsin( 平方正弦公式); 22cos()cos()cossin. sincosab=22sin()ab( 辅助角所在象限由点( , )a b的象限决定 ,tanba ).24. 二倍角公式sin2sincos. 2222cos2cossin2cos112sin. 升幂公式221cos21cos2cos,sin22降幂公式22tantan21tan. 25. 万能公式 :22tansin 21tan, 221tancos21tan26. 半角公式 :sin1costan21cossin精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页第 4 页 共 10 页27. 三函数的周期公式函数sin()yAx，xR及函数cos()yAx，xR(A, ,为常数， 且 A0， 0) 的周期2T；假设未说明大于0, 则2|T函数tan()yx，,2xkkZ(A, ,为常数，且A0， 0) 的周期T. 28. sinyx的单调递增区间为2,222kkkZ单调递减区间为32,222kkkZ，对称轴为()2xkkZ, 对称中心为,0k()kZ29. cosyx的单调递增区间为2,2kkkZ单调递减区间为2,2kkkZ，对称轴为()xkkZ, 对称中心为,02k()kZ30. tanyx的单调递增区间为,22kkkZ，对称中心为(,0)()2kkZ31. 正弦定理2sinsinsinabcRABC32. 余弦定理2222cosabcbcA;2222cosbcacaB; 2222coscababC. 33. 面积定理 1111222abcSahbhchabchhh、分别表示a、b、c 边上的高 . 2111sinsinsin222SabCbcAcaB. (3)221(| |)()2OABSOAOBOA OB=1tan2OA OB(为,OA OB的夹角 ) 34. 三角形内角和定理在 ABC中，有()222CABABCCAB222()CAB. 35. 平面两点间的距离公式,A Bd=|ABAB AB222121()()xxyy(A11(,)xy，B22(,)xy). 36. 向量的平行与垂直设 a=11(,)x y, b=22(,)xy，且 b0，则abb= a 12210 x yx y. ab(a0)ab=012120 x xy y. 37. 线段的定比分公式设111(,)P xy，222(,)P xy，( , )P x y是线段12PP的分点 ,是实数，且12PPPP，则121211xxxyyy121OPOPOP12(1)OPtOPt OP11t. 38. 假设OAxOByOB则 A,B,C 共线的充要条件是x+y=1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页第 5 页 共 10 页39. 三角形的重心坐标公式 ABC三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y)、33C(x ,y), 则 ABC的重心的坐标是123123(,)33xxxyyyG. 40. 点的平移公式xxhxxhyykyykOPOPPP ( 图形 F 上的任意一点P(x，y) 在平移后图形F上的对应点为(,)Px y，且PP的坐标为( , )h k). 41. 常用不等式：1,a bR222abab( 当且仅当a b 时取“ =”号) 2,a bR2abab( 当且仅当ab 时取“ =”号) 33333(0,0,0).abcabc abc4bababa注意等号成立的条件(5)221(0,0)1122ababababab42. 极值定理已知yx,都是正数，则有1如果积xy是定值p，那么当yx时和yx有最小值p2；2如果和yx是定值s，那么当yx时积xy有最大值241s. 43. 一元二次不等式20(0)axbxc或2(0,40)abac，如果a与2axbxc同号，则其解集在两根之外；如果a与2axbxc异号，则其解集在两根之间. 简言之：同号两根之外，异号两根之间. 121212()()0()xxxxxxxxx；121212,()()0()xxxxxxxxxx或. 44. 含有绝对值的不等式当 a 0 时，有22xaxaaxa. 22xaxaxa或xa. 45. 无理不等式 1( )0( )( )( )0( )( )f xf xg xg xf xg x22( )0( )0( )( )( )0( )0( ) ( )f xf xf xg xg xg xf xg x或. 32( )0( )( )( )0( ) ( )f xf xg xg xf xg x. 46. 指数不等式与对数不等式 (1) 当1a时, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页第 6 页 共 10 页( )( )( )( )fxg xaaf xg x; ( )0log( )log( )( )0( )( )aaf xf xg xg xf xg x. (2) 当01a时, ( )( )( )( )fxg xaaf xg x;( )0log( )log( )( )0( )( )aaf xf xg xg xf xg x47.斜率公式2121yykxx111(,)P x y、222(,)P xy直线的方向向量v=(a,b),则直线的斜率为k=(0)baa48.直线方程的五种形式: 1点斜式11()yyk xx( 直线l过点111(,)P xy，且斜率为k)2斜截式ykxb(b 为直线l在 y 轴上的截距 ). 3两点式112121yyxxyyxx(12yy)(111(,)P x y、222(,)P xy (12xx). 4截距式1( ,xya bxyab分别为轴 轴上的截距, 且a 0,b0)5一般式0AxByC(其中 A、B 不同时为0).4 平行和垂直1假设111:lyk xb，222:lyk xb121212,llkkbb;121 21llk k. (2)假设1111:0lA xB yC,2222:0lA xB yC, 121221122100llA BA BACA C且；1212120llA AB B；50.夹角公式2121tan|1kkk k.(111:lyk xb，222:lyk xb,121k k)12211212tanA BA BA AB B(1111:0lA xB yC,2222:0lA xB yC,12120A AB B). 直线12ll时，直线l1与 l2的夹角是2. 直线 l1到 l2的角是2121tan1kkk k(111:lyk xb，222:lyk xb,121k k)51.点到直线的距离0022|AxByCdAB(点00(,)P xy,直线l：0AxByC). 52两条平行线的间距离2122|CCdAB(直线l1：122120,0,)AxByCl AxByCCC). 53. 圆的四种方程1圆的标准方程222()()xaybr. 2圆的一般方程220 xyDxEyF(224DEF0). 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页第 7 页 共 10 页3圆的参数方程cossinxarybr. 4圆的直径式方程1212()()()()0 xxxxyyyy( 圆的直径的端点是11(,)A xy、22(,)B xy). 54. 圆中有关重要结论: (1) 假设 P(0 x,0y) 是圆222xyr上的点 , 则过点 P(0 x,0y) 的切线方程为200 xxyyr(2)假 设P(0 x,0y) 是 圆222()()xaybr上 的 点 , 则 过 点P(0 x,0y) 的 切 线 方 程 为200()()()()xaxaybybr(3) 假设 P(0 x,0y) 是圆222xyr外一点 , 由 P(0 x,0y) 向圆引两条切线, 切点分别为A,B 则直线 AB的方程为200 xxyyr(4) 假设 P(0 x,0y) 是圆222()()xaybr外一点 , 由 P(0 x,0y) 向圆引两条切线, 切点分别为A,B 则直线 AB的方程为200()()()()xaxaybybr55. 椭圆22221(0)xyabab的参数方程是cossinxayb. 56. 椭圆22221(0)xyabab焦半径公式)(21caxePF，)(22xcaePF. 56. 椭圆22221(0)xyabab的准线方程为2axc, 椭圆22221(0)xyabba的准线方程为2ayc57. 椭圆22221(0)xyabab的通径 ( 过焦点且垂直于对称轴的弦)长为22ba58.P 是椭圆22221(0)xyabab上一点 ,F1,F2是它的两个焦点, F1P F2=则 P F1 F2的面积 =2tan2b22221(0,0)xyabab的准线方程为2axc双曲线22221(0,0)xyabba的准线方程为2ayc60. 双曲线22221(0,0)xyabab的渐近线方程为byxa双曲线22221(0,0)xyabba的的渐近线方程为ayxb22221(0,0)xyabab上一点 ,F1,F2是它的两个焦点, F1P F2=则 P F1 F2的面积 =2cot2b62. 抛物线pxy22上的动点可设为P),2(2ypy或或)2 ,2(2ptptP P(,)xy，其中22ypx. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页第 8 页 共 10 页63. P(0 x,0y) 是抛物线pxy22上的一点 ,F 是它的焦点 , 则|PF|=0 x+2p64. 抛物线pxy22的焦点弦长22sinpl, 其中是焦点弦与x 轴的夹角65. 直线与圆锥曲线相交的弦长公式221212()()ABxxyy或2212|11ABxxkka 弦 端 点A),(),(2211yxByx， 由 方 程0)y,x(Fbkxy消 去y得 到02cbxax，0,k为直线的斜率. 假设弦端点A),(),(2211yxByx由方程0)y,x(Fbkxy消去 x 得到20aybyc，0,k为直线的斜率.则122211| 11AByykak66. 圆锥曲线( , )0F x y关于点00(,)P xy成中心对称的曲线是00(2- ,2)0Fx xyy. 67.共线向量定理对空间任意两个向量a、b(b0 )，ab存在实数使a=b68. 对空间任一点O和不共线的三点A、B、C，满足OPxOAyOBzOC，则四点 P、 A、B、C是共面1xyz69.空间两个向量的夹角公式 cos a，b=1 12233222222123123aba ba baaabbba123(,)a aa，b123(,)b bb. 70.直线AB与平面所成角sin|AB marcAB m(m为平面的法向量 ). 71.二面角l的平面角cos|m narcm n或cos|m narcm nm，n为平面，的法向量 . 72. 设 AC是内的任一条直线，且BC AC ，垂足为C，又设AO与 AB所成的角为1，AB与 AC所成的角为2，AO与 AC所成的角为则12coscoscos. 73. 假设夹在平面角为的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是1,2, 与二面角的棱所成的角是，则有22221212sinsinsinsin2sinsincos ; 1212|180()( 当且仅当90时等号成立 ). 74. 空间两点间的距离公式假设 A111(,)x yz，B222(,)xyz，则,A Bd=|ABAB AB222212121()()()xxyyzz. 75. 点Q到直线l距离221(|)()|ha ba ba( 点P在直线l上，直线l的方向向量a=PA，向量 b=PQ). 76.异面直线间的距离|CD ndn(12,ll是两异面直线， 其公垂向量为n，CD、分别是12,l l上任一点，d为12,ll间的距离 ). 77.点B到平面的距离|AB ndnn为平面的法向量，AB是经过面的一条斜线，A. 78. 2222123llll222123coscoscos1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页第 9 页 共 10 页长度为l的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123lll、 、，夹角分别为123、 立几中长方体对角线长的公式是其特例. 79. 面积射影定理cosSS( 平面多边形及其射影的面积分别是S、S，它们所在平面所成锐二面角的为).80. 球的半径是R，则其体积是343VR, 其外表积是24SR81.1,3VShVSh锥柱82. 分类计数原理加法原理12nNmmm. 83. 分步计数原理乘法原理 12nNmmm. 84. 排列数公式mnA=)1()1(mnnn=！)(mnn.(n，mN*，且mn) 85. 排列恒等式11(1)mmnnAnmA;21mmnnnAAnm; 311mmnnAnA; 411nnnnnnnAAA;511mmmnnnAAmA. 86. 组合数公式mnC=mnmmAA=mmnnn21) 1()1(=！)(mnmn(n，m N*，且mn). 87. 组合数的两个性质(1) mnC=mnnC ;(2) mnC+1mnC=mnC1 88. 组合恒等式 111mmnnnmCCm; 21mmnnnCCnm; 311mmnnnCCm; 411kknnkCnC5nrrnC0=n2; 51121rnrnrrrrrrCCCCC. 89. 排列数与组合数的关系是：mmnnAm C！ . 90. 二项式定理nnnrrnrnnnnnnnnbCbaCbaCbaCaCba222110)( ; 二项展开式的通项公式：rrnrnrbaCT1)210(nr，. 91. 等可能性事件的概率()mP An. 92. 互斥事件A ，B分别发生的概率的和P(AB)=P(A) P(B) 93.n个互斥事件分别发生的概率的和P(A1A2 An)=P(A1) P(A2) P(An) 94. 独立事件A ，B同时发生的概率P(AB)= P(A) P(B). 95.n 个独立事件同时发生的概率 P(A1 A2 An)=P(A1) P(A2) P(An) 96.n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率( )(1).kkn knnP kC PP97. 函数)(xfy在点0 x处的导数是曲线)(xfy在)(,(00 xfxP处的切线的斜率)(0 xf，相应的切线方程是)(000 xxxfyy. 98. 导数与函数的单调性的关系0)(xf与)(xf为增函数的关系。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页第 10 页 共 10 页0)(xf能推出)(xf为增函数，但反之不一定。如函数3)(xxf在),(上单调递增，但0)(xf，0)(xf是)(xf为增函数的充分不必要条件。0)(xf与)(xf为增函数的关系。)(xf为增函数，一定可以推出0)(xf，但反之不一定，因为0)(xf，即为0)(xf或0)(xf。当函数在某个区间内恒有0)(xf，则)(xf为常数，函数不具有单调性。0)(xf是)(xf为增函数的必要不充分条件。99.抽象函数的性质所对应的一些具体特殊函数模型：)()()(2121xfxfxxf正比例函数)0()(kkxxf)()()(2121xfxfxxf；)()()(2121xfxfxxf( )xf xa)()()(2121xfxfxxf；)()()(2121xfxfxxf( )logaf xx；123,nx xxx, 则它们的平均数为1231()nxxxxxn, 方差2s=22221231()()()() nxxxxxxxxn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页