2018年度上海崇明区高考数学一模试卷.doc

.2018年上海市崇明区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）1（4分）已知集合A=1，2，5，B=2，a，若AB=1，2，3，5，则a= 2（4分）抛物线y2=4x的焦点坐标为 3（4分）不等式0的解是 4（4分）若复数z满足iz=1+i（i为虚数单位），则z= 5（4分）在代数式（x）7的展开式中，一次项的系数是 （用数字作答）6（4分）若函数y=2sin（x）+1（0）的最小正周期是，则= 7（5分）若函数f（x）=xa的反函数的图象经过点（，），则a= 8（5分）将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体的体积为27cm3，则该几何体的侧面积为 cm29（5分）已知函数y=f（x）是奇函数，当x0 时，f（x）=2xax，且f（2）=2，则a= 10（5分）若无穷等比数列an的各项和为Sn，首项 a1=1，公比为a，且 Sn=a，则a= 11（5分）从5男3女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成 4人志愿者服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有 种不同的选法（用数字作答）12（5分）在ABC中，BC边上的中垂线分别交BC，AC于点D，E若=6，|=2，则AC= 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）13（5分）展开式为adbc的行列式是（）ABCD14（5分）设a，bR，若ab，则（）ABlgalgbCsin asin bD2a2b15（5分）已知等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，则“d0”是“S4+S62S5”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件16（5分）直线x=2与双曲线y2=1的渐近线交于A，B两点，设P为双曲线上任一点，若=a+b（a，bR，O为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（）Aa2+b21B|ab|1C|a+b|1D|ab|2三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17（14分）如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=2，A1C与底面ABCD所成的角为60，（1）求四棱锥A1ABCD的体积；（2）求异面直线A1B与 B1D1所成角的大小18（14分）已知f（x）=2sinxcosx+2cos2x1（1）求f（x）的最大值及该函数取得最大值时x的值；（2）在ABC 中，a，b，c分别是角 A，B，C所对的边，若a=，b=，且f（）=，求边c的值19（14分）2016 年崇明区政府投资 8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目规划从 2017 年起，在今后的若干年内，每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为 5 百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的基础上增长50%记 2016 年为第 1 年，f （n）为第 1 年至此后第 n （nN*）年的累计利润（注：含第 n 年，累计利润=累计净收入累计投入，单位：千万元），且当 f （n）为正值时，认为该项目赢利（1）试求 f （n）的表达式；（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由20（16分）在平面直角坐标系中，已知椭圆C：+y2=1 （a0，a1）的两个焦点分别是F1，F2，直线l：y=kx+m（k，mR）与椭圆交于A，B两点（1）若M为椭圆短轴上的一个顶点，且MF1F2是直角三角形，求a的值；（2）若k=1，且OAB是以O为直角顶点的直角三角形，求a与m满足的关系；（3）若a=2，且kOAkOB=，求证：OAB的面积为定值21（18分）若存在常数k（k0），使得对定义域D内的任意x1，x2（x1x2），都有|f（x1）f（x2）|k|x1x2|成立，则称函数f（x）在其定义域 D上是“k利普希兹条件函数”（1）若函数f（x）=，（1x4）是“k利普希兹条件函数”，求常数k的最小值；（2）判断函数f（x）=log2x 是否是“2利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由；（3）若y=f（x）（xR ）是周期为2的“1利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数x1，x2，都有|f（x1）f（x2）|12018年上海市崇明区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）1（4分）已知集合A=1，2，5，B=2，a，若AB=1，2，3，5，则a=3【解答】解：集合A=1，2，5，B=2，a，AB=1，2，3，5，a=3故答案为：32（4分）抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0）【解答】解：抛物线y2=4x是焦点在x轴正半轴的标准方程，p=2焦点坐标为：（1，0）故答案为：（1，0）3（4分）不等式0的解是（1，0）【解答】解：不等式0，即 x（x+1）0，求得1x0，故答案为：（1，0）4（4分）若复数z满足iz=1+i（i为虚数单位），则z=1i【解答】解：由iz=1+i，得z=1i故答案为：1i5（4分）在代数式（x）7的展开式中，一次项的系数是21（用数字作答）【解答】解：（x）7的展开式的通项为=，由73r=1，得r=2，一次项的系数是故答案为：216（4分）若函数y=2sin（x）+1（0）的最小正周期是，则=2【解答】解：根据正弦函数的图象与性质，知函数y=2sin（x）+1（0）的最小正周期是T=，解得=2故答案为：27（5分）若函数f（x）=xa的反函数的图象经过点（，），则a=【解答】解：若函数f（x）=xa的反函数的图象经过点（，），则：（，）满足f（x）=x，所以：，解得：，故答案为：8（5分）将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体的体积为27cm3，则该几何体的侧面积为18cm2【解答】解：将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体是圆柱体，设正方形的边长为acm，则圆柱体的体积为V=a2a=27，解得a=3cm；该圆柱的侧面积为S=233=18cm2故答案为：189（5分）已知函数y=f（x）是奇函数，当x0 时，f（x）=2xax，且f（2）=2，则a=【解答】解：函数y=f（x）是奇函数，当x0 时，f（x）=2xax，x0时，f（x）=2xa（x），f（x）=2xax，f（2）=2，f（2）=222a=2，解得a=故答案为：10（5分）若无穷等比数列an的各项和为Sn，首项 a1=1，公比为a，且 Sn=a，则a=2【解答】解：无穷等比数列an的各项和为Sn，首项 a1=1，公比为a，且 Sn=a，可得=a，即有=a，即为2a25a+2=0，解得a=2或，由题意可得0|q|1，即有0|a|1，检验a=2成立；a=不成立故答案为：211（5分）从5男3女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成 4人志愿者服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有780种不同的选法（用数字作答）【解答】解：根据题意，要求服务队中至少有 1 名女生，则分3种情况讨论：、选出志愿者服务队的4人中有1名女生，有C53C31=30种选法，这4人选2人作为队长和副队有A42=12种，其余2人为普通队员，有1种情况，此时有3012=360种不同的选法，、选出志愿者服务队的4人中有2名女生，有C52C32=30种选法，这4人选2人作为队长和副队有A42=12种，其余2人为普通队员，有1种情况，此时有3012=360种不同的选法，、选出志愿者服务队的4人中有3名女生，有C51C33=5种选法，这4人选2人作为队长和副队有A42=12种，其余2人为普通队员，有1种情况，此时有512=60种不同的选法，则一共有360+360+60=780；故答案为：78012（5分）在ABC中，BC边上的中垂线分别交BC，AC于点D，E若=6，|=2，则AC=4【解答】解：建立平面直角坐标系如图所示，设B（a，0），C（a，0），E（0，b），ABC=，由|=2，知A（a+2cos，2sin），=（a2cos，b2sin），=（2a，0），=2a（a2cos）+0=2a24acos=6，a22acos=3；又=（2a2cos，2sin），=（2a2cos）2+（2sin）2=4a28acos+4=4（a22acos）+4=43+4=16，|=4，即AC=4故答案为：4二、选择题（本大题共有4题，满分20分）13（5分）展开式为adbc的行列式是（）ABCD【解答】解：根据叫做二阶行列式，它的算法是：adbc，由题意得，=adbc故选B14（5分）设a，bR，若ab，则（）ABlgalgbCsin asin bD2a2b【解答】解：由ab，利用指数函数的单调性可得：2a2b再利用不等式的性质、对数函数的定义域与单调性、三角函数的单调性即可判断出A，B，C不正确故选：D15（5分）已知等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，则“d0”是“S4+S62S5”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【解答】解：S4+S62S5，4a1+6d+6a1+15d2（5a1+10d），21d20d，d0，故“d0”是“S4+S62S5”充分必要条件，故选：C16（5分）直线x=2与双曲线y2=1的渐近线交于A，B两点，设P为双曲线上任一点，若=a+b（a，bR，O为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（）Aa2+b21B|ab|1C|a+b|1D|ab|2【解答】解：双曲线y2=1的渐近线为：y=x把x=2代入上述方程可得：y=1不妨取A（2，1），B（2，1）=a+b=（2a+2b，ab）代入双曲线方程可得：（ab）2=1，化为ab=ab，化为：|a+b|1故选：C三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17（14分）如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=2，A1C与底面ABCD所成的角为60，（1）求四棱锥A1ABCD的体积；（2）求异面直线A1B与 B1D1所成角的大小【解答】解：（1）长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1平面ABCD，AC=2，A1CA是A1C与底面ABCD所成的角，A1C与底面ABCD所成的角为60，A1CA=60，AA1=ACtan60=2=2，S正方形ABCD=ABBC=22=4，四棱锥A1ABCD的体积：V=（2）BDB1D1，A1BD是异面直线A1B与B1D1所成角（或所成角的补角）BD=，A1D=A1B=2，cosA1BD=A1BD=arccos异面直线A1B与 B1D1所成角是arccos18（14分）已知f（x）=2sinxcosx+2cos2x1（1）求f（x）的最大值及该函数取得最大值时x的值；（2）在ABC 中，a，b，c分别是角 A，B，C所对的边，若a=，b=，且f（）=，求边c的值【解答】解：f（x）=2sinxcosx+2cos2x1=sin2x+cos2x=2sin（2x+）（1）当2x+=时，即x=（kZ），f（x）取得最大值为2；（2）由f（）=，即2sin（A+）=可得sin（A+）=0AAA=或A=或当A=时，cosA=a=，b=，解得：c=4当A=时，cosA=0a=，b=，解得：c=219（14分）2016 年崇明区政府投资 8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目规划从 2017 年起，在今后的若干年内，每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为 5 百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的基础上增长50%记 2016 年为第 1 年，f （n）为第 1 年至此后第 n （nN*）年的累计利润（注：含第 n 年，累计利润=累计净收入累计投入，单位：千万元），且当 f （n）为正值时，认为该项目赢利（1）试求 f （n）的表达式；（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由【解答】解：（1）由题意知，第1年至此后第n（nN*）年的累计投入为8+2（n1）=2n+6（千万元），第1年至此后第n（nN*）年的累计净收入为+=（千万元）f（n）=（2n+6）=2n7（千万元）（2）方法一：f（n+1）f（n）=2（n+1）72n7=4，当n3时，f（n+1）f（n）0，故当n4时，f（n）递减；当n4时，f（n+1）f（n）0，故当n4时，f（n）递增又f（1）=0，f（7）=521=0，f（8）=232523=20该项目将从第8年开始并持续赢利答：该项目将从2023年开始并持续赢利；方法二：设f（x）=2x7（x1），则f（x）=，令f（x）=0，得=5，x4从而当x1，4）时，f（x）0，f（x）递减；当x（4，+）时，f（x）0，f（x）递增又f（1）=0，f（7）=521=0，f（8）=232523=20该项目将从第8年开始并持续赢利答：该项目将从2023年开始并持续赢利20（16分）在平面直角坐标系中，已知椭圆C：+y2=1 （a0，a1）的两个焦点分别是F1，F2，直线l：y=kx+m（k，mR）与椭圆交于A，B两点（1）若M为椭圆短轴上的一个顶点，且MF1F2是直角三角形，求a的值；（2）若k=1，且OAB是以O为直角顶点的直角三角形，求a与m满足的关系；（3）若a=2，且kOAkOB=，求证：OAB的面积为定值【解答】解：（1）M为椭圆短轴上的一个顶点，且MF1F2是直角三角形，MF1F2为等腰直角三角形，OF1=OM，当a1时，=1，解得a=，当0a1时，=a，解得a=，（2）当k=1时，y=x+m，设A（x1，y1），（x2，y2），由，即（1+a2）x2+2a2mx+a2m2a2=0，x1+x2=，x1x2=，y1y2=（x1+m）（x2+m）=x1x2+m（x1+x2）+m2=，OAB是以O为直角顶点的直角三角形，=0，x1x2+y1y2=0，+=0，a2m2a2+m2a2=0m2（a2+1）=2a2，（3）证明：当a=2时，x2+4y2=4，设A（x1，y1），（x2，y2），kOAkOB=，=，x1x2=4y1y2，由，整理得，（1+4k2）x2+8kmx+4m24=0x1+x2=，x1x2=，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=+m2=，=4，2m24k2=1，|AB|=2=O到直线y=kx+m的距离d=，SOAB=|AB|d=121（18分）若存在常数k（k0），使得对定义域D内的任意x1，x2（x1x2），都有|f（x1）f（x2）|k|x1x2|成立，则称函数f（x）在其定义域 D上是“k利普希兹条件函数”（1）若函数f（x）=，（1x4）是“k利普希兹条件函数”，求常数k的最小值；（2）判断函数f（x）=log2x 是否是“2利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由；（3）若y=f（x）（xR ）是周期为2的“1利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数x1，x2，都有|f（x1）f（x2）|1【解答】解：（1）若函数f（x）=，（1x4）是“k利普希兹条件函数”，则对于定义域1，4上任意两个x1，x2（x1x2），均有|f（x1）f（x2）|k|x1x2|成立， 不妨设x1x2，则k=恒成立1x2x14，k的最小值为 （2）f（x）=log2x的定义域为（0，+），令x1=，x2=，则f（）f（）=log2log2=1（2）=1，而2|x1x2|=，f（x1）f（x2）2|x1x2|，函数f（x）=log2x 不是“2利普希兹条件函数”证明：（3）设f（x）的最大值为M，最小值为m，在一个周期0，2内f（a）=M，f（b）=m，则|f（x1）f（x2）|Mm=f（a）f（b）|ab|若|ab|1，显然有|f（x1）f（x2）|ab|1若|ab|1，不妨设ab，则0b+2a1，|f（x1）f（x2）|Mm=f（a）f（b+2）|ab2|1综上，|f（x1）f（x2）|1