2021高三数学北师大版（理）一轮课后限时集训：45 垂直关系 .doc

垂直关系建议用时：45分钟一、选择题1(2019昆明模拟)已知直线l平面，直线m平面，若，则下列结论正确的是()Al或lBlmCmDlmA直线l平面，则l或l，A正确，故选A.2已知直线m，n和平面，则下列四个命题中正确的是()A若，m，则mB若m，n，则mnC若m，nm，则nD若m，m，则B对于A，若，m，则当m与，的交线垂直时才有m，故A错；对于B，若n，则内存在直线a，使得an，m，ma，mn，故B正确；对于C，当n时，显然结论错误，故C错；对于D，若l，则当ml时，显然当条件成立时，结论不成立，故D错故选B.3.如图，在四面体DABC中，若ABCB，ADCD，E是AC的中点，则下列结论正确的是()A平面ABC平面ABDB平面ABD平面BDCC平面ABC平面BDE，且平面ADC平面BDED平面ABC平面ADC，且平面ADC平面BDEC因为ABCB，且E是AC的中点，所以BEAC，同理有DEAC，于是AC平面BDE.因为AC在平面ABC内，所以平面ABC平面BDE.又由于AC平面ACD，所以平面ACD平面BDE.4.(2019宁夏模拟)如图，AB是O的直径，C是圆周上不同于A，B的任意一点，PA平面ABC，则四面体PABC的四个面中，直角三角形的个数有()A4个B3个C2个D1个AAB是圆O的直径， ACB90，即BCAC，ABC是直角三角形又PAO所在平面， PAC，PAB是直角三角形且PABC ，因此BC垂直于平面PAC中两条相交直线， BC平面PAC, PBC是直角三角形从而PAB，PAC，ABC，PBC中，直角三角形的个数是4.故选A.5(2017全国卷)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则()AA1EDC1BA1EBDCA1EBC1 DA1EACC如图，A1E在平面ABCD上的投影为AE，而AE不与AC，BD垂直，选项B，D错误；A1E在平面BCC1B1上的投影为B1C，且B1CBC1，A1EBC1，故选项C正确；(证明：由条件易知，BC1B1C，BC1CE，又CEB1CC，BC1平面CEA1B1.又A1E平面CEA1B1，A1EBC1.)A1E在平面DCC1D1上的投影为D1E，而D1E不与DC1垂直，故选项A错误故选C.二、填空题6(2019北京高考)已知l，m是平面外的两条不同直线给出下列三个论断：lm；m；l.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：_.如果l，m，则lm(或若lm，l，则m)将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：(1)如果l，m，则lm，正确；(2)如果l，lm，则m，正确；(3)如果lm，m，则l，错误，有可能l与斜交或l.7.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为_连接A1C1，则AC1A1为AC1与平面A1B1C1D1所成的角因为ABBC2，所以A1C1AC2，又AA11，所以AC13，所以sinAC1A1.8.(2019潍坊模拟)四面体PABC中，PAPBPC，底面ABC为等腰直角三角形，ACBC，O为AB中点，请从以下平面中选出两个相互垂直的平面_(只填序号)平面PAB；平面ABC；平面PAC；平面PBC；平面POC.(答案不唯一)四面体PABC中，PAPBPC，底面ABC为等腰直角三角形，ACBC，O为AB中点， COAB，POAB，COPOO，AB平面POC.AB平面ABC, 平面POC平面ABC，两个相互垂直的平面为.三、解答题9(2019江苏高考)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，ABBC.求证：(1)A1B1平面DEC1；(2)BEC1E.证明(1)因为D，E分别为BC，AC的中点，所以EDAB.在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABA1B1，所以A1B1ED.又因为ED平面DEC1，A1B1平面DEC1，所以A1B1平面DEC1.(2)因为ABBC，E为AC的中点，所以BEAC.因为三棱柱ABCA1B1C1是直棱柱，所以CC1平面ABC.又因为BE平面ABC，所以CC1BE.因为C1C平面A1ACC1，AC平面A1ACC1，C1CACC，所以BE平面A1ACC1.因为C1E平面A1ACC1，所以BEC1E.10.如图，三棱锥PABC中，底面ABC是边长为2的正三角形，PAPC，PB2.(1)求证：平面PAC平面ABC；(2)若PAPC，求三棱锥PABC的体积解(1)证明：如图，取AC的中点O，连接BO，PO，因为ABC是边长为2的正三角形，所以BOAC，BO.因为PAPC，所以POAC1.因为PB2，所以OP2OB2PB2，所以POOB.因为ACOPO，AC，OP平面PAC，所以BO平面PAC.又OB平面ABC，所以平面PAC平面ABC.(2)因为PAPC，PAPC，AC2，所以PAPC.由(1)知BO平面PAC，所以VPABCVBAPCSPACBO.1(2019武邑模拟)如图所示，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，BC1AC，则点C1在平面ABC上的射影H必在()A直线AB上B直线BC上C直线AC上DABC的内部A连接AC1(图略)，因为ACAB，ACBC1，ABBC1B，所以AC平面ABC1，又AC平面ABC，所以平面ABC1平面ABC，所以点C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上，故选A.2(2019南昌模拟)如图所示，在正方形ABCD中，AC为对角线，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H.下列说法错误的是_(将符合题意的序号填到横线上)AGEFH所在平面；AHEFH所在平面；HFAEF所在平面；HGAEF所在平面根据折叠前ABBE，ADDF可得折叠后AHHE，AHHF，可得AH平面EFH，即正确；过点A只有一条直线与平面EFH垂直，不正确；AGEF，AHEF，EF平面HAG，平面HAG平面AEF，过H作直线垂直于平面AEF，该直线一定在平面HAG内，不正确；HG不垂直AG，HG平面AEF不正确，不正确，综上，说法错误的是.3(2019全国卷)已知ACB90，P为平面ABC外一点，PC2，点P到ACB两边AC，BC的距离均为，那么P到平面ABC的距离为_如图，过点P作PO平面ABC于O，则PO为P到平面ABC的距离再过O作OEAC于E，OFBC于F，连接PC，PE，PF，则PEAC，PFBC.又PEPF，所以OEOF，所以CO为ACB的平分线，即ACO45.在RtPEC中，PC2，PE，所以CE1，所以OE1，所以PO.4.在如图所示的五面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，且DAB60，EAEDAB2EF2，EFAB，M为BC的中点(1)求证：FM平面BDE；(2)若平面ADE平面ABCD，求点F到平面BDE的距离解(1)证明：取BD的中点O，连接OM，OE，因为O，M分别为BD，BC的中点，所以OMCD，且OMCD.因为四边形ABCD为菱形，所以CDAB，又EFAB，所以CDEF，又ABCD2EF，所以EFCD，所以OMEF，且OMEF，所以四边形OMFE为平行四边形，所以MFOE.又OE平面BDE，MF平面BDE，所以MF平面BDE.(2)由(1)得FM平面BDE，所以点F到平面BDE的距离等于点M到平面BDE的距离取AD的中点H，连接EH，BH，因为EAED，四边形ABCD为菱形，且DAB60，所以EHAD，BHAD.因为平面ADE平面ABCD，平面ADE平面ABCDAD，EH平面ADE，所以EH平面ABCD，所以EHBH，易得EHBH，所以BE，所以SBDE.设点F到平面BDE的距离为h，连接DM，则SBDMSBCD4，连接EM，由V三棱锥EBDMV三棱锥MBDE，得h，解得h，即点F到平面BDE的距离为.1(2018全国卷)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为()A. B.C.D.A记该正方体为ABCDABCD，正方体的每条棱所在直线与平面所成的角都相等，即共点的三条棱AA，AB，AD与平面所成的角都相等如图，连接AB，AD，BD，因为三棱锥AABD是正三棱锥，所以AA，AB，AD与平面ABD所成的角都相等分别取CD，BC，BB，AB，AD，DD的中点E，F，G，H，I，J，连接EF，FG，GH，IH，IJ，JE，易得E，F，G，H，I，J六点共面，平面EFGHIJ与平面ABD平行，且截正方体所得截面的面积最大又EFFGGHIHIJJE，所以该正六边形的面积为62，所以截此正方体所得截面面积的最大值为，故选A.2如图1，在直角梯形ABCD中，ABCD，ABBC，AB2CD，DEAB，沿DE将AED折起到A1ED的位置，连接A1B，A1C，M，N分别为A1C，BE的中点，如图2.图1图2(1)求证：DEA1B；(2)求证：MN平面A1ED；(3)在棱A1B上是否存在一点G，使得EG平面A1BC？若存在，求出的值；若不存在，说明理由解(1)证明：在直角梯形ABCD中，ABCD，ABBC，AB2CD，DEAB，沿DE将AED折起到A1ED的位置，DEA1E，DEBE，A1EBEE，DE平面A1BE，A1B平面A1BE，DEA1B.(2)证明：取CD中点F，连接NF，MF，M，N分别为A1C，BE的中点，MFA1D，NFDE，又DEA1DD，NFMFF，DE平面A1DE，A1D平面A1DE，NF平面MNF，MF平面MNF.平面A1DE平面MNF，MN平面A1ED.(3)取A1B的中点G，连接EG，A1EBE，EGA1B，由(1)知DE平面A1BE，DEBC，BC平面A1BE，EGBC，又A1BBCB，EG平面A1BC.故棱A1B上存在中点G，使得EG平面A1BC，此时1.