相似三角形复习课.doc

相似三角形复习课一. 本周教学内容：    相似三角形和相似三角形的判定。学习目标：  1. 理解相似三角形和相似比的概念，会找相似三角形的对应边和对应角；  2. 掌握两个三角形相似的判定定理，理解定理的证明方法，并且会用定理来解决问题；  3. 会用尺规作两个三角形相似  4. 进一步学习和体会用分析法、代换法（换比、换积、换线段）解决有关相似三角形的问题 重点：  1. 相似三角形概念的理解和应用  2. 三角形相似的判定定理及应用难点：  1. 有关三角形相似的判定定理的证明  2. 灵活运用判定定理，判定两三角形相似 二、主要知识点分析  1. 相似三角形对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，它们对应边的比叫做相似比。    如图：若    ，若AB：AB=BC：BC=AC：AC=1：2，那么ABC与ABC的相似比，ABC与ABC的相似比。  2. ABC与ABC的相似比R1和ABC与ABC的相似比R2有关系：R1R2=1，当且仅当全等时有R1=R2=1。  3. 相似三角形的判定定理    （1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。    如图：ADEABC    （2）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似    （3）两角对应相等的两个三角形相似    （4）两边对应成比例，且其夹角相等的两个三角形相似    （5）三边对应成比例的两个三角形相似    （6）一条直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似  3. 寻找相似三角形中的对应元素    （1）对顶角一定是对应角    （2）公共角一定是对应角，最大或最小角一定是对应角    （3）对应角所对的边一定是对应边    （4）对应边所对的角一定是对应角，对应边所夹的角一定是对应角 三、典型例题分析：    例1：如图，ABCDCA，ADBC，B=DCA    （1）写出对应边的比例式    （2）写出所有相等的角    （3）若AB = 10，BC= 13，CA = 8，求AD、DC    分析：由ABCDCA及其他条件找出对应边和对应角，再由比例式求出AD、DC。    解：（1）    （2）ABC=DCA，DAC=BCA，BAC=D。    （3）        例2：已知：如图，直线BE、DC交于A，E=C，求证    分析：欲证等积式，先化为比例式，而比例式由三角形相似可得，另外，此题找对应角的特殊方法是对顶角相等。    证明：在ADE和ABC中    E=C，DAE=BAC    ADEABC(两角对应相等，两三角形相似）            例3：ABC中，AB=AC，D为BC上一点，E、F分别在AB、AC上，BDE=CFD，求证：    分析：欲证等积式先化为比例式，然后找相似三角形，再找出比例式。    证明：在EBD和FDC中，B=C，BDE=CFD，    EBDDCF            例4：已知：如图，在四边形ABCD中，B=ACD，AB=6，BC=4，AC=5，求：AD的长。    分析：由已知一对对应角相等及四条边长，猜想应选用“两边对应成比例得夹角相等”来求解，计算得出，再结合B=ACD，证明ABCDCA，再由相似得出关于AD的比例式，从而求出AD的长。    解：AB=6，BC=4，AC=5，CD=，            又B=ACD    ABCDCA，            例5：已知：如图，在正方形ABCD中，E、F分别为DC、BC边上两点，E为DC中点，BF=3FC，求证：AE=2EF。    分析：由正方形可知D=C，再由E为中点和BF=3FC得出可证得ADEECF，于是得到比例式，可得AE=2EF。    证明：四边形ABCD为正方形    D=C，BC=DC=AD，E为DC中点，    DE=EC    又BF=3FC    BC=4FC        ADEECF        AE=2EF    例6：已知：如图，ACBD，垂足为C，    求证：（1）DFAB，（2）    分析：由已知得到比例式发现这四条线段分别为RtABC和RtDEC的斜边和直角边，因此由直角三角形相似的判定定理得到ABCDEC，再进一步证明所要结论。    证明：（1）        又ACBD，ECD=ACB=Rt,    RtABCRtDEC，    A=D，    又AEF=CED    DECAEF    AFE=DCE=Rt    DFAB    （2）在AEF和DBF中    A=D，AFE=DFB=Rt,    RtAEFRtDBF            小结：此类题的典型思路，见等积化比例，去证他们所在两个三角形相似，而证得ABCDEC，提供了第二次相似证明RtAEFRtDBF所需的对应角相等。像这种需证明两次相似的题目可采用“两头凑”的方法。    例7：已知：如图，ABC中，AB=AC，D、E分别是AB和AB延长线上的点，2=3，求证：AB是AD和AE的比例中项。    分析：此题适合运用分析法探求解题方向，欲证AB，AD，AE在同一条直线上，而且无法用三角形一边的平行线的性质，故需将其中一条代换到其他位置，而由AB=AC，只需证，它们又分别在ACD和AEC中，故设法证ACDAEC，又A=A，因此只需再证一对角相等即可。    证明：AB=AC           1+2=ABC    又ABC=3+E      1+2=3+E    又2=3              1=E    又A=A             ACDAEC            又AC=AB                  即AB是AD和AE的比例中项。    例8：如图，ABC中，AB=AC，ADBC于D，DEAC于E，M为DE中点，AM与BE交于N，AD与BE交于F。    求证：（1）    （2）BCEADM    （3）AMBE。    分析：此题有三个结论，通常在证明后面的结论时要用到前面已证明的结论，第一小问可由证ADCDEC得出，第二问可用夹角相等，夹角两边成比例证ADMBCE，第三问由前两问的结论得出。    证明：（1）ADC与DEC中，ADC=CED=Rt，C=C    ADCDEC        （2），且BC=2DC，DE=2DM            在ADM与BCE中        ADMBCE    （3）ADMBCE    CBE=DAM    又AFN=BFD    ANF=BDA=Rt    BEAM 【模拟试题】（一）选择  1. 下列判断正确的是（   ）    A）任意两个等腰三角形都相似    B）任意两个直角三角形都相似    C）有一个角相等且有两边对应成比例的两三角形相似    D）任意两个等腰直角三角形都相似  2. ABCDEF，若ABC三边长为，2，DEF的两边长为1和，则第三边是（   ）      3. 如图，ABDE，AFC=E，则BC：AC等于（   ）    A）AC：CE        B）CD：AC    C）AC：CD        D）AC：CF  4. 若三角形三边之比为3：4：5，与它相似的另一三角形最短边为6cm，则这个三角形周长为（   ）    A）12cm     B)18cm    C)24cm    D)30cm  （二）填空：  1. RtABC中，CD是斜边AB上高，DEAC于E，在这个图中共有相似三角形_对。  2. RtABC中，CD是斜边AB上高，若CD=6，BD=3，则AD=_，AC=_，BC=_。  3. 若，则_。  4. 四边形ABCD是平行四边形，CE交BD于F，_。 （三）证明  1. 如图：ABC是正三角形，DAE=120°，求证：。  2. 如图，ABC中，BAC=90°，ADBC，E是AC中点，ED交AB延长线于F。求证：。  3. ABC中，A=90°，ADBC于D，M是AD中点，延长BM交AC于E，过E作EFBC于F，求证：。【试题答案】（一）1. D    2. B    3. D    4. C（二）1.  10 对，    RtAEDRtDECRtADCRtCDBRtACB    共组成10对  2. AD= 12 ，AC=，BC=。  3. 18，      4.  （三）1. 提示：欲证的等积式化为比例式    比例式中的线段分别是ABD，AED的边    由ABD=EAD=120°，ADB=ADE    证得ABDEAD。  2. 证明：BAC=FAD+DAC=90°    ADBC，DAC+C=90°    C=FAD，    ADBCAB        又ED=EC，C=EDC    而EDC=FDB    FDB=FAD    又F=F    FDBFAD        由（1）（2）得  3. 分别延长BA、FE交于Q，构造相似三角形AEQ与CEF，    证明：延长BA、FE交于Q    ADBC，QFBC，ADQF    又M为AD中点，E是QF中点，而QE=EF，RtEFC和RtEAQ中，CEF=QEA    EFCEAQ