2019届高考数学大一轮复习讲义：第七章　不等式 第3讲　基本不等式及其应用.3 .doc

7.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题最新考纲考情考向分析1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元一次线性规划问题，并能加以解决.以画二元一次不等式(组)表示的平面区域、目标函数最值的求法为主，兼顾由最优解(可行域)情况确定参数的范围，以及简单线性规划问题的实际应用，加强转化与化归和数形结合思想的应用意识本节内容在高考中以选择、填空题的形式进行考查，难度中低档.1二元一次不等式表示的平面区域一般地，直线l：axbyc0把直角坐标平面分成了三个部分：(1)直线l上的点(x，y)的坐标满足axbyc0；(2)直线l一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足axbyc>0；(3)直线l另一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足axbyc<0.所以，只需在直线l的某一侧的平面区域内，任取一特殊点(x0，y0)，从ax0by0c值的正负，即可判断不等式表示的平面区域2线性规划相关概念名称意义约束条件由变量x，y组成的一次不等式线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值的函数线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题3.重要结论画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证知识拓展1利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域对于AxByC>0或AxByC<0，则有(1)当B(AxByC)>0时，区域为直线AxByC0的上方；(2)当B(AxByC)<0时，区域为直线AxByC0的下方2最优解和可行解的关系最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集()(2)不等式AxByC>0表示的平面区域一定在直线AxByC0的上方()(3)点(x1，y1)，(x2，y2)在直线AxByC0同侧的充要条件是(Ax1By1C)(Ax2By2C)>0，异侧的充要条件是(Ax1By1C)(Ax2By2C)<0.()(4)第二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy<0表示()(5)线性目标函数的最优解是唯一的()(6)最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解()(7)目标函数zaxby(b0)中，z的几何意义是直线axbyz0在y轴上的截距()题组二教材改编2不等式组表示的平面区域是()答案B解析x3y60表示直线x3y60及其右下方部分，xy2<0表示直线xy20的左上方部分，故不等式组表示的平面区域为选项B中的阴影部分3投资生产A产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米现某单位可使用资金1 400万元，场地900平方米，则上述要求可用不等式组表示为_(用x，y分别表示生产A，B产品的吨数，x和y的单位是百吨)答案解析用表格列出各数据AB总数产品吨数xy资金200x300y1 400场地200x100y900所以不难看出，x0，y0,200x300y1 400,200x100y900.题组三易错自纠4下列各点中，不在xy10表示的平面区域内的是()A(0,0) B(1,1)C(1,3) D(2，3)答案C解析把各点的坐标代入可得(1,3)不适合，故选C.5(2017日照一模)已知变量x，y满足则z()2xy的最大值为()A.B2C2 D4答案D解析作出满足不等式组的平面区域，如图阴影部分所示，令m2xy，则当m取得最大值时，z()2xy取得最大值由图知直线m2xy经过点A(1,2)时，m取得最大值，所以zmax()2124，故选D.6已知x，y满足若使得zaxy取最大值的点(x，y)有无数个，则a的值为_答案1解析先根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，当直线zaxy和直线AB重合时，z取得最大值的点(x，y)有无数个，akAB1，a1.题型一二元一次不等式(组)表示的平面区域命题点1不含参数的平面区域问题典例 (2017黄冈模拟)在平面直角坐标系中，已知平面区域A(x，y)|xy1，且x0，y0，则平面区域B(xy，xy)|(x，y)A的面积为()A2 B1 C. D.答案B解析对于集合B，令mxy，nxy，则x，y，由于(x，y)A，所以即因此平面区域B的面积即为不等式组所对应的平面区域(阴影部分)的面积，画出图形可知，该平面区域的面积为21，故选B.命题点2含参数的平面区域问题典例若不等式组表示的平面区域的形状是三角形，则a的取值范围是()AaB0<a1C1aD0<a1或a答案D解析作出不等式组表示的平面区域(如图中阴影部分所示)由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需动直线l：xya在l1，l2之间(包含l2，不包含l1)或l3上方(包含l3)故选D.思维升华 (1)求平面区域的面积对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形，分别求解再求和即可(2)利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法求解跟踪训练 (1)不等式(x2y1)(xy3)0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的()答案C解析由(x2y1)(xy3)0，可得或画出平面区域后，只有选项C符合题意(2)已知约束条件表示面积为1的直角三角形区域，则实数k的值为()A1 B1 C0 D2答案A解析由于x1与xy40不可能垂直，所以只有可能xy40与kxy0垂直或x1与kxy0垂直当xy40与kxy0垂直时，k1，检验知三角形区域面积为1，即符合要求当x1与kxy0垂直时，k0，检验不符合要求题型二求目标函数的最值问题命题点1求线性目标函数的最值典例(2017全国)设x，y满足约束条件则z2xy的最小值是()A15 B9 C1 D9答案A解析不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示将目标函数z2xy化为y2xz，作出直线y2x，并平移该直线知，当直线y2xz经过点A(6，3)时，z有最小值，且zmin2(6)315.故选A.命题点2求非线性目标函数的最值典例(2016山东)若变量x，y满足则x2y2的最大值是()A4 B9 C10 D12答案C解析满足条件的可行域如图阴影部分(包括边界)所示，x2y2是可行域上动点(x，y)到原点(0,0)距离的平方，显然，当x3，y1时，x2y2取得最大值，最大值为10.故选C.命题点3求参数值或取值范围典例 (2018届广雅中学、东华中学等联考)已知实数x，y满足若zxmy(m>0)的最大值为4，则zxmy(m>0)的最小值为_答案6解析作出可行域如图阴影部分所示目标函数化简得yx，因为m>0，故只可能在A，B处取最大值联立解得B(2，2)，联立解得C(0,2)，联立解得A(2,0)，若目标函数zxmy(m>0)过点A，z2不符合题意，所以过点B时取得最大值，此时422m，解得m3，zxmy(m>0)过点C时，zmin6.思维升华 (1)先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值(2)当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义有表示点(x，y)与原点(0,0)的距离，表示点(x，y)与点(a，b)的距离；表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率，表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率(3)当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足的条件跟踪训练 (1)已知实数x，y满足约束条件则z的取值范围为()A.B.C.D.答案B解析不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，z表示点D(2,3)与平面区域内的点(x，y)之间连线的斜率因为点D(2,3)与点B(8,1)连线的斜率为且C的坐标为(2，2)，故由图知，z的取值范围为，故选B.(2)已知x，y满足约束条件若zaxy的最大值为4，则a等于()A3 B2 C2 D3答案B解析根据已知条件，画出可行域，如图阴影部分所示由zaxy，得yaxz，直线的斜率ka.当0<k1，即1a<0时，无选项满足此范围；当k>1，即a<1时，由图形可知此时最优解为点(0,0)，此时z0，不合题意；当1k<0，即0<a1时，无选项满足此范围；当k<1，即a>1时，由图形可知此时最优解为点(2,0)，此时z2a04，得a2.题型三线性规划的实际应用问题典例某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元(1)试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润(元)；(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？解(1)依题意每天生产的伞兵个数为100xy，所以利润5x6y3(100xy)2x3y300.(2)约束条件为整理得目标函数为2x3y300，作出可行域，如图阴影部分所示，作初始直线l0：2x3y0，平移l0，当l0经过点A时，有最大值，由得最优解为A(50,50)，此时max550元故每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，且最大利润为550元思维升华解线性规划应用问题的一般步骤(1)审题：仔细阅读材料，抓住关键，准确理解题意，明确有哪些限制条件，借助表格或图形理清变量之间的关系(2)设元：设问题中起关键作用(或关联较多)的量为未知量x，y，并列出相应的不等式组和目标函数(3)作图：准确作出可行域，平移找点(最优解)(4)求解：代入目标函数求解(最大值或最小值)(5)检验：根据结果，检验反馈跟踪训练 (2016全国)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为_元答案216 000解析设生产A产品x件，B产品y件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，得线性约束条件为目标函数z2 100x900y.作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)，在(60,100)处取得最大值，zmax2 10060900100216 000(元)线性规划问题考点分析线性规划是高考重点考查的一个知识点这类问题一般有三类：目标函数是线性的；目标函数是非线性的；已知最优解求参数，处理时要注意搞清是哪种类型，利用数形结合解决问题典例若实数x，y满足约束条件则z2xy的取值范围是()A3,4 B3,12C3,9 D4,9答案C解析画出表示的可行域(如图阴影部分所示)，由得A(1,1)，由得B(3,3)，平移直线y2xz，当直线经过A，B时分别取得最小值3，最大值9，故z2xy的取值范围是3,9，故选C.1下列二元一次不等式组可表示图中阴影部分平面区域的是()A.B.C.D.答案C解析将原点坐标(0,0)代入2xy2，得2>0，于是2xy20所表示的平面区域在直线2xy20的右下方，结合所给图形可知C正确2(2018届贵州黔东南州联考)已知实数x，y满足则z3x4y3的取值范围是()A.B.C.D(3,13)答案A解析画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示由z3x4y3，得yx，平移直线yx，当经过点A(2，1)，B时，z的取值为13，所以z，故选A.3直线2xy100与不等式组表示的平面区域的公共点有()A0个 B1个 C2个 D无数个答案B解析由不等式组画出可行域的平面区域如图阴影部分所示直线2xy100恰过点A(5,0)，且其斜率k2<kAB，即直线2xy100与平面区域仅有一个公共点A(5,0)4若不等式组表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为()A3 B1 C. D3答案B解析不等式组表示的平面区域如图阴影部分，则图中A点纵坐标yA1m，B点纵坐标yB，C点横坐标xC2m，SABDSACDSBCD(22m)(1m)(22m)，m1或m3，又当m3时，不满足题意，应舍去，m1.5某公司生产甲、乙两种桶装产品已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是()A1 800元 B2 400元 C2 800元 D3 100元答案C解析设每天生产甲种产品x桶，乙种产品y桶，则根据题意得x，y满足的约束条件为设获利z元，则z300x400y.画出可行域如图阴影部分画出直线l：300x400y0，即3x4y0.平移直线l，从图中可知，当直线l过点M时，目标函数取得最大值由解得即M的坐标为(4,4)，zmax300440042 800(元)故选C.6(2018枣庄月考)已知实数x，y满足约束条件则的最小值是()A2 B2 C1 D1答案D解析作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分所示，的几何意义是区域内的点P(x，y)与定点A(0，1)所在直线的斜率，由图像可知当P位于点D(1,0)时，直线AP的斜率最小，此时的最小值为1.故选D.7(2017开封一模)若x，y满足约束条件且目标函数zax2y仅在点(1,0)处取得最小值，则a的取值范围是()A4,2 B(4,2) C4,1 D(4,1)答案B解析作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，直线zax2y的斜率为k，从图中可看出，当1<<2，即4<a<2时，仅在点(1,0)处取得最小值，故选B.8(2017河北“五个一名校联盟”质检)已知点P的坐标(x，y)满足过点P的直线l与圆C：x2y214相交于A，B两点，则|AB|的最小值是_答案4解析根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，设点P到圆心的距离为d，则求最短弦长，等价于求到圆心的距离d最大的点，即为图中的P点，其坐标为(1,3)，则d，此时|AB|min24.9(2017全国)若x，y满足约束条件则z3x4y的最小值为_答案1解析不等式组表示的可行域如图阴影部分所示由z3x4y，得yxz.平移直线yx，易知经过点A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值由得A(1,1)zmin341.10(2018广州模拟)若满足不等式组的点(x，y)组成的图形的面积是5，则实数a的值为_答案3解析不等式组化为或画出平面区域如图所示，平面区域为ABC，ADE，A(1,2)，B(a，a1)，C(a,3a)，面积为S(2a2)(a1)215，解得a3或a1(舍去)11(2017衡水中学月考)若直线y2x上存在点(x，y)满足约束条件则实数m的最大值为_答案1解析约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示当直线xm从如图所示的实线位置运动到过A点的虚线位置时，m取最大值解方程组得A点坐标为(1,2)m的最大值为1.12(2018届江苏横林高级中学模拟)已知x，y满足不等式组则zx2y22x2y2的最小值为_答案2解析画出二元一次不等式组所表示的平面区域(阴影部分所示)，目标函数zx2y22x2y2(x1)2(y1)2表示可行域内一点到点A(1,1)的距离的平方，根据图像可以看出，点A(1,1)到可行域内一点距离的最小值为点A(1,1)到直线xy0的距离d，则d22，则zx2y22x2y2的最小值为2.13(2017石家庄二模)在平面直角坐标系中，不等式组(r为常数)表示的平面区域的面积为，若x，y满足上述约束条件，则z的最小值为()A1 BC.D答案D解析作出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示，由题意，知r2，解得r2.z1，易知表示可行域内的点(x，y)与点P(3,2)的连线的斜率，由图可知，当点(x，y)与点P的连线与圆x2y2r2相切时斜率最小设切线方程为y2k(x3)，即kxy3k20，则有2，解得k或k0(舍)，所以zmin1，故选D.14(2018届衡水联考)已知x，y满足约束条件其中t>，若sin(xy)的最大值与最小值分别为1，则实数t的取值范围为_答案解析作出可行域如图阴影部分所示，设zxy，作出直线l：xyz，当直线l过点B时，z取得最小值；当直线l过点A时，z取得最大值t.即xyt，当xy时，sin(xy)1.当xy或时，sin(xy).所以t，解得t.15已知f(m)(3m1)ab2m，当m0,1时，f(m)1恒成立，则ab的最大值是_答案解析f(m)(3m1)ab2m(3a2)mab，当m0,1时，f(m)1恒成立，即画出不等式组表示的可行域如图阴影部分，由解得所以点A的坐标为.令zab，则baz，由图可知，当直线baz过点A时，直线在y轴上的截距最大，即z有最大值，且zmax，即ab的最大值是.16(2017湖北七市联考)已知实数x，y满足则的最小值为_答案解析不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，表示可行域内的点(x，y)与原点连线的斜率，设k，由可行域可知，k取得最小值时曲线yx4与直线ykx相切，设此时切点为P(x0，y0)，由yx4，可得yx3，所以切线方程为yy0x(xx0)，又y0x，所以切线方程可化为yxxxx，即yxxx，又该切线过原点O(0,0)，所以x1，所以x01，切线的斜率为x，则min.