2019大一轮高考总复习文数（北师大版）讲义：第2章 第04节 二次函数与幂函数 .doc

第四节二次函数与幂函数考点高考试题考查内容核心素养二次函数未单独考查幂函数 2016全国卷T75分比较大小逻辑推理直观想象2014全国卷T155分解不等式逻辑推理命题分析二次函数的图像与应用是高考热点，注重考查图像与性质的灵活运用；而幂函数一般不单独命题，常与指数、对数函数交汇命题.1幂函数(1)定义：如果一个函数，底数是自变量x，指数是常数，即yx，这样的函数称为幂函数常见的五类幂函数为yx，yx2，yx3，yx，yx1.(2)性质幂函数在(0，)上都有定义当>0时，幂函数的图像都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，)上单调递增当<0时，幂函数的图像都过点(1,1)，且在(0，)上单调递减2二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)ax2bxc(a0)顶点式：f(x)ya(xh)2k(a0)零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)(2)二次函数的图像和性质解析式f(x)ax2bxc(a>0)f(x)ax2bxc(a<0)图像 定义域(，)(，)值域单调性在x上单调递减；在x上单调递增在x上单调递增；在x上单调递减对称性函数的图像关于x对称提醒：辨明两个易误点(1)对于函数yax2bxc，要认为它是二次函数，就必须满足a0，当题目条件中未说明a0时，就要讨论a0和a0两种情况(2)幂函数的图像一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图像最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图像与坐标轴相交，则交点一定是原点1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)幂函数的图像都经过点(1,1)和(0,0)()(2)幂函数的图像不经过第四象限()(3)二次函数yax2bxc(xR)，不可能是偶函数()(4)二次函数yax2bxc，xa，b的最值一定是. ()(5)当<0时，幂函数yx是定义域上的减函数()答案：(1)(2)(3)(4)(5)2(2018济南诊断)已知幂函数f(x)kx的图像过点，则k()AB1CD2解析：选C由幂函数的定义知k1.又f，所以，解得，从而k.3设，则使函数yx的定义域为R且为奇函数的所有值为()A1,3B1,1C1,3D1,1,3解析：选A1,1,3时幂函数为奇函数，当1时定义域不是R，所以1,3，故选A4(教材习题改编)已知函数f(x)ax2x5的图像在x轴上方，则a的取值范围是()ABCD解析：选C由题意知即得a.5(2018宜昌模拟)二次函数的图像过点(0,1)，对称轴为x2，最小值为1，则它的解析式为_解析：依题意可设f(x)a(x2)21，又其图像过点(0,1)，4a11，a.f(x)(x2)21.答案：f(x)(x2)21幂函数的图像与性质明技法幂函数的图像特征(1)对于幂函数图像的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x1，y1，yx所分区域根据<0,0<<1，1，>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较提能力【典例】 (1)(2018威海检测)幂函数yf(x)的图像过点(4,2)，则幂函数yf(x)的图像是()(2)(2016全国卷)已知a2，b4，c25，则()AbacBabcCbcaDcab解析：(1)选C设幂函数的解析式为yx，幂函数yf(x)的图像过点(4,2)，24，解得.y，其定义域为0，)，且是增函数，当0x1时，其图像在直线yx的上方，对照选项，故选C(2)选A因为a216，b416，c25，且幂函数yx在R上单调递增，指数函数y16x在R上单调递增，所以bac.刷好题1(金榜原创)已知幂函数f(x)(n22n2)xn23n(nZ)在(0，)上是减函数，则n的值为()A3B1C2D1或2解析：选B由于f(x)为幂函数，所以n22n21，解得n1或n3.当n1时，f(x)x2在(0，)上是减函数；当n3时，f(x)x18在(0，)上是增函数故n1符合题意，应选B2(2018晋中模拟)若(a1)<(32a)，则实数a的取值范围是_解析：不等式(a1)<(32a)等价于a1>32a>0或32a<a1<0或a1032a.解得a<1或<a<.答案：(，1)求二次函数的解析式明技法求二次函数解析式的方法提能力【典例】 已知二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式解：方法一(利用顶点式)：设f(x)a(xm)2n.f(2)f(1)，抛物线的图像的对称轴为x，m.又根据题意函数有最大值8，n8，yf(x)a28.f(2)1，a281，解得a4，f(x)4284x24x7.方法二(利用零点式)：由已知f(x)10的两根为x12，x21，故可设f(x)1a(x2)(x1)，即f(x)ax2ax2a1.又函数的最大值是8，即8.解得a4，所求函数的解析式为f(x)4x24x7.方法三(利用一般式)设f(x)ax2bxc(a0)由题意得解得所求二次函数为f(x)4x24x7.刷好题(2018安庆月考)已知二次函数图像的对称轴为x，截 x轴所得的弦长为4，且过点(0，1)，求函数的解析式解：因为二次函数图像的对称轴为x，所以可设所求函数的解析式为f(x)a(x)2b.因为二次函数f(x)的图像截x轴所得的弦长为4，所以f(x)过点(2,0)和(2,0)又二次函数f(x)的图像过点(0，1)，所以解得所以f(x)(x)22x2x1.二次函数的图像与性质析考情高考对二次函数图像与性质进行单独考查的频率较低二次函数的图像与性质和一元二次方程、一元二次不等式等知识交汇命题是高考的热点提能力命题点1：二次函数图像的识别与应用【典例1】 已知函数f(x)x2mx1，若对于任意xm，m1，都有f(x)0成立，则实数m的取值范围是_解析：作出二次函数f(x)的图像，对于任意xm，m1，都有f(x)0，则有即解得m0.答案：m0命题点2：二次函数的最值【典例2】已知函数f(x)x22ax1a在x0,1时有最大值2，求a的值解：函数f(x)x22ax1a(xa)2a2a1，对称轴方程为xa.当a<0时，f(x)maxf(0)1a，1a2，a1.当0a1时，f(x)maxf(a)a2a1，a2a12，即a2a10，a(舍去)当a>1时，f(x)maxf(1)a，a2.综上可知，a1或a2.命题点3：与二次函数有关的恒成立问题【典例3】 已知a是实数，函数f(x)2ax22x3在x1,1上恒小于零，求实数a的取值范围解：2ax22x30在1,1上恒成立当x0时，适合；当x0时，a2，因为(，11，)，当x1时，右边取最小值，所以a.综上，实数a的取值范围是.悟技法1二次函数最值问题应抓住“三点一轴”数形结合求解，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，用函数的单调性及分类讨论的思想即可完成2由不等式恒成立求参数的取值范围，常用分离参数法，转化为求函数最值问题，其依据是af(x)af(x)max，af(x)af(x)min.刷好题1(2018芜湖质检)设abc0，则二次函数f(x)ax2bxc的图像可能是()解析：选D由A，C，D知，f(0)c0.abc0，ab0，对称轴x0，知A，C错误，D符合要求由B知f(0)c0，ab0，x0，B错误2设函数yx22x，x2，a，若函数的最小值为g(x)，求g(x)解：函数yx22x(x1)21，对称轴为直线x1，当2<a1时，函数在2，a上单调递减，则当xa时，y取得最小值，即ymina22a；当a>1时，函数在2,1上单调递减，在1，a上单调递增，则当x1时，y取得最小值，即ymin1.综上，g(x)