2018年数学同步优化指导（北师大版选修2-2）练习：第3章 2.2 最大值、最小值问题 活页作业14 .doc

活页作业(十四)最大值、最小值问题1已知函数yx22x3在a,2上的最大值为，则a等于()ABCD或解析：对y求导得y2x2.令y0，得x1.当a1时，最大值为f(1)4，不合题意当1<a<2时，f(x)在a,2上是减少的，最大值为f(a)a22a3，解得a或a(舍去)答案：C2f(x)x33x22在区间1,1上的最大值是()A2B0C2D4解析：对y求导得f(x)3x26x3x(x2)令f(x)0可得x0或x2(舍去)，当1x<0时，f(x)>0；当0<x1时，f(x)<0.所以当x0时，f(x)取得最大值为2.答案：C3要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高为()A cmB cmC cmD cm解析：设圆锥的高为x cm，则底面半径为cm，其体积为Vx(202x2)(0<x<20)，V(4003x2)，令V0，解得x1，x2(舍去)当0<x<时，V>0；当<x<20时，V<0.当x时，V取最大值答案：D4已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为yx381x234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为()A13万件B11万件C9万件D7万件解析：x>0，yx281(9x)(9x)，令y0，解得x9.x(0,9)时，y>0；x(9，)时，y<0.x9时函数取得最大值答案：C5用长为18 m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为21，则该长方体的最大体积为()A2 m3B3 m3C4 m3D5 m3解析：设长方体的宽为x m，则长为2x m，高为h(4.53x)m.长方体的体积为V(x)2x2(4.53x)9x26x3.V(x)18x18x218x(1x)令V(x)0，解得x1或x0(舍去)当0<x<1时，V(x)>0；当1<x<时，V(x)<0.在x1处V(x)取得极大值，并且这个极大值就是V(x)的最大值最大体积VmaxV(1)9126133(m3)答案：B6f(x)x312x8在3,3上的最大值为M，最小值为m，则Mm_.解析：f(x)3x212.由f(x)>0，得x>2或x<2；由f(x)<0，得2<x<2.f(x)在3，2上是增加的，在2,2上是减少的，在2,3上是增加的又f(3)17，f(2)24，f(2)8，f(3)1，最大值M24，最小值m8.Mm24(8)32.答案：327在半径为r的圆内，作内接等腰三角形，当底边上的高为_时，它的面积最大解析：如右图，设OBC，则0<<，ODrsin ，BDrcos .SABCrcos (rrsin )r2cos r2sin cos .令SABCr2sin r2(cos2sin2)0，得cos 2sin .又0<<，.即当时，ABC的面积最大高为OAODr时面积最大答案：8函数yx2cos x在区间上的最大值是_解析：对f(x)求导得f(x)12sin x.由f(x)0，得x.在上，f(x)0，在上，f(x)0.在x处f(x)取到极大值也是最大值f.答案：9已知函数f(x)x2ln xax，aR.(1)当a1时，求f(x)的最小值；(2)若f(x)>x，求a的取值范围解：(1)当a1时，f(x)x2ln xx，f(x).当x(0,1)时，f(x)<0；当x(1，)时，f(x)>0.f(x)的最小值为f(1)0.(2)由f(x)>x，得f (x)xx2ln x(a1)x>0.x>0，f(x)>x等价于x>a1.令g(x)x，则g(x).当x(0,1)时，g(x)<0；当x(1，)时，g(x)>0.g(x)有最小值g(1)1.a1<1，即a的取值范围是(，0)10某网球中心欲建连成片的网球场数块，用128万元购买土地10 000 m2，该中心每块球场的建设面积为1 000 m2，球场每平方米的平均建设费用与球场数有关，当该中心建球场x块时，每平方米的平均建设费用(单位：元)可近似地用f(x)800来刻画为了使该球场每平方米的综合费用最省(综合费用是建设费用与购地费用之和)，该网球中心应建几块球场？解：设建成x个球场，则1x10，每平方米的购地费用为元每平方米的平均建设费用(单位：元)可近似地用f(x)800来表示，每平方米的综合费用为g(x)f(x)800160ln x(x>0)，g(x)(x>0)令g(x)0，则x8.当0<x<8时，g(x)<0；当x>8时，g(x)>0.当x8时，函数取得极小值，且为最小值故当建成8块球场时，每平方米的综合费用最省11某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量x(t)与每吨产品的价格P(元/t)之间的关系式为P24 200x2，且生产x t的成本为C50 000200x(元)，则月产量为多少t时，利润达到最大值？()A100B160C200D240解析：根据题意，列出函数关系式，求导求解每月生产x t时的利润为f(x)x(50 000200x)x324 000x50 000(x0)令f(x)x224 0000，解得x1200，x2200(舍去)f(x)在0，)内只有一个点x200使f(x)0，它就是最大值点，且最大值为f(200)200324 00020050 0003 150 000(元)每月生产200 t产品时利润达到最大，最大利润为315万元答案：C12容积为256的方底无盖水箱，它的高为_时用料最省解析：设方底无盖水箱的底面边长为a，高为h，则Va2h256，即h.用料最省，即表面积最小，由题意列式如下：S表S底S侧a24aha24aa2S2a.令S0，即2a0，解得a8.当0<a<8时，S<0；当a>8时，S>0.当a8时，S表取得极小值，也是最小值h4.答案：413函数f(x)536x3x24x3在区间2，)上的最大值为_，最小值为_解析：f(x)366x12x2，令f(x)0，解得x12，x2.当x>时，f(x)是增加的；当2x时，f(x)是减少的在2，)上无最大值又f28，最小值为28.答案：不存在2814函数f(x)，当6x8时的最大值为_，最小值为_解析：f(x)，令f(x)0，得x0.又f(6)8，f(0)10，f(8)6.f(x)min6，f(x)max10.答案：10615已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元，设该公司一年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每销售1千件的收入为R(x)万元，且R(x)(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数关系式；(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大？解：(1)当0<x10时，WxR(x)(102.7x)8.1x10；当x>10时，WxR(x)(102.7x)982.7x.W(2)当0<x10时，令W8.10，得x9.且x(0,9)时，W>0；x(9,10)时，W<0.当x9时，W取极大值，也是最大值，且Wmax8.19931038.6；当x>10时，令W2.70，得x.当x时，W>0；当x时，W<0.当x时，W取极大值，也是最大值，且Wmax982.738.综上可知，x9时，W有最大值38.6，即年产量为9千件时，该公司所获年利润最大16已知函数f(x)ax21(a>0)，g(x)x3bx.(1)若曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；(2)当a24b时，求函数f(x)g(x)的单调区间，并求其在区间(，1上的最大值解：(1)由(1，c)为公共切点，f(x)ax21(a>0)，则f(x)2ax，k12a，g(x)x3bx，g(x)3x2b，k23b.2a3b.又f(1)a1，g(1)1b，a11b，即ab，代入式可得(2)a24b，设h(x)f(x)g(x)x3ax2a2x1.h(x)3x22axa2.令h(x)0，解得x1，x2.a>0，<.原函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增当1，即a2时，最大值为h(1)a.当<1<，即2<a<6时，最大值为h1.当1，即a6时，最大值为h1.综上所述：当a(0,2时，最大值为h(1)a；当a(2，)时，最大值为h1.