2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件：专题探究课3数列中的高考热点问题理北.doc

三)数列中的高考热点问题(对应学生用书第90页)命题解读数列在中学数学中既具有独立性，又具有较强的综合性，是初等数学与高等数学的一个重要衔接点，从近五年全国卷高考试题来看，本专题的热点题型有：一是等差、等比数列的综合问题；二是数列的通项与求和；三是数列与函数、不等式的交汇，难度中等等差、等比数列的综合问题解决等差、等比数列的综合问题，关键是理清两种数列的项之间的关系，并注重方程思想的应用，等差(比)数列共涉及五个量a1，an，Sn，d(q)，n，“知三求二”已知等差数列an，公差d2，S1，S2，S4成等比数列(1)求an；(2)令bn(1)n，求bn的前n项和Tn.解(1)S1，S2，S4成等比数列SS1S4，(2a12)2a1解得a11，an12(n1)2n1.(2)bn(1)n(1)n(1)n.当n为偶数时，bn的前n项和Tn1，当n为奇数时，bn的前n项和Tn1.故Tn 规律方法1.若an是等差数列，则ban(b>0，且b1)是等比数列；若an是正项等比数列，则logban(b>0，且b1)是等差数列.2.对等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列项之间的关系，以便实现等差、等比数列之间的相互转化.跟踪训练已知数列an的前n项和为Sn，常数>0，且a1anS1Sn对一切正整数n都成立(1)求数列an的通项公式；(2)设a1>0，100.当n为何值时，数列的前n项和最大？解(1)取n1，得a2S12a1，a1(a12)0.若a10，则Sn0.当n2时，anSnSn1000，所以an0(n1)若a10，则a1.当n2时，2anSn,2an1Sn1，两式相减得2an2an1an，所以an2an1(n2)，从而数列an是等比数列，所以ana12n12n1.综上，当a10时，an0；当a10时，an.(2)当a1>0，且100时，令bnlg，由(1)知，bnlg2nlg 2.所以数列bn是单调递减的等差数列，公差为lg 2.b1>b2>>b6lglg>lg 10，当n7时，bnb7lglg<lg 10.故数列的前6项和最大数列的通项与求和(答题模板)数列的通项与求和是高考的必考题型，求通项属于基本问题，常涉及等差、等比数列的定义、性质、基本量的运算；求和问题关键在于分析通项的结构特征，选择适当的求和方法常考的求和方法有：公式法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法等(本小题满分12分)(2016全国卷)已知an是公差为3的等差数列，数列bn满足b11，b2，anbn1bn1nbn.(1)求an的通项公式；(2)求bn的前n项和规范解答(1)由已知，a1b2b2b1，b11，b2，得a12.3分所以数列an是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为an3n1.5分(2)由(1)知anbn1bn1nbn，得bn1，7分因此bn是首项为1，公比为的等比数列.9分记bn的前n项和为Sn，则Sn.12分阅卷者说易错点防范措施不知道如何求出a1加强赋值法的训练，明确递推式anbn1bn1nbn对任意nN均成立，欲求a1，只需令n1即可不会应用第(1)问的结果事实上，一个解答题设计几问，后一问的解答，应有意识的应用前一问的结果.规律方法若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.首项与公差是等差数列的“基本量”，首项与公比是等比数列的“基本量”.在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法.跟踪训练(2017全国卷)已知等差数列an的前n项和为Sn，等比数列bn的前n项和为Tn，a11，b11，a2b22.(1)若a3b35，求bn的通项公式；(2)若T321，求S3.解设an的公差为d，bn的公比为q，则an1(n1)d，bnqn1.由a2b22得dq3.(1)由a3b35得2dq26.联立和解得(舍去)，因此bn的通项公式为bn2n1.(2)由b11，T321得q2q200.解得q5或q4.当q5时，由得d8，则S321.当q4时，由得d1，则S36.数列与函数、不等式的交汇数列与函数的交汇一般体现在两个方面：一是以数列的特征量n，an，Sn等为坐标的点在函数图像上，可以得到数列的递推关系；二是数列的项或前n项和可以看作关于n的函数，然后利用函数的性质求解数列问题数列与不等式的交汇考查方式主要有三种：一是判断数列中的一些不等关系；二是以数列为载体，考查不等式恒成立问题；三是考查与数列有关的不等式的证明角度1数列与函数的交汇已知数列an的前n项和为Sn，且Sn2n22n.(1)求数列an的通项公式；(2)若点(bn，an)在函数ylog2 x的图像上，求数列bn的前n项和Tn. 【导学号：79140186】解(1)当n2时，anSnSn12n22n2(n1)22(n1)4n，当n1时，a1S1441，所以数列an的通项公式为an4n.(2)由点(bn，an)在函数ylog2 x的图像上得anlog2bn，且an4n，所以bn224n16n，故数列bn是以16为首项，公比为16的等比数列Tn.规律方法解决此类问题要抓住一个中心函数，两个密切联系：一是数列和函数之间的密切联系，数列的通项公式是数列问题的核心，函数的解析式是研究函数问题的基础；二是方程、不等式与函数的联系，利用它们之间的对应关系进行灵活的处理.角度2数列与不等式的交汇(2018东北三省三校二模)已知数列an满足a13，an12ann1，数列bn满足bnann.(1)证明：数列bn为等比数列；(2)若数列cn满足cn，且数列cn的前n项和Tn，求证：Tn.证明(1)an12ann1，an1(n1)2(ann)，即bn12bn.又b1a112，数列bn是以2为首项、2为公比的等比数列(2)由(1)知，bn22n12n，cn.Tn.规律方法解决数列与不等式的综合问题时，如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；如果是解不等式问题要使用不等式的各种不同解法，如列表法、因式分解法等.总之解决这类问题把数列和不等式的知识巧妙结合起来综合处理就行了.跟踪训练设nN，xn是曲线yx2n21在点(1,2)处的切线与x轴交点的横坐标(1)求数列xn的通项公式；(2)记Tnxxx，证明：Tn.解(1)y(x2n21)(2n2)x2n1，曲线yx2n21在点(1,2)处的切线斜率为2n2，从而切线方程为y2(2n2)(x1)令y0，解得切线与x轴交点的横坐标xn1，所以数列xn的通项公式xn.(2)证明：由题设和(1)中的计算结果知，Tnxxx.当n1时，T1.当n2时，因为x2>，所以Tn>.综上可得，对任意的nN，均有Tn.