2019大一轮高考总复习文数（北师大版）讲义：第3章 第01节 导数的概念及运算 .doc

第一节导数的概念及运算考点高考试题考查内容核心素养导数的几何意义2017全国卷T145分求曲线的切线方程数学运算2016全国卷T165分求曲线的切线方程数学运算2015全国卷T145分求曲线的切线方程数学运算2015全国卷T165分求曲线上某点处的切线方程数学运算命题分析高考命题的热点仍然是根据导数的几何意义求切线方程，但命题形式比较灵活，综合性强；导数运算渗透到与导数相关的每一道题中，单独考查的可能性很小以选择题或解答题的某一问呈现，分值约5分.1导数的概念(1)函数f(x)在xx0处的导数定义：称函数yf(x)在x0点的瞬时变化率为函数yf(x)在点x0处的导数，用f(x0)表示，记作f(x0).几何意义函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点(x0，f(x0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)相应地，切线方程为yf(x0)f(x)(xx0)(2)函数f(x)的导函数一般地，如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f(x)：f(x)，则f(x)是关于x的函数，称f(x)为f(x)的导函数，通常也简称为导数2基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)xf(x)x1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)axf(x)axln_a(a0)f(x)exf(x)exf(x)logaxf(x)f(x)ln xf(x)ytan xyycot xy3.导数的运算法则(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0)提醒：辨明三个易误点(1)利用公式求导时要特别注意不要将幂函数的求导公式(x)x1与指数函数的求导公式(ax)axln a混淆(2)求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者(3)曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)f(x0)与f(x)表示的意义相同()(2)求f(x0)时，可先求f(x0)再求f(x0)()(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点，与曲线只有一个公共点的直线不一定是曲线的切线()(4)若f(x)t32txx2，则f(x)3t22x.()(5)曲线 “在点P处的切线”与“过点P的切线”是相同的()答案：(1)(2)(3)(4)(5)2(教材习题改编)已知函数f(x)x3x2，且f(a)2，则a_.解析：f(x)3x21.所以f(a)3a212，得：a.答案：3(教材习题改编)以初速度10 m/s向上抛出一个物体，其上升的高度s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系为s10t5t2，则t s时物体的速度v_，加速度a_.解析：vs1010t，av10.答案：1010t104(2018临沂月考)若函数f(x)，则f(2)_.解析：由f(x)，得f(2).答案：5(广东卷改编)曲线y5ex3在点(0，2)处的切线方程为_解析：因为y|x05e05，所以曲线在点(0，2)处的切线方程为y(2)5(x0)，即5xy20.答案：5xy20导数的运算明技法导数的运算方法(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导提能力【典例】 求下列函数的导数：(1)y(3x24x)(2x1)；(2)yx2sin x；(3)y3xex2xe；(4)y.解：(1)因为y(3x24x)(2x1)6x33x28x24x6x35x24x，所以y18x210x4.(2)y(x2)sin xx2(sin x)2xsin xx2cos x.(3)y(3xex)(2x)e(3x)ex3x(ex)(2x)3xexln 33xex2xln 2(ln 31)(3e)x2xln 2.(4)y.刷好题1(2016天津卷)已知函数f(x)(2x1)ex，f(x)为f(x)的导函数，则f(0)的值为_解析：因为f(x)(2x1)ex，所以f(x)2ex(2x1)ex(2x3)ex，所以f(0)3e03.答案：32(2018烟台模拟)已知函数f(x)axln x，x(0，)，其中a为实数，f(x)为f(x)的导函数若f(1)3，则a的值为_解析：f(x)aa(1ln x)由于f(1)a(1ln 1)a，又f(1)3，所以a3.答案：3导数的几何意义及应用析考情导数的几何意义是高考重点考查的内容， 主要考查求曲线的切线斜率、切线方程或已知曲线的切线斜率、切线方程求参数的值或范围等问题多以小题形式出现，有时也出现在解答题的第一问，分值约5分提能力命题点1：求切线方程【典例1】 (2016全国卷)已知f(x)为偶函数， 当x0时，f(x)ex1x，则曲线yf(x)在点(1,2)处的切线方程是_解析：设x0，则x0，f(x)ex1x.f(x)为偶函数，f(x)f(x)，f(x)ex1x.当x0时，f(x)ex11，f(1)e111112.曲线yf(x)在点(1,2)处的切线方程为y22(x1)，即2xy0.答案： 2xy0命题点2：求切点坐标【典例2】 (2018潍坊检测)设曲线yex在点(0,1)处的切线与曲线y(x0)上点P处的切线垂直，则点P的坐标为_解析：yex的导数为yex，则曲线yex在点(0,1)处的切线斜率k1e01.y(x0)的导数为y(x0)，设P(m，n)，则曲线y(x0)在点P处的切线斜率k2(m0)因为两切线垂直，所以k1k21，所以m1，n1，则点P的坐标为(1,1)答案：(1,1)命题点3：已知切线方程求参数的值【典例3】 (2018大同质检)已知直线yx1与曲线yln(xa)相切，则a的值为()A1B2C1D2解析：选B设直线yx1与曲线yln(xa)的切点为(x0，y0)，则y01x0，y0ln(x0a)又y，所以当xx0时，y1，即x0a1.又y0ln(x0a)，所以y00，则x01，所以a2.悟技法导数几何意义的应用及解法导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：(1)已知切点A(x0，f(x0)求斜率k，即求该点处的导数值：kf(x0)；(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1)，即解方程f(x1)k；(3)已知过某点M(x1，f(x1)(不是切点)的切线斜率为k时，常需设出切点A(x0，f(x0)，利用k求解刷好题1(2015全国卷)已知函数f(x)ax3x1的图像在点(1，f(1)处的切线过点(2,7)，则a_.解析：f(x)3ax21，f(1)3a1，又f(1)a2，所以切线的方程为y(a2)(3a1)(x1)，又切线过点(2,7)，所以7(a2)3a1.即a1.答案：12(2018贵阳模拟)若曲线yxln x上点P 处的切线平行于直线 2xy10，则点P的坐标是_解析：由题意得yln xx1ln x，直线2xy10的斜率为2.设P(m，n)，则1ln m2，解得me，所以neln ee，即点P的坐标为(e，e)答案：(e，e)3(2018武威模拟)经过原点(0,0)作函数f(x)x33x2图像的切线，则切线方程为_解析：f(x)3x26x.当(0,0)为切点时，f(0)0，故切线方程为y0.当(0,0)不为切点时，设切点为P(x0，x3x)，则切线方程为y(x3x)(3x6x0)(xx0)，又点(0,0)在切线上，所以x3x3x6x，解得x00(舍去)或x0，故切线方程为9x4y0.答案：y0或9x4y0