2019大一轮高考总复习文数（北师大版）讲义：第7章 第01节 不等式的性质与一元二次不等式 .doc

第一节不等式的性质与一元二次不等式考点高考试题考查内容核心素养不等式性质未单独考查一元二次不等式未单独考查命题分析本节内容在高考往往与集合、命题、充要条件结合考查，分值约5分.1不等式的基本性质(1)对称性： a>bb<a；(2)传递性：a>b，b>ca>c；(3)可加性：a>bac>bc；a>b，c>dac>bd；(4)可乘性：a>b，c>0ac>bc；a>b>0，c>d>0ac>bd；(5)可乘方性：a>b>0an>bn(nN，n2)；(6)可开方性：a>b>0>(nN，n2)2不等式的一些常用性质(1)倒数的性质：ab，ab0.a0b.ab0,0cd.0axb或axb0.(2)有关分数的性质：若ab0，m0，则；(bm0)；(bm0)3三个“二次”之间的关系判别式b24ac000二次函数yax2bxc(a0)的图像一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有两个相异实根x1，x2(x1x2)有两个相等实根x1x2没有实数根一元二次不等式ax2bxc0(a0)的解集x|x<x1或x>x2R一元二次不等式ax2bxc0(a0)的解集x|x1xx2提醒：1不等式性质中辨明两个易误点(1)在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如ab，b<ca<c. (2)在乘法法则中，要特别注意“乘数c的符号”，例如当c0时，有a>bac2>bc2；若无c0这个条件，a>bac2>bc2就是错误结论(当c0时，取“”)2必会结论(1)ax2bxc>0(a0)恒成立的充要条件是：a>0且b24ac<0(xR)(2)ax2bxc<0(a0)恒成立的充要条件是：a<0且b24ac<0(xR)1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变()(2)一个非零实数越大，则其倒数就越小()(3)同向不等式具有可加和可乘性()(4)若不等式ax2bxc>0的解集是(，x1)(x2，)，则方程ax2bxc0的两个根是x1和x2.()(5)若方程ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式ax2bxc>0的解集为R.()(6)不等式ax2bxc0在R上恒成立的条件是a<0且b24ac0.()(7)若二次函数yax2bxc的图像开口向下，则不等式ax2bxc<0的解集一定不是空集()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)2(教材习题改编)设A(x3)2，B(x2)(x4)，则A与B的大小关系为()AABBABCABDAB解析：选BAB(x26x9)(x26x8)10，所以AB.故选B3若a>b>0，则下列不等式中恒成立的是()A>Ba>bCa>bD>解析：选C由a>b>00<<a>b，故选C4不等式0的解集是()ABCD解析：选C将不等式化为0，故x.5(教材习题改编)已知关于x的不等式x2ax2a0在R上恒成立，则实数a的取值范围是_解析：方程x2ax2a0的判别式a242aa28a，要使不等式x2ax2a0在R上恒成立，则a28a0，所以0a8.答案：(0,8)不等式的性质及应用明技法不等式性质应用问题的3大常见类型及解题策略(1)利用不等式性质比较大小：熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件(2)与充要条件相结合问题：用不等式的性质分别判断pq和qp是否正确，要注意特殊值法的应用 (3)与命题真假判断相结合问题：解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法提能力【典例】 若<<0，给出下列不等式：<；|a|b>0；a>b；ln a2>ln b2.其中正确的不等式是()ABCD解析：选C方法一用“特值法”解题因为<<0，故可取a1，b2.显然|a|b121<0，所以错误；因为ln a2ln(1)20，ln b2ln(2)2ln 4>0，所以错误，综上所述，可排除A、B、D 方法二用“直接法”解题由<<0，可知b<a<0.中，因为ab<0，ab>0，所以<，即正确；中，因为b<a<0，所以b>a>0.故b>|a|，即|a|b<0，故错误；中，因为b<a<0，又<<0，则>>0，所以a>b，故正确；中，因为b<a<0，根据yx2在(，0)上为减函数，可得b2>a2>0，而yln x在定义域(0，)上为增函数，所以ln b2>ln a2，故错误由以上分析，知正确刷好题1(金榜原创)设a，bR则“(ab)a2<0”是“a<b”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选A(ab)a20，则必有ab0，即ab；而ab时，不能推出(ab)a20，如a0，b1，所以“(ab)a20”是“ab”的充分不必要条件2已知ab>0，则与的大小关系是_解析：(ab).ab>0，(ab)20，0, .答案：一元二次不等式的解法明技法解一元二次不等式的4个步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式；(2)判：计算对应方程的判别式；(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根；(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集提能力【典例】 (1)解不等式：0x2x24；(2)(2018日照月考)解不等式：ax2(a1)x10(a0). 解：(1)原不等式等价于借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为.(2)原不等式变为(ax1)(x1)0，因为a0，所以a(x1)0.所以当a1，即<1时，解为x1；当a1时，解集为；当0a1，即>1时，解为1x.综上，当0a1时，不等式的解集为；当a1时，不等式的解集为；当a1时，不等式的解集为.刷好题1设函数f(x)则不等式f(x)>f(1)的解集是()A(3,1)(3，)B(3,1)(2，)C(1,1)(3，)D(，3)(1,3)解析：选A由题意知f(1)3，故原不等式可化为或解得3<x<1或x>3，所以原不等式的解集为(3,1)(3，)，故选A2(2018濮阳检测)解不等式：x2(a2a)xa3>0.解：原不等式化为(xa)(xa2)>0，当a2a>0，即a>1或a<0时，原不等式的解为x>a2或x<a.当a2a<0，即0<a<1时，原不等式的解为x<a2或x>a；当a2a0，即a0或a1时，原不等式的解为xa.综上得a>1或a<0时不等式解集为； 当0<a<1时，不等式解集为；当a0或a1时，不等式解集为x|xa一元二次不等式的恒成立问题析考情一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换对于一元二次不等式恒成立问题，常根据二次函数图像与x轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的取值范围提能力命题点1：形如f(x)0(f(x)0)(xR)确定参数的范围【典例1】 已知不等式mx22xm10，是否存在实数m对所有的实数x，不等式恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由解：要使不等式mx22xm10恒成立，即函数f(x)mx22xm1的图像全部在x轴下方当m0时，12x0，则x，不满足题意；当m0时，函数f(x)mx22xm1为二次函数，需满足开口向下且方程mx22xm10无解，即不等式组的解集为空集，即m无解综上可知不存在这样的实数m使不等式恒成立命题点2：形如f(x)0(xa，b)求参数范围【典例2】 设函数f(x)mx2mx1(m0)，若对于x1,3，f(x)m5恒成立，求m的取值范围解：要使f(x)m5在1,3上恒成立，则mx2mxm60，即m2m60，在x1,3上恒成立有以下两种方法：方法一令g(x)m2m6，x1,3当m0时，g(x)在1,3上是增函数，所以g(x)maxg(3)7m60.所以m，则0m.当m0时，g(x)在1,3上是减函数，所以g(x)maxg(1)m60.所以m6.所以m0.综上所述，m的取值范围是.方法二因为x2x120，又因为m(x2x1)60，所以m.因为函数y在1,3上的最小值为，所以只需m即可因为m0，所以m的取值范围是.悟技法解不等式恒成立问题的技巧(1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴下方另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数刷好题不等式x23>axa对一切3x4恒成立，则实数a的取值范围是_解析：x23>axa对一切3x4恒成立，a<在x3,4恒成立，令g(x)，x3,4，即a<g(x)min，而g(x)(x1)2，在x3,4上单调递增，故g(x)在x3时取得最小值3，即a<3.答案：(，3)