2018届高三理科数学二轮复习讲义：模块二 专题二 高考解答题专讲（二）　三角函数与解三角形 .doc

专题二三角函数、平面向量高考解答题专讲(二)三角函数与解三角形一、三角变换与三角函数的性质1三角函数的恒等变形的通性通法是：从函数名、角、运算三方面进行差异分析，常用的技巧有：切化弦、降幂、用三角公式转化出特殊角、异角化同角、异名化同名、高次化低次等2研究三角函数的值域、最值、周期、单调性等性质，首先要将函数解析式化为标准形式，再结合图形求解【例1】(2017黄冈中学模拟)已知函数f(x)2sinxcosx2cos2x(>0)，且f(x)的最小正周期为.(1)求的值及函数f(x)的单调递减区间；(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，求当x时，函数g(x)的最大值解(1)由题意知f(x)sin2x1cos2x2sin1，T，1，f(x)2sin1，令2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.函数f(x)的单调递减区间为，kZ.(2)g(x)2sin12sin1，当x时，2x，当2x，即x时，g(x)max2113.解答此类题目思路是“一化二求”，即通过恒等变换(降幂、辅助角公式应用)将其解析式化为yAsin(x)，yAcos(x)(A，是常数，且A>0，0)的形式，再研究其各种性质或求值 对点训练1(2017潍坊一模)已知函数f(x)4sincosx在x处取得最值，其中(0,2)(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数yg(x)的图象，若为锐角，g()，求cos.解(1)f(x)4sincosx2sinxcosx2cos2x(sin2xcos2x)2sin，f(x)在x处取得最值，2k，kZ，2k，kZ，(0,2)，即0<2k<2，<k<，又kZ，k0，则，f(x)2sin，T.(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位，得到h(x)2sin2sin，再将h(x)图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到g(x)2sin.故g()2sin，sin，因为为锐角，所以<<，因此cos .故coscoscoscossinsin.二、解三角形1利用正弦、余弦定理完成边与角的互化，结合三角公式达到求值的目的2利用正弦、余弦定理进行有关的判断或证明解(1)2acosAccosBbcosC，2sinAcosAsinCcosBsinBcosC，即2sinAcosAsin(BC)sinA.又0<A<，sinA0.2cosA1，cosA.(2)由(1)知cosA，sinA.2，a2sinA.由a2b2c22bccosA，得bcb2c2a2431，SABCbcsinA1.解答此类题目思路是“先变后解”，一是优先判断所给的等式的特点，正确分析已知等式的边角关系，合理地判断边往角化，还是角往边化；二是利用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等进行三角形中边角关系的互化 对点训练2已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ctanC(acosBbcosA)(1)求角C；(2)若c2，求ABC面积的最大值解(1)ctanC(acosBbcosA)，sinCtanC(sinAcosBsinBcosA)，sinCtanCsin(AB)sinC，0<C<，sinC0.tanC，C60.(2)c2，C60，由余弦定理c2a2b22abcosC，得12a2b2ab2abab，ab12，SABCabsinC3，当且仅当ab2时，ABC的面积取得最大值3.三、平面向量与三角函数、解三角形在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题思维流程(1)(2)解(1)mnsinAcosBsinBcosAsin(AB)，对于ABC，ABC,0<C<，sin(AB)sinC，mnsinC，又mnsin2C，sin2CsinC，cosC，C.(2)由sinA，sinC，sinB成等差数列，可得2sinCsinAsinB，由正弦定理得2cab.()18，18，即abcosC18，ab36.由余弦定理得c2a2b22abcosC(ab)23ab，c24c2336，c236，c6.破解平面向量与“三角”交汇题的关键3点一是巧“化简”，即活用诱导公式、同角三角函数的基本关系式、倍角公式、辅助角公式等对三角函数进行化简；二是会“转化”，把向量共线、向量垂直形式出现的条件还其本来面目，转化为“对应坐标乘积之间的关系”；三是活用“两定理”，有关解三角形的关键是正确分析边角关系，由于边与角可谓形影不离的“好姐妹”，在正、余弦定理的帮助下，边角互化，即可妙解三角形 对点训练3(2017郑州测试)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量m，n(c，b2a)，且mn0.(1)求角C的大小；(2)若点D为边AB上一点，且满足，|，c2.求ABC的面积解(1)m(cosB，cosC)，n(c，b2a)，mn0，ccosB(b2a)cosC0，在ABC中，由正弦定理得sinCcosB(sinB2sinA)cosC0，sinA2sinAcosC，又sinA0，cosC，而C(0，)，C.(2)由知，所以2，两边平方得4|2b2a22bacosCb2a2ba28，又c2a2b22abcosC，a2b2ab12.由得ab8，SABCabsinC2.热点课题10利用正弦、余弦定理解决平面几何问题 感悟体验(2017云南昆明二模)如图，在ABC中，已知点D在BC边上，满足ADAC，cosBAC，AB3，BD.(1)求AD的长；(2)求ABC的面积解(1)因为ADAC，cosBAC，所以sinBAC.又sinBACsincosBAD，在ABD中，BD2AB2AD22ABADcosBAD，即AD28AD150，解得AD5或AD3，由于AB>AD，所以AD3.(2)在ABD中，又由cosBAD，得sinBAD，所以sinADB，则sinADCsin(ADB)sinADB.因为ADBDACCC，所以cosC.在RtADC中，cosC，则tanC，所以AC3.则ABC的面积SABACsinBAC336.