解析几何吕林根许子道第四版课后习题集解答.doc

.解析几何_吕林根 许子道_第四版_课后习题解答第一章 矢量与坐标1.1 矢量的概念1.下列情形中的矢量终点各构成什么图形？ （1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点； （2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点； （3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点；（4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点. 解：（1）单位球面； （2）单位圆 A F B E C （3）直线； （4）相距为2的两点2. 设点O是正六边形ABCDEF的中心，在矢量、 、O、 、和中，哪些矢量是相等的？解：如图1-1，在正六边形ABCDEF中，相等的矢量对是： 图1-1 3. 设在平面上给了一个四边形ABCD，点K、L、M、N分别是边、 的中点，求证：. 当ABCD是空间四边形时，这等式是否也成立？证明：如图1-2，连结AC, 则在DBAC中， KLAC. 与方向相同；在DDAC中，NMAC. 与方向相同，从而KLNM且与方向相同，所以. 4. 如图1-3，设ABCD-EFGH是一个平行六面体，在下列各对矢量中，找出相等的矢量和互为相反矢量的矢量：图13(1) 、; (2) 、; (3) 、; (4) 、; (5) 、. 解：相等的矢量对是（2）、（3）和（5）； 互为反矢量的矢量对是（1）和（4）。 1.2 矢量的加法1.要使下列各式成立，矢量应满足什么条件？（1） （2）（3） （4）（5）解：（1）所在的直线垂直时有； （2）同向时有 （3）且反向时有 （4）反向时有 （5）同向，且时有1.3 数量乘矢量1 试解下列各题 化简 已知，求，和 从矢量方程组，解出矢量，解 ， ， 2 已知四边形中，对角线、的中点分别为、，求 解 3 设，证明：、三点共线 证明 与共线，又为公共点，从而、三点共线 4 在四边形中，证明为梯形 证明 ，为梯形6. 设L、M、N分别是ABC的三边BC、CA、AB的中点，证明：三中线矢量, , 可 以构成一个三角形. 证明： 从而三中线矢量构成一个三角形。7. 设L、M、N是ABC的三边的中点，O是任意一点，证明+=+. 证明 = 由上题结论知： 8. 如图1-5，设M是平行四边形ABCD的中心，O是任意一点，证明+4.图1-5证明：因为(+), (+),所以 2(+)所以+4.9 在平行六面体（参看第一节第4题图）中，证明 证明 10. 用矢量法证明梯形两腰中点连续平行于上、下两底边且等于它们长度和的一半 证明 已知梯形，两腰中点分别为、，连接、 ， ， ，即 ，故平行且等于 11. 用矢量法证明，平行四边行的对角线互相平分. 证明：如图1-4，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点图1-4但 由于而不平行于， ，从而OA=OC，OB=OD。12. 设点O是平面上正多边形A1A2An的中心，证明:+.证明：因为l,l,+l,l,所以 2(+)l(+),所以 (l2)(+).显然 l2, 即 l20. 所以 +.13在12题的条件下，设P是任意点，证明：证明： 即 1.4 矢量的线性关系与矢量的分解1在平行四边形ABCD中，（1）设对角线求解：设边BC和CD的（2）中点M和N，且求。解： 2在平行六面体ABCD-EFGH中，设三个面上对角线矢量设为试把矢量写成的线性组合。证明：， ， 图1-73. 设一直线上三点A, B, P满足l(l1),O是空间任意一点，求证：证明：如图1-7，因为,所以 l (),(1+l)+l, 从而 .4. 在中,设.(1) 设是边三等分点,将矢量分解为的线性组合;（2）设是角的平分线(它与交于点),将分解为的线性组合解：（1）， ，同理（2）因为 , 且 与方向相同，所以 . 由上题结论有.5在四面体中，设点是的重心（三中线之交点），求矢量对于矢量的分解式。解：是的重心。连接并延长与BC交于P同理 C O （1） G P （2）A B （3） （图1）由（1）（2）（3）得 即6用矢量法证明以下各题（1）三角形三中线共点证明：设BC，CA，AB中点分别为L，M，N。AL与BM交于，AL于CN交于 BM于CN交于，取空间任一点O，则 A A 同理 N M B L C 三点重合 O 三角形三中线共点 （图2） （第3页）7已知矢量不共线，问与是否线性相关？证明：设存在不全为0的，使得即 故由已知不共线得与假设矛盾， 故不存在不全为0的，使得成立。所以线性无关。8. 证明三个矢量+3+2, 46+2，3+1211共面，其中能否用,线性表示？如能表示，写出线性表示关系式.证明：由于矢量, , 不共面，即它们线性无关. 考虑表达式 l+m+v，即l (+3+2)+m (46+2)+v (3+1211),或 (l+4m3v) +(3l6m12v) +(2l+2m11v) .由于, , 线性无关，故有解得 l10，m1，v2.由于 l100，所以能用,线性表示.9证明三个矢量共面。证明： 三个矢量线性相关，从而三个矢量共面。l(),所以 l,从而 /.故 A，B，C三点共线. 1.5 标架与坐标3. 在空间直角坐标系O;下，求P(2,3,1)，M(a, b, c)关于 (1) 坐标平面；(2) 坐标轴；(3) 坐标原点的各个对称点的坐标.解：M (a, b, c)关于xOy平面的对称点坐标为(a, b, c)，M (a, b, c)关于yOz平面的对称点坐标为(a, b, c)，M (a, b, c)关于xOz平面的对称点坐标为(a,b, c)，M (a, b, c)关于x轴平面的对称点坐标为(a,b,c)，M (a, b, c)关于y轴的对称点的坐标为(a, b,c)，M (a, b, c)关于z轴的对称点的坐标为(a,b, c).类似考虑P (2,3，1)即可.8. 已知矢量, , 的分量如下：(1) 0, 1, 2，0, 2, 4，1, 2, 1；(2) 1, 2, 3，2, 1, 0，0, 5, 6.试判别它们是否共面？能否将表成，的线性组合？若能表示，写出表示式.解:(1) 因为 0,所以 , , 三矢量共面, 又因为, 的对应坐标成比例，即/，但，故不能将表成, 的线性组合. (2) 因为 0,所以 , , 三矢量共面.又因为 , 的对应坐标不成比例，即，故可以将表成, 的线性组合.设 l+m, 亦即0, 5, 6l1, 2, 3+m2, 1, 0从而 解得 l2，m1,所以 2.7已知A,B,C三点坐标如下：（1）在标架下，（2）在标架下，判别它们是否共线？若共线，写出和的线形关系式.解：（1）因为 所以 共线（2）设，但不存在所以不共线.得 所以 .9. 已知线段AB被点C(2,0,2)和D(5,-2,0)三等分,试求这个线段两端点A与B的坐标.答 A(-1,2,4),B(8,-4,2).10.证明：四面体每一个顶点与对面重心所连的线段共点，且这点到顶点的距离是它到对面重心距离的三倍. 用四面体的顶点坐标把交点坐标表示出来.证明：设四面体A1A2A3A4,Ai对面重心为Gi, 欲证AiGi交于一点(i1, 2, 3, 4).在AiGi上取一点Pi，使3, 从而，设Ai (xi, yi, zi)(i1, 2, 3, 4)，则G1,G2,G3,G4,所以P1(,)P1(,).同理得P2P3P4P1，所以AiGi交于一点P，且这点到顶点距离等于这点到对面重心距离的三倍.1.6 矢量在轴上的射影1已知矢量与单位矢量的夹角为，且，求射影矢量与射影，又如果，求射影矢量与射影.解 射影= 射影矢量= 射影= 射影矢量=2试证明：射影l(ll+ln)l1射影l+射影l+ln射影l.证明：用数学归纳法来证.当n2时，有射影l(l1l2)射影l()+射影l()l1射影l+l2射影l.假设当nk时等式成立，即有射影l()l1射影l+lk射影l. 欲证当nk+1时亦然. 事实上射影l()射影l()+射影l()+射影l()l1射影l+lk射影l+lk+1射影l故等式对自然数n成立.1.7 两矢量的数性积1证明：（1） 矢量垂直于矢量；（2）在平面上如 果，且 (i=1,2)，则有.证明：（1） =矢量垂直于矢量 （2） 因为 ,所以，对该平面上任意矢量lm,()()(lm)l()+m()l()+m()0,故 ().由的任意性知 .从而 .2已知矢量互相垂直，矢量与的夹角都是，且计算： 解： 计算下列各题 （1）已知等边的边长为且求； 已知两两垂直且 求的长和它与的夹角 已知与垂直，求的夹角 已知 问系数取何值时与垂直？ 解 且 设 设与的夹角分别为 ， ，即 ，即 得： 得： 页后 图1-114. 用矢量法证明以下各题：(1) 三角形的余弦定理 a2b2c22bccosA;(2) 三角形各边的垂直平分线共点且这点到各顶点等距.证明：（1）如图1-21，ABC中，设,，且|a，|b,|c. 则,2()22+222+22|cosA.图1-12此即 a2b2+c22bccosA.(2) 如图1-22，设AB, BC边的垂直平分线PD, PE相交于P, D, E, F为AB, BC, CA的中点, 设, , , 则, , , (+), ().因为 , ,所以 (+)()(22)0,(+)()(22)0,从而有 222, 即 |2|2|2,所以 ()()(22)0,所以 , 且 |.故三角形各边的垂直平分线共点且这点到各顶点等距. 已知平行四边形以1，2，-1，1，-2，1为两边 求它的边长和内角 求它的两对角线的长和夹角 解： 或，. 已知的三顶点试求：三边长 三内角 三中线长 角的角平分线矢量（中点在边上），并求的方向余弦和单位矢量 解： ， =， 设它的单位矢量为，且 =1.8 两矢量的失性1.已知,试求: 解: 4.原式= .原式=92. 证明：（1）()222，并说明在什么情形下等号成立.（2） 如果+，那么，并说明它的几何意义.如果,.那么与共线. 如果 那么, 共面. 证明: （1） ()2|2|2|2sin2(,)|2|222.要使等号成立, 必须sin2(,)1, 从而sin(,)1, 故(,)，即当时，等号成立.（2）由+, 有 (+), 但 ，于是 +,所以 .同理 由 (+), 有 ,从而 .其几何意义是以三角形的任二边为邻边构成的平行四边形的面积相等.()()= = 与共线. =0 0 共面 3. 如果非零矢量(i1,2,3)满足，那么,是彼此垂直的单位矢量，并且按这次序构成右手系.证明：由矢性积的定义易知,彼此垂直，且构成右手系. 下证它们均为单位矢量.因为 ，,所以 |, |,图1-13所以 |2|.由于 |0，从而 |21，|1.同理可证 |1，|1.从而,都是单位矢量.4.已知: ,求与,都垂直,且满足下列条件的矢量: 为单位矢量 ,其中. 解: 设.=0 =0 =1 由,得: 设. =10 由, 得: .5. 在直角坐标系内已知三点,试求: 三角形的面积 三角形的三条高的长. 解: , , =, . . , , . , , . 6.已知: , 试求: 以为边的平行四边形的面积. 这平行四边形的两条高的长. 解: . 7. 用矢量方法证明：（1）三角形的正弦定理.（2）三角形面积的海伦(Heron)公式，即三斜求积公式：D2p(pa)(pb)(pc).式中p(a+b+c)是三角形的半周长，D为三角形的面积.证明： (1) 如图1-13，在ABC中，设，且|a，|b, |c, 则 +,从而有 ,所以 |,bcsinAcasinBabsinC,于是 .(2) 同上题图，ABC的面积为D|,所以 D2()2.因为 ()2+()222,所以 D222()2.由于 +,从而 +，()22,所以 (222)(c2a2b2),故有 D2a2b2(c2a2b2)22ab(c2a2b2)2ab+(c2a2b2)(a+b)2c22(ab)2(a+b+c)(a+bc)(c+ab)(cab) 2p(2p2c)(2p2b)(2p2a).所以 D2=p(p-a)(p-b)(p-c),或 D=.1.9 三矢量的混合积1. 设, , 为三个非零矢量，证明(3) (, , +l+m) =(, , );(4) (, , ) =2(, , ).证明：(1)左端=()(+l+m)=()+()(l)+()(m)=()+l()+m()=()+l()+m()=()=右端.(2) 左端=(+)(+)(+)=+(+)=()+()+()+()+()+()=()+()=2()=右端.2 设径矢, , , 证明 ()()()垂直于ABC平面. 证明:由于 =,所以 .同理可证 .所以 平面ABC.3=+,+, =+,试证明 ()=(,).证明： =()+()+() ()=()=c3()+a3()+b3()=()=(,).4.已知直角坐标系内矢量的分量,判别这些矢量是否共面?如果不共面,求出以它们为三邻边作成的平行六面体体积. , , . , , . 解: 共面 = 向量共面不共面 = 向量不共面以其为邻边作成的平行六面体体积 5. 已知直角坐标系内四点坐标,判别它们是否共面?如果不共面,求以它们为顶点的四面体体积和从顶点所引出的高的长.;.解: 共面.又, 顶点所引出的四面体高为.1.10 三矢量的双重矢性积 1. 在直角坐标系内,已知求和.解 =-= =-=2. 证明 对于任意矢量下式成立:证 左式= 3. 证明 =证 =4. 证明 =证 = =. =5. 证明 共面的充要条件是,共面. 证 ,共面的.=0共面.6. 对于任意矢量,证明 证 =第二章 轨迹与方程2.1平面曲线的方程1.一动点到的距离恒等于它到点的距离一半，求此动点的轨迹方程，并指出此轨迹是什么图形？ 解：动点在轨迹上的充要条件是。设的坐标有 化简得 故此动点的轨迹方程为 此轨迹为椭圆 2.有一长度为0）的线段，它的两端点分别在轴正半轴与轴的正半轴上移动，是求此线段中点的轨迹。，为两端点，为此线段的中点。 解：如图所示 设.则.在中有 .把点的坐标代入此式得: .此线段中点的轨迹为. 3. 一动点到两定点的距离的乘积等于定值,求此动点的轨迹. 解:设两定点的距离为,并取两定点的连线为轴, 两定点所连线段的中垂线为轴.现有:.设在中 . 在中. 由两式得:. 4.设是等轴双曲线上任意三点,求证的重心必在同一等轴双曲线上. 证明:设等轴双曲线的参数方程为 ,.重心 5.任何一圆交等轴双曲线于四点,及.那么一定有. 证明:设圆的方程.圆与等轴双曲线交点,则代入得整理得: 可知是它的四个根,则有韦达定理. 8. 把下面的平面曲线的普通方程化为参数方程.; ; .解:令,代入方程得参数方程为.令代入方程得当时,当时,故参数方程为.2.2 曲面的方程1、 一动点移动时，与及平面等距离，求该动点的轨迹方程。解：设在给定的坐标系下，动点，所求的轨迹为，则亦即由于上述变形为同解变形，从而所求的轨迹方程为2、在空间，选取适当的坐标系，求下列点的轨迹方程：（1）到两定点距离之比为常数的点的轨迹；（2）到两定点的距离之和为常数的点的轨迹；（3）到两定点的距离之差为常数的点的轨迹；（4）到一定点和一定平面距离之比等于常数的点的轨迹。解：（1）取二定点的连线为轴，二定点连接线段的中点作为坐标原点，且令两距离之比的常数为，二定点的距离为，则二定点的坐标为，设动点，所求的轨迹为，则亦即经同解变形得：上式即为所要求的动点的轨迹方程。（2）建立坐标系如（1），但设两定点的距离为，距离之和常数为。设动点，要求的轨迹为，则亦即两边平方且整理后，得： （1）从而（1）为即：由于上述过程为同解变形，所以（3）即为所求的轨迹方程。（3）建立如（2）的坐标系，设动点，所求的轨迹为，则类似于（2），上式经同解变形为：其中 （*）（*）即为所求的轨迹的方程。（4）取定平面为面，并让定点在轴上，从而定点的坐标为，再令距离之比为。设动点，所求的轨迹为，则将上述方程经同解化简为： （*）（*）即为所要求的轨迹方程。3. 求下列各球面的方程：（1）中心，半径为；（2）中心在原点，且经过点；（3）一条直径的两端点是（4）通过原点与解：（1）由本节例5 知，所求的球面方程为：（2）由已知，球面半径所以类似上题，得球面方程为（3）由已知，球面的球心坐标，球的半径，所以球面方程为：（4）设所求的球面方程为：因该球面经过点，所以 （1）解（1）有所求的球面方程为2.3 母线平行于坐标轴的柱面方程1、画出下列方程所表示的曲面的图形。（1） 解：各题的图形如下：（1）2.4 空间曲线的方程1、平面与的公共点组成怎样的轨迹。解：上述二图形的公共点的坐标满足从而：（）当时，公共点的轨迹为： 及 即为两条平行轴的直线；（）当时，公共点的轨迹为： 即为轴；（）当时，公共点的轨迹为： 即过且平行于轴的直线；（）当或时，两图形无公共点。2、指出下列曲面与三个坐标面的交线分别是什么曲线？（1）； （2）；（3）； （4）解：（1）曲面与面的交线为：此曲线是圆心在原点，半径且处在面上的圆。同理可求出曲面与面及面的交线分别为：， 它们分别是中心在原点，长轴在轴上，且处在面上的椭圆，以及中心在原点，长轴在轴上，且处在面上的椭圆；（2）由面与面，面，面的交线分别为：,亦即：,即为中心在原点，长轴在轴上，且处在面上的椭圆；中心在原点，实轴在轴，且处在面上的双曲线，以及中心在原点，实轴在轴，且处在面上的双曲线。（3）曲面与面，面，面的交线分别为：,亦即,即为中心在原点，实轴在轴，且处在面上的双曲线；无轨迹以及中心在原点，实轴在轴上，且处在面上的双曲线。（4）曲面与面，面，面的交线分别为：,亦即,即为坐标原点，顶点在原点以轴为对称轴，且处在面上的抛物线，以及顶点在原点，以轴为对称轴，且处在面上的抛物线。3. 求下列空间曲线对三个坐标面的射影柱面方程。（1）;（2）（3）（4）解：（1）从方程组分别消去变量，得：亦即： （） （） （）（）是原曲线对平面的射影柱面方程；（）是原曲线对平面的射影柱面方程；（）是原曲线对平面的射影柱面方程。（2）按照与（1）同样的方法可得原曲线（）对平面的射影柱面方程；（）对平面的射影柱面方程；（）对平面的射影柱面方程。（3） 原曲线对平面的射影柱面方程：原曲线对平面的射影柱面方程：原曲线对平面的射影柱面方程：（4） 原曲线对平面的射影柱面方程：原曲线对平面的射影柱面方程：原曲线对平面的射影柱面方程：6. 求空间曲线的参数方程. 解: 令,代入方程得再将所得结果代入方程得 .从而知曲线的参数方程为 第三章 平面与空间直线 3.1平面的方程1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程：（1）通过点和点且平行于矢量的平面（2）通过点和且垂直于坐标面的平面；（3）已知四点，。求通过直线AB且平行于直线CD的平面，并求通过直线AB且与平面垂直的平面。解： （1） ，又矢量平行于所求平面，故所求的平面方程为： 一般方程为：（2）由于平面垂直于面，所以它平行于轴，即与所求的平面平行，又，平行于所求的平面，所以要求的平面的参数方程为：一般方程为：，即。（3）（）设平面通过直线AB，且平行于直线CD： ，从而的参数方程为：一般方程为：。（）设平面通过直线AB，且垂直于所在的平面， 均与平行，所以的参数式方程为：一般方程为：.2.化一般方程为截距式与参数式： .解： 与三个坐标轴的交点为：，所以，它的截距式方程为：.又与所给平面方程平行的矢量为：， 所求平面的参数式方程为：3.证明矢量平行与平面的充要条件为：.证明： 不妨设，则平面的参数式方程为：故其方位矢量为：，从而平行于平面的充要条件为：，共面.4. 已知连接两点的线段平行于平面，求点的坐标.解： 而平行于由题3知：从而.5. 求下列平面的一般方程.通过点和且分别平行于三坐标轴的三个平面;过点且在轴和轴上截距分别为和的平面;与平面垂直且分别通过三个坐标轴的三个平面;已知两点,求通过且垂直于的平面;原点在所求平面上的正射影为;求过点和且垂直于平面的平面.解:平行于轴的平面方程为.即.同理可知平行于轴,轴的平面的方程分别为.设该平面的截距式方程为,把点代入得故一般方程为.若所求平面经过轴，则为平面内一个点,和为所求平面的方位矢量,点法式方程为一般方程为.同理经过轴,轴的平面的一般方程分别为.垂直于平面,该平面的法向量,平面通过点,因此平面的点位式方程为.化简得.(5) 则该平面的法式方程为:既 （6）平面的法向量为，点从 写出平面的点位式方程为，则，则一般方程即：6将下列平面的一般方程化为法式方程。解：将已知的一般方程乘上得法式方程将已知的一般方程乘上得法式方程将已知的一般方程乘上得法式方程即或将已知的一般方程乘上或得法式方程为或7求自坐标原点自以下各平面所引垂线的长和指向平面的单位法矢量的方向余弦。解：化为法式方程为原点指向平面的单位法矢量为它的方向余弦为原点到平面的距离为化为法式方程为-原点指向平面的单位法矢量为它的方向余弦为原点到平面的距离 第20页8已知三角形顶点求平行于所在的平面且与她相距为2各单位的平面方程。解：设点则写出平面的点位式方程设一般方程则相距为2个单位。则当时当时所求平面为和9求与原点距离为6个单位，且在三坐标轴与上的截距之比为的平面。解：设设平面的截距方程为即又原点到此平面的距离所求方程为10平面分别与三个坐标轴交于点求的面积。解 , ,. ;.=11设从坐标原点到平面的距离为。求证证明：由题知：从而有 3.2 平面与点的相关位置1.计算下列点和平面间的离差和距离：（1）， ；（2）， .解： 将的方程法式化，得： ，故离差为：，到的距离（2）类似（1），可求得，到的距离2.求下列各点的坐标：（1）在轴上且到平面的距离等于4个单位的点；（2）在轴上且到点与到平面距离相等的点；（3）在x轴上且到平面和距离相等的点。解：（1）设要求的点为则由题意 或7.即所求的点为（0，-5，0）及（0，7，0）。（2）设所求的点为则由题意知：由此，或-82/13。故，要求的点为及。（3）设所求的点为，由题意知：由此解得：或11/43。所求点即（2，0，0）及（11/43，0，0）。3.已知四面体的四个顶点为，计算从顶点向底面ABC所引的高。解：地面AB