浙江省杭州市西湖高级中学2018_2019学年高二数学5月月考试题.doc

浙江省杭州市西湖高级中学2018-2019学年高二数学5月月考试题一选择题（本题共15小题，每题5分，共75分）1已知集合Ax|x21，Bx|lg（x+1）0，则AB（）A0，1）B（1，+）C（0，1）D（1，02角的终边与单位圆交于点，则cos2（）ABCD3直线的倾斜角是（）A120B150C30D604若（2x，1，3），（1，2y，9），如果与为共线向量，则（）Ax1，y1Bx，yCx，yDx，y5若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）cm2A5BCD76已知a，b，cR，则“ab”是“ac2bc2”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分也非必要条件7若实数x，y满足，则zy2x的最大值为（）A1BCD8已知l，m，n是三条不同的直线，是两个不同的平面，那么下列命题正确的是（）A若lm，ln，m且n，则lB若，l，ml且n，则mnC若m，n，m且n，则D若，l，ml，则m9函数yf（x）的导函数yf（x）的图象如图所示，则函数yf（x）的图象可能是（）DA B C D10l：ax+2by40被圆x2+y2+4x2y+10所截弦长为4，则a2+b2的最小值是（）A3BC2D11已知可导函数f（x）（xR）满足f（x）f（x），则当a0时，f（a）和eaf（0）大小关系为（）Af（a）eaf（0）Bf（a）eaf（0）Cf（a）eaf（0）Df（a）eaf（0）12设点P是双曲线1（a0，b0）与圆x2+y2a2+b2在第一象限的交点，F1，F2是双曲线的两个焦点，且2|PF1|3|PF2|，则双曲线的离心率为（）A13BCD13高一学生王超想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，（）A若任意选择三门课程，选法总数为种B若物理和化学至少选一门，选法总数为种C若物理和历史不能同时选，选法总数为种D若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为种14过抛物线x22py（p0）焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在直线y上，则（）A使ABC为直角三角形的点C只有一个 B使ABC为等腰三角形的点C只有一个C当ABC等边时，|AB|p D当ABC等边时，|CF|p15已知ABC中，AB4，AC2，若的最小值为2，则ABC的面积为（）AB C D二填空题（每题4分，共16分）16已知复数z（3+i）2，其中i为虚数单位，若z（a+i）是纯虚数（其中aR），则a 17设数列an是公差为d的等差数列，a1+a3+a5105，a2+a4+a699数列an的前n项和Sn取得最大值时，n 18甲、乙、丙分别是宁波某高中语文、数学、英语老师，在本次期末考试中，三人均被安排在第一考场监考，该考场安排了语文、数学、英语、物理、化学、生物共6门科目考试按照规定，甲、乙、丙3位老师每人监考2门科目，且不监考自己任教学科，则不同的监考方案共有 种19已知函数f（x）ax+ln（x）（a0），若对任意的x1，都有，则a的最大值为 三解答题（共5小题）20已知函数（）求函数f（x）的最小正周期及单调增区间；（）设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且ABC的面积为，求a，b的值21多面体ABCA1B1C1，AA1BB1CC1，AA14，BB12，AB4，CC13，ABBB1，C1在平面ABB1A1上的射影E是线段A1B1的中点（1）求证：平面ABC平面ABB1A1；（2）若C1E2，求二面角C1AB1A1的余弦值22已知函数f（x）x2a|x1|1（aR）（1）若f（x）0在xR上恒成立，求a的取值范围；（2）求f（x）在2，2上的最大值M（a）23已知椭圆C：1（ab0）过点M（1，），左焦点F（，0）（）求椭圆C的方程；（）过点N（，0）作一条直线交椭圆C于A，B两点，又过点N作直线AB的垂线交直线x2于P点，求的最小值24已知函数f（x）（）求证：对于任意x（0，+），不等式f（x）x+1恒成立；（）设函数g（x）（ex1）ln（x+1）x2，x0，+），求函数g（x）的最小值杭西高高二年级2019年5月考数学试卷参考答案与试题解析一选择题（共15小题）1已知集合Ax|x21，Bx|lg（x+1）0，则AB（）A0，1）B（1，+）C（0，1）D（1，0【分析】先解出Ax|1x1，根据对数函数的单调性即可解出Bx|x0，然后进行交集的运算即可【解答】解：Ax|1x1；由lg（x+1）0得，lg（x+1）lg1；x+11；x0；Bx|x0；AB0，1）故选：A【点评】考查描述法表示集合的概念，对数函数的单调性，以及交集的运算2角的终边与单位圆交于点，则cos2（）ABCD【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义求得cos的值，再利用二倍角的余弦公式求得cos2的值【解答】解：根据角的终边与单位圆交于点，可得x，y，r1，cos，则cos22cos21，故选：D【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角的余弦公式的应用，属于基础题3直线的倾斜角是（）A120B150C30D60【分析】根据直线和斜率和倾斜角的关系即可求出【解答】解：直线的倾斜角为，则tan，60，故选：D【点评】本题考查了直线和斜率和倾斜角的关系，属于基础题4若（2x，1，3），（1，2y，9），如果与为共线向量，则（）Ax1，y1Bx，yCx，yDx，y【分析】利用共线向量的条件，推出比例关系求出x，y的值【解答】解：（2x，1，3）与（1，2y，9）共线，故有x，y故选：C【点评】本题考查共线向量的知识，考查学生计算能力，是基础题5若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）cm2A5BCD7【分析】由三视图可知该几何体为平放的三棱柱，其中以左视图为底，然后根据三棱柱的表面积公式进行求解即可【解答】解：由三视图可知该几何体为平放的三棱柱，其中以左视图为底，三棱柱的高为2cm，直角三角形的两个直角边长度分别为1cm和1cm，三棱柱的侧面积为（1+1+），底面积为，三棱柱的表面积为1+4+2故选：C【点评】本题主要考查三视图的识别和应用，以及三棱柱的表面积公式，比较基础6已知a，b，cR，则“ab”是“ac2bc2”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分也非必要条件【分析】当c0时，abac2bc2；当ac2bc2时，说明c0，有c20，得ac2bc2ab显然左边不一定推导出右边，但右边可以推出左边【解答】解：必要不充分条件当c0时，abac2bc2；当ac2bc2时，说明c0，有c20，得ac2bc2ab显然左边不一定推导出右边，但右边可以推出左边，故选：B【点评】本题考查了充分必要条件的判断，本题解题的关键是充分利用不等式的基本性质是推导不等关系，本题是一个基础题7若实数x，y满足，则zy2x的最大值为（）A1BCD【分析】作出可行域，变形目标函数，平移直线y2x结合图象可得结论【解答】解：作出条件实数x，y满足所对应的可行域（如图ABCD），由，解得B（，），变形目标函数可得y2x+z，平移直线y2x可知：当直线经过点B（，）时，直线的截距最大，此时目标函数z取最大值z2，故选：B【点评】本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题8已知l，m，n是三条不同的直线，是两个不同的平面，那么下列命题正确的是（）A若lm，ln，m且n，则lB若，l，ml且n，则mnC若m，n，m且n，则D若，l，ml，则m【分析】在A中，l与相交或l；在B中，由线面垂直的判 定定理和性质定理得mn；在C中，与相交或平行；在D中，m与相交、平行或l【解答】解：由l，m，n是三条不同的直线，是两个不同的平面，知：在A中，若lm，ln，m且n，则l与相交或l，故A错误；在B中，若，l，ml且n，则由线面垂直的判 定定理和性质定理得mn，故B正确；在C中，若m，n，m且n，则与相交或平行，故C错误；在D中，若，l，ml，则m与相交、平行或l，故D错误故选：B【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题9函数yf（x）的导函数yf（x）的图象如图所示，则函数yf（x）的图象可能是（）ABCD【分析】根据导数与函数单调性的关系，当f（x）0时，函数f（x）单调递减，当f（x）0时，函数f（x）单调递增，根据函数图象，即可判断函数的单调性，然后根据函数极值的判断，即可判断函数极值的位置，即可求得函数yf（x）的图象可能【解答】解：由当f（x）0时，函数f（x）单调递减，当f（x）0时，函数f（x）单调递增，则由导函数yf（x）的图象可知：f（x）先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，排除A，C，且第二个拐点（即函数的极大值点）在x轴上的右侧，排除B，故选：D【点评】本题考查导数的应用，考查导数与函数单调性的关系，考查函数极值的判断，考查数形结合思想，属于基础题10l：ax+2by40被圆x2+y2+4x2y+10所截弦长为4，则a2+b2的最小值是（）A3BC2D【分析】根据题意，由圆的方程分析圆心坐标以及半径，进而可得直线l经过圆心（2，1），则有2a+2b40，即ba+2，据此可得a2+b2a2+（a+2）22（a+1）2+2，结合二次函数的性质分析可得答案【解答】解：根据题意，圆x2+y2+4x2y+10即（x+2）2+（y1）24，圆心为（2，1），半径r2；若l：ax+2by40被圆x2+y2+4x2y+10所截弦长为4，则直线l经过圆心（2，1），则有2a+2b40，即ba+2，则a2+b2a2+（a+2）22（a+1）2+22，即a2+b2的最小值是2；故选：C【点评】本题考查直线与圆的方程的应用，注意分析直线经过圆心，属于基础题11已知可导函数f（x）（xR）满足f（x）f（x），则当a0时，f（a）和eaf（0）大小关系为（）Af（a）eaf（0）Bf（a）eaf（0）Cf（a）eaf（0）Df（a）eaf（0）【分析】设函数f（x）e2x，则导函数f（x）2e2x，显然满足f（x）f（x），由f（a）e2a，eaf（0）ea，比较得出结论【解答】解：由题意知，可设函数f（x）e2x，则导函数f（x）2e2x，显然满足f（x）f（x），f（a）e2a，eaf（0）ea，当a0时，显然 e2aea，即f（a）eaf（0），故选：B【点评】本题考查求复合函数的导数的方法，以及指数函数的单调性，利用构造法求解是我们选择题常用的方法12设点P是双曲线1（a0，b0）与圆x2+y2a2+b2在第一象限的交点，F1，F2是双曲线的两个焦点，且2|PF1|3|PF2|，则双曲线的离心率为（）A13BCD【分析】先由双曲线定义和已知求出两个焦半径的长，再由已知圆的半径为半焦距，知焦点三角形为直角三角形，从而由勾股定理得关于a、c的等式，求得离心率【解答】解：依据双曲线的定义：|PF1|PF2|2a，又2PF1|3|PF2|，|PF1|6a，|PF2|4a，圆x2+y2a2+b2的半径rc，F1F2是圆的直径，F1PF290在直角三角形F1PF2中由36a2+16a2（2c）2，得e故选：C【点评】本题考查了双曲线的定义，双曲线的几何性质，离心率的求法13高一学生王超想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，（）A若任意选择三门课程，选法总数为种B若物理和化学至少选一门，选法总数为种C若物理和历史不能同时选，选法总数为种D若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为种【分析】A若任意选择三门课程，由组合的概念可知选法总数为种，可判断A错误；B若物理和化学至少选一门，由分步乘法计数原理知选法总数为+种，可判断B错误；C若物理和历史不能同时选，利用间接法可知选法总数为种，可判断C正确；D若物理和化学至少选一门，有3种情况，分别讨论计算，可判断D错误【解答】解：对于A若任意选择三门课程，选法总数为种，故A错误；对于B若物理和化学选一门，有种方法，其余两门从剩余的5门中选2门，有种选法，若物理和化学选两门，有种选法，剩下一门从剩余的5门中选1门，有种选法由分步乘法计数原理知，总数为+种选法，故B错误；对于C若物理和历史不能同时选，选法总数为种；对于D若物理和化学至少选一门，有3种情况，只选物理有且物理和历史不同时选，有种选法；选化学，不选物理，有种选法；物理与化学都选，有种选法，故总数为+6+10+420种，故D错误故选：C【点评】本题考查排列、组合及其简单的计数问题，考查分析运算能力，属于中档题14过抛物线x22py（p0）焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在直线y上，则（）A使ABC为直角三角形的点C只有一个B使ABC为等腰三角形的点C只有一个C当ABC等边时，|AB|pD当ABC等边时，|CF|p【分析】由题意画出图形，分析A，B错误；当ABC等边时，由图可知AB所在直线存在且不为0，设AB：y，联立直线方程与抛物线方程，化为关于x的一元二次方程，利用弦长公式求|AB|，求出C的坐标，再由点到直线的距离公式求C到AB的距离，利用等边三角形边与高的关系求得k，进一步求得|AB|，|CF|，则答案可求【解答】解：如图，当过F的直线与y轴垂直时，分别过A，B作直线y的垂线，垂直为C，则ABC为直角三角形，故A错误；分别以A，B为圆心，以2p为半径作圆，与直线y交于C，可得四个等腰三角形，故B错误；当ABC等边时，由图可知AB所在直线存在且不为0，设AB：y，联立，可得x22kpxp20设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x22kp，AB的中点坐标为（kp，），AB的垂直平分线方程为y，取y，可得x2kp+k3pC（2kp+k3p，），|AB|，C到直线AB的距离d由题意可得：|AB|，即，即k22|AB|6P，|CF|故选：D【点评】本题考查直线与抛物线的综合，考查计算能力，是中档题15已知ABC中，AB4，AC2，若的最小值为2，则ABC的面积为（）ABCD【分析】ABC中，AB4，AC2，4f（）当cosA0时，f（）4，舍去当cosA0时，f（）442，解得A由此能求出ABC的面积【解答】解：ABC中，AB4，AC2，4f（）当cosA0时，f（）4，舍去当cosA0时，f（）44，的最小值为2，42，cosA，解得AABC的面积S2故选：C【点评】本题考查了向量的三角形法则、向量的数量积运算性质、二次函数的单调性、分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题二填空题（共4小题）16已知复数z（3+i）2，其中i为虚数单位，若z（a+i）是纯虚数（其中aR），则a【分析】利用复数的运算法则、摸的计算公式、纯虚数的定义即可得出【解答】解：复数z（3+i）28+6i，若z（a+i）（8+6i）（a+i）8a6+（6a+8）i是纯虚数（其中aR），则8a60，且6a+80，解得a故答案为：10，【点评】本题考查了复数的运算法则、摸的计算公式、纯虚数的定义，考查了推理能力、计算能力，属于基础题17设数列an是公差为d的等差数列，a1+a3+a5105，a2+a4+a699数列an的前n项和Sn取得最大值时，n20【分析】a1+a3+a5105，a2+a4+a699可得3a1+6d105，3a1+9d99，解出可得an令an0，解得n即可得出【解答】解：a1+a3+a5105，a2+a4+a6993a1+6d105，3a1+9d99，解得a139，d2，则an392（n1）412n；令an0，解得n20+数列an的前n项和Sn取得最大值时，n20【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18甲、乙、丙分别是宁波某高中语文、数学、英语老师，在本次期末考试中，三人均被安排在第一考场监考，该考场安排了语文、数学、英语、物理、化学、生物共6门科目考试按照规定，甲、乙、丙3位老师每人监考2门科目，且不监考自己任教学科，则不同的监考方案共有36种【分析】由题意需要分四类，根据分类计数原理可得【解答】解：若甲监考数学和英语，则乙、丙从剩下的4门中任选2门即可，故有C42A2212种，若甲监考数学和不监考英语，则甲再从物理、化学、生物选1门，丙从剩下的3门（包含语文不含英语）选2门，剩下的2门乙监考，故有C31C329种；若甲不监考数学和监考英语，则甲再从物理、化学、生物选1门，乙从剩下的3门（包含语文不含数学）选2门，剩下的2门丙监考，故有C31C329种；若甲不监考数学也不监考英语，则甲从物理、化学、生物选2门，乙一定需要监考英语，在剩下的2门（包含语文不含数学）选1门，剩下的2门丙监考，故有C32C216种，根据分类计数原理，共有12+9+9+636种，故答案为：36【点评】本题考查了分类计数原理，关键是分类，考查了转化能力，属于中档题19已知函数f（x）ax+ln（x）（a0），若对任意的x1，都有，则a的最大值为【分析】不妨设x1x2，原不等式转化为f（x1）+f（x2）+恒成立，令g（x）f（x）+，g（x）在，上应时减函数，根据导数和函数单调性的关系即可求出【解答】解：f（x）ax+lnx，a0函数f（x）在（0，+）上是增函数，x1，不妨设x1x2，f（x1）f（x2），对任意的x1，恒成立f（x1）f（x2）2（），即f（x1）+f（x2）+恒成立令g（x）f（x）+，x，则g（x）在，上应时减函数，g（x）a+0对x，恒成立即a对x，恒成立，由y在，为减函数，ymin，a，故a的最大值为故答案为：【点评】本题考查了利用导数求闭区间上的单调性，考查了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，训练了构造函数求变量的取值范围，属于难题三解答题（共5小题）20已知函数（）求函数f（x）的最小正周期及单调增区间；（）设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且ABC的面积为，求a，b的值【分析】（）利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积，则函数周期可求，再由复合函数的单调性求函数的单调增区间；（）由求得角C，结合已知三角形面积，由正弦定理及余弦定理列方程组求解a，b的值【解答】解：（），f（x）的最小正周期T；由，得，kZ函数f（x）的增区间为；（）由，得，0C，则，即，由，得ab2，由余弦定理c2a2+b22abcosC，a2+b2ab，由解得或【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查yAsin（x+）的图象和性质，考查三角形的解法，是中档题21多面体ABCA1B1C1，AA1BB1CC1，AA14，BB12，AB4，CC13，ABBB1，C1在平面ABB1A1上的射影E是线段A1B1的中点（1）求证：平面ABC平面ABB1A1；（2）若C1E2，求二面角C1AB1A1的余弦值【分析】（）过E作EOA1A交AB于O，连接CO，证明四边形OEC1C是平行四边形，推出C1E面ABB1A1，得到CO面ABB1A1，然后证明面ABC面ABB1A1；（）以点O为坐标原点建立空间直角坐标系，求出面AB1C1的法向量，底面A1B1BA的法向量，利用空间向量的数量积求解即可【解答】（本小题满分12分）解：（）证明：过E作EOA1A交AB于O，连接CO，由梯形的中位线知：，OECC1，又OECC1，故四边形OEC1C是平行四边形，C1E面ABB1A1，则CO面ABB1A1，又CO在面ABC内，面ABC面ABB1A1；（）如图以点O为坐标原点建立空间直角坐标系，COC1E2，A（2，0，0），B1（2，2，0），C1（0，3，2），设面AB1C1的法向量为，依题知：，即，令a1，得b2，c2，底面A1B1BA的法向量为，二面角C1AB1A1的余弦值为说明：若学生用常规法只要运算合理，请酌情给分【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法考查空间想象能力以及逻辑推理能力22已知函数f（x）x2a|x1|1（aR）（1）若f（x）0在xR上恒成立，求a的取值范围；（2）求f（x）在2，2上的最大值M（a）【分析】（1）由题意可得（x21）a|x1|（*）对xR恒成立，讨论x1，x1，x1去掉绝对值，由一次函数的单调性可得a的范围；（2）运用分段函数的形式可得f（x）的解析式，讨论当a3时，当0a3，当a0时，注意对称轴处的函数值与端点处的函数值的大小，求得f（x）的最大值【解答】解：（1）由题意可得（x21）a|x1|（*）对xR恒成立，当x1时，（*）显然成立，此时aR；当x1时，（*）可变形为，令m（x），当x1时，m（x）2，a2；当x1时，m（x）2，所以m（x）2，故此时a2综合，得所求实数a的取值范围是a2；（2）f（x），得f（1）0，f（2）3a，f（2）33a，当a3时，f（2）f（2）f（1）0，M（a）0；当0a3时，f（2）f（2），f（1）f（2）3a即M（a）3a；当a0时，f（1）f（2）f（2）33a，即M（a）33a，所以M（a）【点评】本题考查不等式恒成立问题解法，考查函数的最值求法，注意运用分类讨论思想方法，考查运算能力，属于中档题23已知椭圆C：1（ab0）过点M（1，），左焦点F（，0）（）求椭圆C的方程；（）过点N（，0）作一条直线交椭圆C于A，B两点，又过点N作直线AB的垂线交直线x2于P点，求的最小值【分析】（）由题意可得c，M的坐标代入椭圆方程，以及a， b，c的关系，可得a，b，进而得到椭圆方程；（）当AB与x轴重合时，P点不存在；当AB与x轴垂直时，可得1；当AB与x轴不重合也不垂直，设AB的方程为xmy+（m0），联立椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，可得|AB|，设出NP的方程，联立直线x2，求得P的坐标和|NP|，可得的式子，变形运用基本不等式即可得到所求最小值【解答】解：（）椭圆C：1（ab0）过点M（1，），左焦点F（，0），可得c，+1，且a2b2c2，解得a2，b1，则椭圆方程为+y21；（）当AB与x轴重合时，P点不存在；当AB与x轴垂直时，|AB|，|PN|，1；当AB与x轴不重合也不垂直，设AB的方程为xmy+（m0），代入椭圆方程x2+4y240，可得（4+m2）y2+2my20，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得y1+y2，y1y2，|AB|，又NP的方程为xy+，联立x2可得P（2，m），则|NP|，可求（+）21，（由于m0，即等号取不到），综合可求的最小值为1【点评】本题考查椭圆方程的求法，注意运用点满足椭圆方程，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及化简整理的运算能力，属于中档题24已知函数f（x）（）求证：对于任意x（0，+），不等式f（x）x+1恒成立；（）设函数g（x）（ex1）ln（x+1）x2，x0，+），求函数g（x）的最小值【分析】（I）x（0，+），证明不等式f（x）x+1恒成立；只需证明：ex1x2x0令u（x）ex1x2x，利用导数研究函数的单调性即可得出（II）x（0，+），由（I）可得：x+1，要证明：x+1，只需证明：ln（x+1）x令v（x）ln（x+1）x利用导数研究函数的单调性极值最值即可得出【解答】（I）证明：x（0，+），证明不等式f（x）x+1恒成立；只需证明：ex1x2x0令u（x）ex1x2x，u（x）exx1，令h（x）exx1，则h（x）ex10，函数h（x）在x（0，+）上单调递增，h（x）h（0）0函数u（x）在x（0，+）上单调递增，u（x）u（0）110不等式f（x）x+1恒成立，x（0，+）（II）解：x（0，+），由（I）可得：x+1，要证明：x+1，只需证明：ln（x+1）x令v（x）ln（x+1）xv（x）ln（x+1）+1，令s（x）v（x），则s（x）+0，s（x）在x（0，+）上单调递增，s（x）s（0）0ln（x+1）xx+1，即，（ex1）ln（x+1）x20又g（0）0g（x）0函数g（x）的最小值为0【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题