求通项公式和数列求和的常用方法教师用.docx

精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师举荐细心整理学习必备求递推数列通项公式的常用方法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一公式法：利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法，常用的公式有anSnSn 1 n2 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结*等差数列或等比数列的通项公式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例一已知无穷数列a n的前 n 项和为Sn ，并且anSn1nN ，求a n的通项公式？n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【解析】：S1a ，aSSaa，a1 a ，又 a1 ，a1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nnn 1n 1nnn 1n 1n1n222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结反思：利用相关数列是此题求解的关键 .a n与 Sn的关系： a1S1 , anSnSn 1 n2 与提设条件，建立递推关系，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结跟踪训练 1.已知数列a的前 n 项和 S ，满意关系lg Sn 1n n1,2 .试证数列a是等比数列 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nnn二归纳法：由数列前几项用不完全归纳推测出数列的通项公式，再利用数学归纳法证明其正确性，这种方法叫归纳法 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例二已知数列a n中，a11， an2an 11n2 ，求数列a n的通项公式 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【解析】：a11， an2an 11n2 ，a22a113， a32a217可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n*推测 an21 nN ，再用数学归纳法证明 .（略）反思：用归纳法求递推数列，第一要熟识一般数列的通项公式，再就是肯定要用数学归纳法证明其正确性 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结跟踪训练 2.设 a n是正数组成的数列，其前n 项和为Sn ，并且对于全部自然数n ， an与 1 的等差可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结中项等于Sn 与 1 的等比中项，求数列a n的通项公式 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三累加法：利用ana1a2a1anan 1 求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an 1anf n 的递推数列通项公式的基本方法（f n 可求前 n 项和） .n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例三已知无穷数列a的的通项公式是 a1，如数列b满意 b1， n1 ，求数列b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n的通项公式 .【解析】：b1,bbn21nn1) ,bbn2bb b1nn 1n 111= 21.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1n 1nn121nbn1 =1+222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结反思:用累加法求通项公式的关键是将递推公式变形为nan 1anf n .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结跟踪训练 3.已知 a1 , aa1 nN * ,求数列a通项公式 .n12n 12n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结四累乘法 :利用恒等式aa a2 a3ana0, n2) 求通项公式的方法称为累乘法,累乘法是求型可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n1a1 a2nan 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如:an 1gna n 的递推数列通项公式的基本方法数列g n 可求前 n 项积.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例四已知 a1, anaa nN * ,求数列a通项公式 .1nn 1nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【解析】：anaa ,an 1n1 ,又有 aaa2 a3ana0, n2 =可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn 1nannn1a1 a2nan 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结123n= n ,当 n1 时 a1，满意 an ，an .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结× × ××1nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12n-1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师举荐细心整理学习必备可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结反思: 用累乘法求通项公式的关键是将递推公式变形为an 1gna n .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结跟踪训练4.已知数列是.an满意a11 , ana12a23a3n1an1 n2 .就an的通项公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结五构造新数列 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结类型 1an 1anf n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法：把原递推公式转化为an 1anf n ，利用累加法 逐差相加法 求解。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1:已知数列a满意 a1 ， aa1，求 a 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：由条件知：nan 1121ann 2n 1n1nn nn2nn111nn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分别令n1,2,3, n1，代入上式得n1个等式累加之，即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a2a1 a3a2 a4a3 anan 1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11 1221 11 33411 n1n所以 a n1a11n11131a，a11n22n2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结类型 2an 1f nan可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法：把原递推公式转化为an 1anf n ，利用累乘法 逐商相乘法 求解。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2:已知数列a满意 a2 ， ana，求 a 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n1n 1nn3n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解 ： 由 条件 知an 1a nn， 分 别令 n1123n1an1234na1nn1,2,3, n1 ， 代 入上 式得 n1 个等 式 累 乘 之 ， 即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a2a3a4a1a2a3anan 1又a122，an33n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3:已知 a13 ， an 13n1ann3n21 ，求an 。3n43n7523n13n48536可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： a n3n113 n123n213n2232131a1322323n1 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结变式:（ 2004，全国I, ）已知数列 an ，满意 a1=1， ana12a23a3n1 an 1n 2，就 an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的通项 an1n1 n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：由已知，得an 1a12a23a3n1an 1nan ，用此式减去已知式，得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 n2 时， an 1annan ，即 an 1n1an ，又a2a11，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1a1, a2a11, a3a23, a4a34,anan 1n ，将以上 n 个式子相乘，得 a nn. n2 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结类型 3an 1panq （其中 p，q 均为常数， pq p10 ） 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：等比数列求解。an 1tpant ，其中 tq，再利用换元法转化为1p可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 4:已知数列an中， a11 ， an 12an3，求 an .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：设递推公式an 12an3 可以转化为an 1t2ant 即 an 12antt3 .故递推公式为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a32 a3 ,令ba3，就 ba 34 ,且 bn 1a n 132 .所以b 是以 b4 为首项， 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 1nnn11n1bna n3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结为公比的等比数列，就bn42n 12n1 ,所以 a2n 13 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n变式:（ 2006，重庆 ,文,14）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师举荐细心整理学习必备可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在数列an中，如 a11, an 12an3n1 ，就该数列的通项an 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ key: an类型 4a2n 13 ）paqn （其中 p， q 均为常数， pq p1 q10 ）。（或aparq n ,其中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 1nn 1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结p，q,r 均为常数）。解法：一般的，要先在原递推公式两边同除以q n 1 ，得：an 1qn 1p anq q n1 引入帮助数列qbn（其中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a nbnnq），得： bn 1p b1 再待定系数法解决。nqq可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 5:已知数列a中， a5 , a1 a1n 1 ，求 a。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n1n 16nn32可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：在an 11 an31 n21 两边乘以2 n 1 得： 2 n 1an 12 2n3a n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n令 b2nan ，就 bn21bn31 ,解之得： bn2n323可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结bn所以 a nn23 1 n22 1 n3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结类型 5 递推公式为an 2pan 1qan （其中 p，q 均为常数）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解 特 征 根 法 ： 对 于 由 递 推 公 式an 2pan 1qan， a1, a2给 出 的 数 列an， 方 程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2pxq0 ，叫做数列an的特点方程。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结121如 x1 , x2 是特点方程的两个根，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 x1x2 时，数列an的通项为 anAxn 1Bxn1 ，其中 A ，B 由 a, a2打算（即把a1 , a2, x1, x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11和 n1,2 ，代入 anAx n 1Bxn1 ，得到关于 A 、B 的方程组）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12当 x1x2 时，数列an的通项为 an ABn x n1 ，其中 A ，B 由 a, a2打算（即把a1 , a2, x1, x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结和 n1,2 ，代入 an ABnx n1 ，得到关于 A 、B 的方程组）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1例 6: 数列 an： 3an 25an 12an0 n0, nN) ，a1a, a2b ,求 an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解（特点根法）：的特点方程是：3x 25x20 。2x11, x2,13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1naAxn 1a ABBxn 1A2A3bB 2 n32a1 。又由 aa, a2b ，于是2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b A2 B 3B3ab故 an3b2a3abn 13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结练习:已知数列an中， a11 , a22 , a n 22a n 131 a ，求n3an 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结key : an73 1 n 1 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结443变式:（ 2006，福建 ,文,22）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结已知数列a满意 a1, a3,a3a2a nN * . 求数列 a的通项公式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n12n 2n 1nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ I）解：ananan 1 an 1an 2 .a2a1 a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2n 12n 2.21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n*21nN .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结类型 6 递推公式为Sn 与an 的关系式。 或 Snf an 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S1n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解 法 ： 利 用an与 anSnSn 1f an f an 1 消 去 Sn n2 或 与可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结SnSn 1n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结SnfSnSn 1 n2 消去名师举荐细心整理学习必备an 进行求解。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 7：数列a前 n 项和 S4a1.（1）求a与 a 的关系。（2）求通项公式 a .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n解：（ 1）由 Sn4ann12 n 2n得： Sn2n 214a n 1n 1nn12 n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结于是 Sn 1Sn ana n 1 1n 2212 n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 a n 1ana n 112 n 1an 1112 an2 n .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an（ 2）应用类型 4（ an 1panq n （其中 p，q 均为常数， pq p1 q10 ）的方法，上式两边可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结同乘以2 n 1 得： 2n 12n a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 1由 a1S14a1121 2a11 . 于是 数列n2 an是以2为首 项， 2为 公差 的等 差 数 列， 所以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n2n a22n12nann2n 1数列求和的常用方法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数列求和是数列的重要内容之一，也是高考数学的重点考查对象。数列求和的基本思路是，抓通项，找规律，套方法。下面介绍数列求和的几种常用方法：一、直接（或转化）由等差、等比数列的求和公式求和利用以下常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、等差数列求和公式：Snn a12an na1n n21 d可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结na1n2、等比数列求和公式：Sna1 1q a1an qq1q1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1q1qn1n21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、Snkn n1k 12n3124、 Snkk 1n n 612n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5、Snkk 1n n 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1（07 高考山东文 18）设 an是公比大于 1 的等比数列，Sn 为数列 an 的前 n项和已知S37 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结且 a13，3a2，a34 构成等差数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）求数列 an 的等差数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）令 bnln a3 n1，n1，2， ，求数列 bn的前 n 项和 T 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a1a2a37，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：（ 1）由已知得: a13a3423a2 .解得 a22 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设数列 a 的公比为 q ，由 a2 ，可得 a2 ， a2q 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n213q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 S37 ，可知 222qq7 ，即2q25q20 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解得 q2， q1由题意得 q1， q2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a11 故数列 an 的通项为 an2n 1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）由于 bnln a3n1，n1，2， ，由（ 1）得a3n 123n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结bln 23n3n ln 2 ，又 bb3ln 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n bn 是等差数列n 1nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Tnb1b2 nb12bn bn 名师举荐细心整理学习必备可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n3ln 23ln 22故Tn3nn21 ln 2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3nn21 ln 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n练习：设 S 1+2+3+n， nN*, 求二、错位相减法f nSnn32Sn的最大值 .1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设数列减法。an的等比数列，数列bn是等差数列，就数列an bn的前 n项和 Sn 求解，均可用错位相可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2（07 高考天津）在数列a中， a2， aan 122 n nN ，其中0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）求数列（）求数列n1an的通项公式。an的前 n 项和 Sn 。n 1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）解：由an 1ann 1n 122 n nN1n ，0 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可得 an 12n 1an2，n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以annn2为等差数列，其公差为1，首项为 0，故 annn2n1 ，所以数列an的通项公可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结式为 ann1n2 n 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）解：设 Tn22334n2n 1n1n ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结T23345n n2nn1n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当1 时，式减去式，2n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结23得 1Tnnn1) n 11 n1n 1，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2n 1n1n 1n1n 2nn 12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Tn12112可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结这时数列a的前 n 项和 Sn1n 2nn 122n 12 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n当1 时， Tnn n2n1这时数列1 2an的前 n 项和 Snn n212n 12 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3（ 07 高考全国文21）设 an 是等差数列， bn是各项都为正数的等比数列，且a1b11 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a3b521， a5b313（）求 an ， bn 的通项公式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）求数列a n的前 n 项和bnSn 412 dq21，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：（）设an的公差为 d ， bn的公比为 q ，就依题意有 q0 且14 dq 213，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解得 d2 ， q2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 an1 n1d2n