2018_2019学年高中数学第二章平面向量章末复习课学案北师大版必修.doc

第二章 平面向量章末复习课网络构建核心归纳1平面向量的基本概念主要应掌握向量的概念、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念，这些概念是考试的热点，一般都是以选择题或填空题出现，尤其是单位向量常与向量的平行与垂直的坐标形式结合考查2向量的线性运算主要应掌握向量加法的三角形法则与平行四边形法则，甚至推广到向量加法的多边形法则；掌握向量减法的三角形法则；数乘向量运算的性质和法则及运算律同时要灵活运用这些知识解决三点共线、两线段相等及两直线平行等问题3向量的坐标运算主要应掌握向量坐标运算的法则、公式进行向量加、减与数乘运算；能用向量共线的坐标表示证明两向量平行或证明三点共线；能用平面向量基本定理和基底表示平面内任意一个向量4平面向量的数量积平面向量的数量积是向量的核心内容，主要应掌握向量的数量积的定义、法则和公式进行相关运算，特别是向量的模、夹角、平行与垂直等运算；能用向量数量积的坐标形式求向量的模、夹角，证明向量平行或垂直，能解答有关综合问题5平面向量的应用一是要掌握平面几何中的向量方法，能用向量证明一些平面几何问题、能用向量求解一些解析几何问题；二是能用向量解决一些物理问题，如力、位移、速度等问题要点一向量共线问题运用向量平行(共线)证明常用的结论有：(1)向量a、b(a0)共线存在唯一实数，使ba；(2)向量a(x1，y1)，b(x2，y2)共线x1y2x2y10；(3)向量a与b共线|ab|a|b|；(4)向量a与b共线存在不全为零的实数1，2，使1a2b0.判断两向量所在的直线共线时，除满足定理的要求外，还应说明此两直线有公共点【例1】设坐标平面上有三点A、B、C，i、j分别是坐标平面上x轴，y轴正方向的单位向量，若向量i2j，imj，那么是否存在实数m，使A、B、C三点共线解方法一假设满足条件的m存在，由A、B、C三点共线，即，存在实数，使，i2j(imj)，m2，当m2时，A、B、C三点共线方法二假设满足条件的m存在，根据题意可知：i(1,0)，j(0,1)，(1,0)2(0,1)(1，2)，(1,0)m(0,1)(1，m)，由A、B、C三点共线，即，故1m1(2)0，解得m2，当m2时，A、B、C三点共线【训练1】证明：起点相同的三个向量a，b,3a2b的终点在一条直线上(ab)证明如图，设a，b，3a2b，(3a2b)a2(ab)，ba，2，共线又，有共同起点A，A，B，C在同一条直线上起点相同的三个向量a，b,3a2b的终点在一条直线上(ab)要点二平面向量的线性运算1向量的加法、减法和数乘向量的综合运算通常叫作向量的线性运算主要是运用它们的运算法则、运算律，解决三点共线、两线段平行、线段相等、求点或向量的坐标等问题，而理解相关概念，用基底或用坐标表示向量是基础2向量是一个有“形”的几何量，因此在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析判断求解，特别是平行四边形法则和三角形法则的应用【例2】如图所示，已知OAB中，点C是以A为中心的点B的对称点，D是将分成21的一个内分点，DC和OA交于E，设a，b.(1)用a和b表示向量、；(2)若，求实数的值解(1)依题意，A是BC的中点，2，即22ab.2abb2ab.(2)设，则a(2ab)(2)ab.与共线，存在实数k，使k，(2)abk，解得.【训练2】计算：(1)3(6ab)9(ab)；(2)2；(3)2(5a4bc)3(a3bc)7a.解(1)原式18a3b9a3b9a.(2)原式ababab0.(3)原式10a8b2c3a9b3c7abc.要点三平面向量的坐标运算1向量的坐标表示实际上是向量的代数表示引入向量的坐标表示后，向量的运算完全化为代数运算，实现数与形的统一2向量的坐标运算是将几何问题代数化的有力工具，它是转化思想、函数与方程、分类讨论、数形结合等思想方法的具体体现3通过向量坐标运算主要解决求向量的坐标、向量的模、夹角，判断共线、平行、垂直等问题【例3】平面内给定三个向量a(3,2)，b(1,2)，c(4,1)(1)求ab；(2)(akc)(2ba)，求实数k；(3)设d(x，y)，满足(dc)(ab)，且|dc|1，求d.解(1)ab(3,2)(1,2)341.(2)因为(akc)(2ba)，而akc(34k,2k)，2ba(5,2)，所以2(34k)5(2k)0，即k.(3)因为dc(x4，y1)，ab(2,4)，又(dc)(ab)，|dc|1，所以解得或所以d或d.【训练3】已知点A(1,2)，B(2,8)及，.求点C，D和的坐标解A(1,2)，B(2,8)(2,8)(1,2)(3,6)，(1,2)，(1,2)则(1,2)(1,2)(0,4)，(1,2)(1,2)(2,0)C，D的坐标分别为(0,4)和(2,0)(2，4)要点四向量的夹角及垂直问题1求两个向量的夹角主要利用两个公式：(1)cos ，求解的前提是：求出这两个向量的数量积和模(2)cos ，求解的前提是：求出两个向量的坐标2解决垂直问题，其关键在于将问题转化为它们的数量积为零，与求夹角一样，若向量能用坐标表示，将它转化为“x1x2y1y20”较为简单3用向量方法解决平面几何中的夹角与垂直问题的关键在于：选用适当向量为基底，把所要研究的问题转化为两向量的夹角与垂直问题，再利用向量知识求角【例4】已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(1,4)(1)求证：ABAD；(2)若四边形ABCD为矩形，求点C的坐标以及矩形ABCD两对角线所夹锐角的余弦值(1)证明A(2,1)，B(3,2)，D(1,4)，(1,1)，(3,3)1(3)130，即ABAD.(2)解，四边形ABCD为矩形，.设C点坐标为(x，y)，则(x1，y4)，解得点C坐标为(0,5)从而(2,4)，(4,2)，且|2，|2，8816，设与的夹角为，则|cos |.矩形ABCD的两条对角线所夹锐角的余弦值为.【训练4】已知O为坐标原点，向量(3sin ，cos )，(2sin ，5sin 4cos )，且，则tan 的值为()A BC. D.解析由题意知6sin2cos (5sin 4cos )0，即6sin25sin cos 4cos20，上述等式两边同时除以cos2，得6tan25tan 40，由于，则tan 0，解得tan ，故选A.答案A要点五向量的长度(模)与距离的问题向量的模不仅是研究向量的一个重要量，而且是利用向量的方法解决几何问题的一个交汇点一般地，求向量的模主要利用公式|a|2a2，将它转化为向量的数量积问题，再利用数量积的运算律和运算性质进行展开、合并，使问题得以解决，或利用公式|a|，将它转化为实数问题，使问题得以解决【例5】设|a|b|1，|3a2b|3，求|3ab|的值解方法一|3a2b|3，9a212ab4b29.又|a|b|1，ab.|3ab|2(3ab)29a26abb296112.|3ab|2.方法二设a(x1，y1)，b(x2，y2)|a|b|1，xyxy1.3a2b(3x12x2,3y12y2)，|3a2b|3.x1x2y1y2.|3ab| 2.【训练5】设0<|a|2，f(x)cos2x|a|sin x|b|的最大值为0，最小值为4，且a与b的夹角为45，求|ab|.解f(x)1sin2 x|a|sin x|b|2|b|1.0<|a|2，当sin x时，|b|10；当sin x1时，|a|b|4.由得|ab|2(ab)2a22abb222222cos 452284，|ab|2.基础过关1设向量a，b满足|a|b|1，ab，则|a2b|()A. B. C. D.解析|a2b|.答案B2已知向量a(2,1)，b(3,4)，则向量a在b方向上的射影为()A. B. C D解析|a|cos .答案D3若a，b是非零向量且满足(a2b)a，(b2a)b，则a与b的夹角是()A. B. C. D.解析a22ab0，b22ab0，a2b2，|a|b|，cos .答案B4已知向量a(1，2)，b(m，1)若向量ab与a垂直，则m_解析由题意得ab(m1，3)，因为ab与a垂直，所以(ab)a0，所以(m1)230，解得m7.答案75已知向量a(，1)，b(0，1)，c(k，)，若a2b与c共线，则k_.解析a2b(，3)，(a2b)c，33k0，k1.答案16已知|a|，|b|1.(1)若a，b的夹角为45，求|ab|；(2)若(ab)b，求a与b的夹角.解(1)|ab|1.(2)(ab)b，(ab)babb21cos 10，cos ，又0，.7已知(2,1)，(1,7)，(5,1)，设C是直线OP上的一点(其中O为坐标原点)(1)求使取得最小值时的；(2)对(1)中求出的点C，求cosACB.解(1)点C是直线OP上的一点，向量与共线，设t(tR)，则t(2,1)(2t，t)，(12t,7t)，(52t,1t)，(12t)(52t)(7t)(1t)5t220t125(t2)28.当t2时，取得最小值，此时(4,2)(2)由(1)知(4,2)，(3,5)，(1，1)，|，|，358.cosACB.能力提升8在ABC中，M是BC的中点，AM1，点P在AM上且满足2，则()等于()A B C. D.解析()22|cos 1802(1).答案A9已知a，b，ab,02，则角等于()A. B.C.或 D.或解析因为ab，所以sin cos ，所以tan ，又02，所以或.答案D10在等腰ABC中，ABAC2，ABC，D是BC的中点，则在方向上的射影是_解析由题意知，与所成的角为，在方向上的射影是2cos.答案11已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，ae12e2，bke1e2，若ab0，则实数k的值为_解析由题意得：ab(e12e2)(ke1e2)0，即kee1e22ke1e22e0，则kcos2kcos20，化简得k.答案12.在ABC中，DEBC，与边AC相交于点E，ABC的中线AM与DE相交于点N，如右图所示，设a，b，试用a，b表示.解M为BC的中点()(ba)，(ab)，根据向量共线的条件，存在实数和，使得(ba)，(ab)，a(ba)ab.根据平面向量基本定理得解方程得，故(ba)13(选做题)已知(6,1)，(x，y)，(2，3)(1)若，求x与y之间的关系式；(2)在(1)条件下，若，求x，y的值及四边形ABCD的面积解(1)(x4，y2)，(x4,2y)又且(x，y)，x(2y)y(x4)0，即x2y0.(2)由于(x6，y1)，(x2，y3)，又，所以0，即(x6)(x2)(y1)(y3)0.联立化简，得y22y30.解得y3或y1.故当y3时，x6，此时(0,4)，(8,0)，所以SABCD|16；当y1时，x2，此时(8,0)，(0，4)，SABCD|16.