2015年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷(文).doc

2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)(文科)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟第卷一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1i为虚数单位，i607()AiBiC1 D12我国古代数学名著数书九章有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为()A134石 B169石C338石 D1 365石3命题“x0(0，)，ln x0x01”的否定是()Ax(0，)，ln xx1Bx/(0，)，ln xx1Cx0(0，)，ln x0x01Dx0/(0，)，ln x0x014已知变量x和y满足关系y0.1x1，变量y与z正相关下列结论中正确的是()Ax与y正相关，x与z负相关Bx与y正相关，x与z正相关Cx与y负相关，x与z负相关Dx与y负相关，x与z正相关5l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线，q：l1，l2不相交，则()Ap是q的充分条件，但不是q的必要条件Bp是q的必要条件，但不是q的充分条件Cp是q的充分必要条件Dp既不是q的充分条件，也不是q的必要条件6函数f(x)lg的定义域为()A(2，3)B(2，4C(2，3)(3，4 D(1，3)(3，67.设xR，定义符号函数sgn x则()A|x|x|sgn x| B|x|xsgn|x|C|x|x|sgn x D|x|xsgn x8在区间0，1上随机取两个数x，y，记p1为事件“xy”的概率，p2为事件“xy”的概率，则()Ap1p2 Bp2p1C.p2p1 Dp1p29将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(ab)同时增加m(m0)个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则()A对任意的a，b，e1e2B当ab时，e1e2；当ab时，e1e2C对任意的a，b，e1e2D当ab时，e1e2；当ab时，e1e210已知集合A(x，y)|x2y21，x，yZ，B(x，y)|x|2，|y|2，x，yZ，定义集合AB(x1x2，y1y2)|(x1，y1)A，(x2，y2)B，则AB中元素的个数为()A77 B49C45 D30第卷二、填空题(本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在题中横线上)12若变量x，y满足约束条件则3xy的最大值是_13函数f(x)2sin xsinx2的零点个数为_14某电子商务公司对10 000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间0.3，0.9内，其频率分布直方图如图所示(1)直方图中的a_；(2)在这些购物者中，消费金额在区间0.5，0.9内的购物者的人数为_15如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD_m.16.如图，已知圆C与x轴相切于点T(1，0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|2.(1)圆C的标准方程为_；(2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为_17a为实数，函数f(x)|x2ax|在区间0，1上的最大值记为g(a)当a_时，g(a)的值最小三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)18(本小题满分12分)某同学用“五点法”画函数f(x)Asin(x)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x02xAsin(x)0550(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；(2)将yf(x)图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到yg(x)的图象，求yg(x)的图象离原点O最近的对称中心19(本小题满分12分)设等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，等比数列bn的公比为q.已知b1a1，b22，qd，S10100.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)当d1时，记cn，求数列cn的前n项和Tn.20(本小题满分13分)九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑在如图所示的阳马P­ABCD中，侧棱PD底面ABCD，且PDCD，点E是PC的中点，连接DE，BD，BE.(1)证明：DE平面PBC.试判断四面体EBCD是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，请说明理由(2)记阳马P­ABCD的体积为V1，四面体EBCD的体积为V2，求的值21(本小题满分14分)设函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，f(x)g(x)ex，其中e为自然对数的底数(1)求f(x)，g(x)的解析式，并证明：当x>0时，f(x)>0，g(x)>1；(2)设a0，b1，证明：当x>0时，ag(x)(1a)<bg(x)(1b)22(本小题满分14分)一种画椭圆的工具如图(1)所示O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处的铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DNON1，MN3.当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C.以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图(2)所示的平面直角坐标系(1)求椭圆C的方程；(2)设动直线l与两定直线l1：x2y0和l2：x2y0分别交于P，Q两点若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由参考答案与详解本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟第卷一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1解析：选B因为i41，所以i607i6043(i4)151·i3i3i，故选B.2解析：选B设1 534石米内夹谷x石，则由题意知，解得x169.故这批米内夹谷约为169石3解析：选A改变原命题中的三个地方即可得其否定，改为，x0改为x，否定结论，即ln xx1，故选A.4解析：选C因为y0.1x1的斜率小于0，故x与y负相关因为y与z正相关，可设zbya，b0，则zbya0.1bxba，故x与z负相关5解析：选A若l1，l2异面，则l1，l2一定不相交；若l1，l2不相交，则l1，l2是平行直线或异面直线，故pq，q/ p，故p是q的充分不必要条件6解析：选C法一：当x3和x5时，函数均没有意义，故可以排除选项B，D；当x4时，函数有意义，可排除选项A，故选C.法二：由得故函数定义域为(2，3)(3，4，故选C. 7.解析：选D当x0时，|x|x，x|sgn x|x，xsgn|x|x，|x|sgn x(x)·(1)x，排除A，B，C，故选D.8解析：选D如图，满足条件的x，y构成的点(x，y)在正方形OBCA内，其面积为1.事件“xy”对应的图形为阴影ODE，其面积为××，故p1；事件“xy”对应的图形为斜线表示部分，其面积显然大于，故p2，则p1p2，故选D.9解析：选B由题意e1 ；双曲线C2的实半轴长为am，虚半轴长为bm，离心率e2 .因为，且a0，b0，m0，ab，所以当ab时，0，即.又0，0，所以由不等式的性质依次可得，11，所以 ，即e2e1；同理，当ab时，0，可推得e2e1.综上，当ab时，e1e2；当ab时，e1e2.10解析：选CA(x，y)|x2y21，x，yZ(x，y)|x±1，y0；或x0，y±1；或x0，y0，B(x，y)|x|2，|y|2，x，yZ(x，y)|x2，1，0，1，2；y2，1，0，1，2，AB表示点集由x11，0，1，x22，1，0，1，2，得x1x23，2，1，0，1，2，3，共7种取值可能同理，由y11，0，1，y22，1，0，1，2，得y1y23，2，1，0，1，2，3，共7种取值可能当x1x23或3时，y1y2可以为2，1，0，1，2中的一个值，分别构成5个不同的点，当x1x22，1，0，1，2时，y1y2可以为3，2，1，0，1，2，3中的一个值，分别构成7个不同的点，故AB共有2×55×745(个)元素第卷二、填空题(本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在题中横线上)1112解析：画出可行域，如图阴影部分所示，设z3xy，则y3xz.平移直线y3x知当直线y3xz过点A时，z取得最大值由可得A(3，1)故zmax3×3110.答案：1013解析：f(x)2sin xsinx22sin xcos xx2sin 2xx2，由f(x)0，得sin 2xx2.设y1sin 2x，y2x2，在同一平面直角坐标系中画出二者的图象，如图所示由图象知，两个函数图象有两个交点，故函数f(x)有两个零点答案：214解析：(1)由0.1×1.50.1×2.50.1a0.1×2.00.1×0.80.1×0.21，解得a3.(2)区间0.3，0.5)内的频率为0.1×1.50.1×2.50.4，故0.5，0.9)内的频率为10.40.6.因此，消费金额在区间0.5，0.9内的购物者的人数为0.6×10 0006 000.答案：(1)3(2)6 00015解析：由题意，在ABC中，BAC30°，ABC180°75°105°，故ACB45°.又AB600 m，故由正弦定理得，解得BC300 m.在RtBCD中，CDBC·tan 30°300×100 (m)答案：10016.解析：(1)取AB的中点D，连接CD，则CDAB.由题意|AD|CD|1，故|AC|，即圆C的半径为.又因为圆C与x轴相切于点T(1，0)，所以圆心C的坐标为(1，)，故圆C的标准方程为(x1)2(y)22.(2)令(x1)2(y)22中的x0，解得y±1，故B(0，1)直线BC的斜率为1，故切线的斜率为1，切线方程为yx1.令y0，解得x1，故所求截距为1.答案：(1)(x1)2(y)22(2)117解析：(1)当a0时，f(x)x2，函数f(x)在区间0，1上单调递增，故g(a)f(1)1.(2)当a0时，函数f(x)的图象如图(1)所示，函数f(x)在区间0，1上单调递增，故g(a)f(1)1a.(3)当0a1时，函数f(x)的图象如图(2)所示，f，f(1)1a，ff(1)(1a).当0a22时，因为ff(1)0，即ff(1)，所以g(a)f(1)1a；当22a1时，因为ff(1)0，即ff(1)，所以g(a)f.(4)当1a2时，函数f(x)的图象如图(3)所示，因为函数f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，故g(a)f.(5)当a2时，函数f(x)的图象如图(4)所示，因为函数f(x)在区间0，1上单调递增，故g(a)f(1)a1.综上，g(a)当a22时，g(a)g(22)32；当22a2时，g(a)g(22)32；当a2时，g(a)g(2)132.综上，当a22时，g(a)min32.答案：22三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)18解：(1)根据表中已知数据，解得A5，2，数据补全如下表：x02xAsin(x)05050且函数解析式为f(x)5sin.(2)由(1)知f(x)5sin，因此g(x)5sin5sin.因为ysin x的对称中心为(k，0)，kZ，令2xk，kZ，解得x，kZ，即yg(x)图象的对称中心为，kZ，其中离原点O最近的对称中心为.19解：(1)由题意有即解得或故或(2)由d1，知an2n1，bn2n1，故cn，于是Tn1，Tn.可得Tn23，故Tn6.20解：(1)因为PD底面ABCD，所以PDBC.由底面ABCD为长方形，有BCCD.而PDCDD，所以BC平面PCD.因为DE平面PCD，所以BCDE.又因为PDCD，点E是PC的中点，所以DEPC.而PCBCC，所以DE平面PBC.由BC平面PCD，DE平面PBC，可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD是一个鳖臑，其四个面的直角分别是BCD，BCE，DEC，DEB.(2)由已知，PD是阳马P­ABCD的高，所以V1S长方形ABCD·PDBC·CD·PD.由(1)知，DE是鳖臑D­BCE的高，BCCE，所以V2SBCE·DEBC·CE·DE.在RtPDC中，因为PDCD，点E是PC的中点，所以DECECD，于是4.21解：(1)由f(x)，g(x)的奇偶性及f(x)g(x)ex，得f(x)g(x)ex.联立解得f(x)(exex)，g(x)(exex)当x>0时，ex>1，0<ex<1，故f(x)>0.又由基本不等式，有g(x)(exex)> 1，即g(x)>1.(2)证明：由(1)得f(x)(exex)g(x)，g(x)(exex)f(x)，当x>0时，>ag(x)(1a)等价于f(x)>axg(x)(1a)x，<bg(x)(1b)等价于f(x)bxg(x)(1b)x.设函数h(x)f(x)cxg(x)(1c)x，由，有h(x)g(x)cg(x)cxf(x)(1c)(1c)g(x)1cxf(x)当x0时，a若c0，由，得h(x)>0，故h(x)在0，)上为增函数，从而h(x)>h(0)0，即f(x)>cxg(x)(1c)x，故成立b若c1，由，得h(x)<0，故h(x)在0，)上为减函数，从而h(x)<h(0)0，即f(x)<cxg(x)(1c)x，故成立综上，知ag(x)(1a)<<bg(x)(1b)22解：(1)因为|OM|MN|NO|314，当M，N在x轴上时，等号成立；同理，|OM|MN|NO|312，当D，O重合，即MNx轴时，等号成立，所以椭圆C的中心为原点O，长半轴长为4，短半轴长为2，其方程为1.(2)当直线l的斜率不存在时，直线l为x4或x4，都有SOPQ×4×48.当直线l的斜率存在时，设直线l：ykxm，由消去y，可得(14k2)x28kmx4m2160.因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，所以64k2m24(14k2)(4m216)0，即m216k24.(*1)又由可得P；同理可得Q.由原点O到直线PQ的距离为d和|PQ|xPxQ|，可得SOPQ|PQ|·d|m|xPxQ|·|m|·.(*2)将(*1)代入(*2)，得SOPQ8.当k2时，SOPQ888；当0k2，SOPQ88.因为0k2时，则014k21，2，所以SOPQ88，当且仅当k0时取等号所以当k0时，SOPQ取最小值为8.综合可知，当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，OPQ的面积取得最小值8.