2022年高等数学教案 .pdf

学习必备欢迎下载高等数学教案一、课程的性质与任务高等数学是计算机科学与技术；信息管理与信息系统两个专业的一门重要的基础理论课，通过本课程的学习，也是该专业的核心课程。要使学生获得“向量代数”与“空间解析几何”， “微积分”， “常微分方程与无穷级数”等方面的基本概论、基本理论与基本运算；同时要通过各个教学环节逐步培训学生的抽象概括能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力。在传授知识的同时，要着眼于提高学生的数学素质，培养学生用数学的方法去解决实际问题的意识、兴趣和能力。第一章：函数与极限教学目的与要求1.解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。2.解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。4.掌握基本初等函数的性质及其图形。5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。6.掌握极限的性质及四则运算法则。7.了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。8.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。9.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。第一节：映射与函数一、集合1、 集合概念具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。组成这个集合的事物称为该集合的元素表示方法：用A，B，C， D 表示集合；用a， b，c，d 表示集合中的元素1),321aaaA2)PxxA的性质元素与集合的关系：AaAa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 49 页学习必备欢迎下载一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集 ；不是有限集的集合称为无限集 。常见的数集：N，Z，Q，R，N+元素与集合的关系：A、B 是两个集合，如果集合A 的元素都是集合B 的元素，则称A 是 B的子集 ，记作BA。如果集合A 与集合 B 互为子集，则称A 与 B 相等 ，记作BA若作BA且BA则称 A 是 B 的真子集 。空集：A2、 集合的运算并集BA：Ax|xBABx或交集BA：Ax|xBABx且差集BA：|BxAxxBA且全集 I 、E 补集CA：集合的并、交、余运算满足下列法则：交换律、ABBAABBA结合律、)()(CBACBA)()(CBACBA分配律)()()(CBCACBA)()()(CBCACBA对偶律(cccBABA)cccBABA)(笛卡儿积AB|),(ByAxyx且3、 区间和邻域开区间),(ba闭区间ba,半开半闭区间baba,有限、无限区间邻域：)(aU),(axaxaUa 邻域的中心邻域的半径去心邻域),(aU二、映射精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 49 页学习必备欢迎下载1.映射概念定义设 X，Y 是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得对X 中的每一个元素x，按法则f，在 Y 中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为从 X 到 Y 的映射 ，记作YXf：其中y称为元素x的像，并记作)(xf，即)(xfy注意： 1）集合 X；集合 Y；对应法则f2）每个 X 有唯一的像；每个Y 的原像不唯一3) 单射、满射、双射2、 映射、复合映射三、函数1、 函数的概念：定义：设数集RD，则称映射RDf :为定义在D 上的函数记为Dxxfy)(自变量、因变量、定义域、值域、函数值用f、g、函数相等：定义域、对应法则相等自然定义函数；单值函数；多值函数、单值分枝. 例： ) 2) x3) 符号函数010001xxxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 49 页学习必备欢迎下载4) 取整函数xy（阶梯曲线）5) 分段函数11102xxxxy2、 函数的几种特性1） 函数的有界性(上界、下界；有界、无界) 有界的充要条件：既有上界又有下界。注：不同函数、不同定义域，有界性变化。2) 函数的单调性（单增、单减）在x1、x2点比较函数值)(1xf与)(2xf的大小（注：与区间有关）3) 函数的奇偶性(定义域对称、)(xf与)( xf关系决定 ) 图形特点(关于原点、 Y 轴对称 ) 4)函数的周期性(定义域中成立：)()(xflxf) 3、反函数与复合函数反函数 ：函数)(:DfDf是单射，则有逆映射xyf)(1，称此映射1f为f函数的反函数函数与反函数的图像关xy于对称复合函数 ：函数)(ygu定义域为D1，函数)(xfy在 D 上有定义、且1)(DDf。则)()(xfgxfgu为复合函数。(注意：构成条件) 4、函数的运算和、差、积、商(注：只有定义域相同的函数才能运算) 5、初等函数：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 49 页学习必备欢迎下载1) 幂函数：axy2)指数函数：xay3) 对数函数)(logxya4)三角函数)cot(),tan(),cos(),sin(xyxyxyxy5) 反三角函数)arcsin(xy，)ar c c o s (xy)cot()arctan(xarcyxy以上五种函数为基本初等函数6) 双曲函数2xxeesh x2xxeec h xxxxxeeeechxshxthx注：双曲函数的单调性、奇偶性。双曲函数公式shyshxchychxyxchshyshxchychxyxchshychxchyshxyxshshychxchyshxyxsh)()()()(反双曲函数：arthxyarchxyarshxy作业 ： 同步练习册练习一精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 49 页学习必备欢迎下载第二节：数列的极限一、数列数列就是由数组成的序列。1）这个序列中的每个数都编了号。2）序列中有无限多个成员。一般写成：naaaaa4321缩写为nu例 1 数列n1是这样一个数列nx，其中nxn1，5, 4, 3, 2, 1n也可写为：514131211可发现：这个数列有个趋势，数值越来越小，无限接近0，记为01limnn1、极限的N定义 ：axNnNn0则称数列nx的极限为a，记成axnnl i m也可等价表述：1）)(0axNnNn2）)(0aOxNnNn极限是数列中数的变化总趋势，因此与数列中某个、前几个的值没有关系。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 49 页学习必备欢迎下载二、 收敛数列的性质定理 1：如果数列nx收敛，那么它的极限是唯一定理 2 如果数列nx收敛，那么数列nx一定有界定理 3：如果axnxlim且 a0(a0 ，当 nN 时，)0(0nnxx定理 4、如果数列nx收敛于 a那么它的任一子数列也收敛 ,且收敛于a。第三节：函数的极限一、极限的定义1、在0 x点的极限1）0 x可在函数的定义域内，也可不在，不涉及f在0 x有没有定义，以及函数值)(0 xf的大小。只要满足：存在某个0使：Dxxxx),(),(0000。2）如果自变量x趋于0 x时，相应的函数值)(xf有一个总趋势 - 以某个实数A为极限，则记为：Axfxx)(lim0。形式定义为：Axfxxx)()0(00注：左、右极限。单侧极限、极限的关系2、x的极限设：),()(xxfy如果当时函数值有一个总趋势- 该曲线有一条水平渐近线精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 49 页学习必备欢迎下载Ay- 则称函数在无限远点有极限。记为：Axfx)(lim在无穷远点的左右极限：)(lim)(xffx)(lim)(xffx关系为：)(lim)(lim)(limxfAxfAxfxxx二、函数极限的性质1、 极限的唯一性2、 函数极限的局部有界性3、 函数极限的局部保号性4、 函数极限与数列极限的关系第四节：无穷小与无穷大一、无穷小定义定义：对一个数列nx，如果成立如下的命题：nxNnN0则称它为无穷小量，即0limnxx注：1、的意义；2、nx可写成0nx；),0(nx3、上述命题可翻译成：对于任意小的正数，存在一个号码N，使在这个号码以后的所有的号码n，相应的nx与极限 0 的距离比这个给定的还小。它是我们在直观上对于一个数列趋于0 的认识。定理 1 在自变量的同一变化过程0 xx（或)x中，函数xf具有极限A 的充分必要条件是Axf)(，其中是无穷小。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 49 页学习必备欢迎下载二、无穷大定义一个数列nx，如果成立：GxNnNGn0那么称它为无穷大量。记成：nxxlim。特别地，如果GxNnNGn0，则称为正无穷大，记成nxxlim特别地，如果GxNnNGn0，则称为负无穷大，记成nxxlim注：无法区分正负无穷大时就笼统地称之为无穷大量。三、无穷小和无穷大的关系定理 2 在自变量的同一变化过程中，如果)(xf为无穷大，则)(1xf为无穷小；反之，如果)(xf为无穷小，且0)(xf则)(1xf为无穷大即：非零的无穷小量与无穷大量是倒数关系：当0nx时：有nxxx1lim0lim01limlimnxxx注意是在自变量的同一个变化过程中第五节：极限运算法则1、无穷小的性质设nx和ny是无穷小量于是：（1）两个无穷小量的和差也是无穷小量：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 49 页学习必备欢迎下载0)(lim0lim0limnnxnxnxyxyx（ 2）对于任意常数C，数列nxc也是无穷小量：0)(lim0limnxnxxcx（ 3）nyxn也是无穷小量，两个无穷小量的积是一个无穷小量。0)(lim0lim0limnnxnxnxyxyx（ 4）nx也是无穷小量：0lim0lim00nxxnxxxx（ 5）无穷小与有界函数的积为无穷小。2、函数极限的四则运算1、 若函数f和g在点0 x有极限，则)(lim)(lim)()(lim000 xgxfxgxfxxxxxx2、 函数f在点0 x有极限，则对任何常数a成立)(lim)(lim00 xfaxfaxxxx3、若函数f和g在点0 x有极限，则)(lim)(lim)()(lim000 xgxfxgxfxxxxxx3、 若函数f和g在点0 x有极限，并且0)(lim0 xgxx，则)(lim)(lim)()(lim000 xgxfxgxfxxxxxx极限的四则运算成立的条件是若函数f和g在点0 x有极限例：求下述极限精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 49 页学习必备欢迎下载4、复合函数的极限运算法则定理 6 设函数)(xgfy是由函数)(ufy与)(xgu复合而成，)(xgf在点0 x的 某去心邻域内有定义，若0)(lim0uxgxx，Aufuu)(lim0，且存在00，当),(000 xux时，有0)(uxg，则第六节：极限存在准则两个重要极限定理 1 夹逼定理：三数列nx、ny和nz，如果从某个号码起成立：1）nnnzyx，并且已知nx和nz收敛，2）nxnxzaxlimlim，则有结论：aynxlim定理 2 单调有界数列一定收敛。单调增加有上界的数列一定收敛；单调减少有下界的数列一定收敛。93lim23xxx4532lim21xxxx357243lim2323xxxxx52123lim232xxxxx12352lim223xxxxxxxxsinlimAufxgfuuxx)(lim)(lim00精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 49 页学习必备欢迎下载例：证明：1sinlim0 xxx例：xxxtanlim020cos1limxxxxxxarcsinlim0证明：xxx)11(lim有界。求xxx)11(lim的极限第七节：无穷小的比较定义：若,为无穷小且1lim0lim0limlim0limccK高 阶 、 低 阶 、 同 阶 、k 阶、等价1、若,为等价无穷小则)(2、若1、1且11lim存在，则：11limlim精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 49 页学习必备欢迎下载例：xxx5sin2tanlim0 xxxx3sinlim301cos1)1(lim3120 xxx第八节：函数的连续性与间断点一、函数在一点的连续性函数f在点0 x连续，当且仅当该点的函数值)(0 xf、左极限)0(0 xf与右极限)0(0 xf三者相等：)0()()0(000 xfxfxf或者：当且仅当函数f在点0 x有极限且此极限等于该点的函数值。)()(lim00 xfxfxx其形式定义如下：)()()(000 xfxfxxx函数在区间（ a,b）连续指：区间中每一点都连续。函数在区间 a,b连续时装意端点。注：左右连续，在区间上连续(注意端点 ) 连续函数的图像是一条连续且不间断的曲线二、间断点若：)0()()0(000 xfxfxf中有某一个等式不成立，就间断，分为：1、 第一类间断点：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 49 页学习必备欢迎下载)0()0(00 xfxf即函数在点的左右极限皆存在但不相等，曲线段上出现一个跳跃。2 、第二类间断点0 x：左极限)0(0 xf与右极限)0(0 xf两者之中至少有一个不存在例：见教材第九节：连续函数的运算与初等函数的连续性一、连续函数的四则运算1.)()(lim00 xfxfxx且)()(lim00 xgxgxx，)()()()(lim000 xgxfxgxfxx2)()(lim00 xfxfxx且)()(lim00 xgxgxx，)()()()(lim000 xgxfxgxfxx3. )()(lim00 xfxfxx且0)()(lim00 xgxgxx，)()()()(lim000 xgxfxgxfxx反函数连续定理：如果函数fDxxfyf)(:是严格单调增加（减少）并且连续的，则存在它的反函数1f：fDyyfx)(1并且1f也是严格单调增加（减少）并且连续的。注：1）反函数的定义域就是原来的值域。2）通常惯用X 表示自变量，Y 表示因变量。反函数也可表成1)(1fDxxfy复合函数的连续性定理：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 49 页学习必备欢迎下载设函数f和g满足复合条件gfD，若函数g在点 x0连续；00)(uxg，又若f函数在点0u连续，则复合函数gf在点0 x连续。注：复合函数的连续性可以保证极限号与函数符号的交换：)(lim()(lim00 xgfxgfxxxx从这些基本初等函数出,通过若干次四则运算以及复合，得到的种种函数统称为初等函数，并且：初等函数在其定义区间内连续。第十节：闭区间上连续函数的性质一、最大、最小值设函数：Dxxfy, )(在上有界，现在问在值域DxxfyyD),(1中是否有一个最大的实数？如果存在，譬如说它是某个点Dx0的函数值)(00 xfy，则记)(max0 xfyDx叫做函数在D 上的最大值。类 似 地 ， 如 果fD中 有 一 个 最 小 实 数 ， 譬 如 说 它 是 某 个 点fDx2的 函 数 值)(22xfy，则记)(min2xfyfDx称为函数在上的最小值。二、有界性有界性定理：如果函数f在闭区间ba,上连续，则它在ba,上有界。三、零点、介值定理最大值和最小值定理：如果函数f在闭区间ba,上连续则它在ba,上有最大值和最小值，也就是说存在两个点和，使得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 49 页学习必备欢迎下载baxfxff, )()()(亦即)(min)(,xffbax)(m ax)(,xffbax若 x0使0)(0 xf，则称 x0为函数的零点零点定理：如果函数f在闭区间ba,上连续，且f在区间ba,的两个端点异号：0)(*)(bfaf则至少有一个零点),(ba，使0)(f中值定理：如果函数f在闭区间ba,上连续，则f在ba,上能取到它的最大值和最小值 之间的任何一个中间值。作业：见课后各章节练习。第二章导数与微分教学目的与要求22 学时1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。3、了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n 阶导数。4、会求分段函数的导数。5、会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。一、导数概念（00）1、定义xylim)(xf0 x0/精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 49 页学习必备欢迎下载00 xx000 xxx)f( xf( x)limx)f(x)xf(xlim0 xf(x)xf(xlim(x)f0 x/左导数00 xx000 x/-x-x)f(xf(x)limx)f(x)xf(xlim(x)f0-右导数00 xx000 x/x-x)f(xf(x)limx)f(x)xf(xlim(x)f0A)(xf)(xfA)(xf0/0/-0/可以证明：可导连续。即可导是连续的充分条件。连续是可导的必要条件。左右导数 (注：与左右极限关系) 2、导数的几何意义曲线xfy在点00y,x处切线：00/0 xxxfyy例 1：讨论0 x00 xx1xsin)x(f在 x=0 处可导性解：f(0)0 x1xsinlimf(x)lim0 x0 xf(x)在 x = 0 连续x1sinlim0-xf(0)-f(x)lim0 x0 x不存在f(x)在 x = 0 不可导例 2：已知)(xf0/存在精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 49 页学习必备欢迎下载则h)f(x-2h)f(xlim000h)(x2f0/h)f(x-h)5f(xlim000h)(xf 50/hhxfhxfh)()3(lim000=h)f(x-h)f(xh)f(x-h)3f(xlim00000h)(xf40/例 3：设函数f(x)可微，则x(x)f-)x(xflim220 x(x)2f(x)f/例 4：设0 xbaxxxx)x(f02为使f(x)在 x = x0处可导，应如何选取常数a、b 解：首先f(x)必须在 x0连续202xxxxxxlimf(x)lim-0-0baxbaxlimf(x)lim0 xxxx0020 xbax0202xx00 xx/-x-xxxlimx-x)f(xf(x)lim(x)f0000 xx2xxxlim0ax-xax-axlimx-xx-baxlimx-x)f(xf(x)lim(x)f00 xx020 xx00 xx/000（由得）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 49 页学习必备欢迎下载)(xf0/存在0 x2a从而20 xb例 5：f(x)= x (x-1)(x-2) (x-9) , 则0f/! 90-xf(0)-f(x)lim(0)f0 x/!99)(x2)1)(x(xlim0 x例 6：设f(x)在 x = 0 领域内连续，21x1f(x)lim0 x，则(0)f/10f(x)limf(0)0 x（分母 0）xf( x)lim0-xf(0)-f(x)lim(0)f0 x0 x/1212x1x11-x1f(x)lim0 x例 7：设函数f (1+x) = a f ( x ) ，且b(0)f/(a , b 0)，问(1)f/存在否 ? 解：cxaf(0)-x)af(limxf(1)-)xf(1lim(1)f0 x0 x/ab(0)afxf(0)-x)f(alim/0 x二、导数的求法1、显函数导数求一个显函数的导数需解决：基本初等函数导数(P64); 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 49 页学习必备欢迎下载导数四则运算法则(P65); 复合函数与反函数求导法则(P66) 。定理：xu在 X有导数dxdu，ufy在对应点 u 有导数dudy，则复合函数xfy在 X处也有导数，xufdxdududydxdy/。例 1：12xxsiny2求/y解：12xcos4xx12xsiny22/例 2：2x1lny求/y解：2x1ln21y22/x1xx12x21y例 3：xarctgy求/y解：x21x11y /例 4：x1arctgay求/y解：x1arctg222x1arctg/ax1lnax1x111lnaay例 5：12xlny3求/y解：12x212x3lny2/例 6：xxxy求/y精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 49 页学习必备欢迎下载解：x211xx211xxx21y/例 7：sinxxy求/y解：lnxsinxeylnxcosxxsinxxysinx/例 8：abxxabbxay求/y解：1ax1abxb/axlnbbxalnbblnaayabx例 9：1eelny2x2x求/y解：1eln21x1elnlne21y2x2x2x2x2x2x/e111e2e21-1y高阶导数、二阶：xxfxxflimxxdxyd0/0/0 x02200/xxxxxfxflim0例 10：2xefy，lnxxf/求dxdy解：dxdedeedfdxdy2x2x2x2x2x/2eef2x2x2elne2x4xe先讲微分（后页）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 49 页学习必备欢迎下载2、隐函数导数参数方程导数如方程 F(x， y)=0 确定了 y=y(x) ，只需方程两边对x 求导，注意y=y(x) 例 10：求下列隐函数的导数（1）设0yxcosysinx求/y解：方程两边对x 求导，0y1yxsinycosxsinxy/sinxyxsinyxsinycosxy/（2）设xyy是由方程01xylnexy所确定的隐函数，求0y/解：由原方程知当x=0 时，e1y，方程两边对x 求导。0 x11yyxyye/xy，将 x=0，e1y代入得：010eye1/e11e10y/(3) xyy是由方程exyey所确定的隐函数, 试求0y/,0y/。解: 方程两边对x 求导：0 xyyye/y方程两边再对x 求导：0 xy2yyeye/2/y/y由原方程知，当0 x时，1y，代入得e1)0(y/再将0 x，1y，e1)0(y/代入式，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 49 页学习必备欢迎下载得2/e1)0(y (4)设1ty1ex3t2求22dxyd,dxdy解：t22t22et23e2t 3dtdxdtdydxdyt2t22t222e21)et2te2(23dtdxdtdxdyddxdxdyddxydt4e) t1( t23 (5) 设)(xyy是由方程组01tsiney3t2txy2所确定的函数，求：dxdy。解：tsine1tcosedtdy0dtdytsinetcosedtdy2t2dtdxyyyy) tsine1)(1t (2tcosedtdxdtdydxdyyy3、分段函数的导数1)设),1a,0a(0 x,xxsin0 x,a21aa2)x(fx求：)x(f/精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 49 页学习必备欢迎下载解：当2/x/xxsinxcosx)x(f,0 xaalna2)x(f,0 xx1a21aa2lim0 x)0(f)x(flim)0(fx0 x0 x_/alna2x) 1a(a2limx0 xx1xxsinlimx)0(f)x(flim)0(f0 x0 x/0 x21xcoslimxxxsinlim0 x20 x)0(f)0(f/)0(f/不存在，故00)(/xxxf高阶导数（ n 阶）略，例32)3x()1x2(xy)6(y!642) 设)x(f在（,）上具有二阶连续导数，且0)0(f，对函数ax)x(f)x(g0 x0 x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 49 页学习必备欢迎下载(1) 确定a的值，使)x(g在（,）上连续(2) 对（ 1）中确定的a，证明)x(g在（,）上一阶导数连续解：)0(fx)0(f)x(flimx)x(flim)x(glima/0 x0 x0 x即当),0(fa/)x(y在0 x连续，也就是在（,）连续x)0(fx)x(flimx)0(g)x(glim)0(g/0 x0 x/2)0(f2)x(flimx2)x(flim/0 x/0 x而2/0 x/0 xx)x(f)x(xflim)x(glim0g2)0(flimx2)x(f)x(f)x(xflim/0 x/0 xxg/在0 x连续 ,即在,连续三、微分dx)x(fx)x(fdy)x(fy/一阶微分形式不变)u(fydu)u(fdy/（u自变量）如)u(fy)x(udu)u(fdx)x()u(fdy/(u中间变量 ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 49 页学习必备欢迎下载例：2xey，dxxe2dy2x，dxxe2dxedy22x2x可导可微第三章微分中值定理导数的应用教学目的与要求1 掌握并会应用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。2 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。3 用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。4 握用洛必达法则求未定式极限的方法。5 道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。6 了解方程近似解的二分法及切线法。一、中值定理，泰勒公式（放入泰勒级数中讲）1罗尔定理如xf满足：（1）在b, a连续 . （2）在b,a可导 . （3）bfaf则至少存在一点b, a使0f/例设1x31x21xxxg，则在区间（ -1，0）内，方程0 xg/有 2 个实根；在（-1， 1）内0 xg/有 2 个根精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 49 页学习必备欢迎下载例设xf在0 ， 1 可导，且01f0f，证明存在1, 0，使0ff/。证：设xxfxF在a,b可导，1F0F存在1 ,0使0F/即0ff/例设xf在0 ，1 可导，且01f0f, 证明存在0FF/。解: 设xfexFx，且1F0F由罗尔定理存在使0F/即0fefe/，亦即0ff/例习题 6 设xgexfxF（复合函数求导）2、拉格朗日中值定理如xf满足：在 a,b连续；在（ a,b ）连续，则存在b,a使abfafbf/。推论：如果在区间I 上0 xf/，则cxf 如果在区间I 上)0(0 xf/，xf在单增（减）例对任意满足1x的 x，都有4xarcsin21x1x1arctg精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 49 页学习必备欢迎下载设xarcsin21x1x1arctgxf0 x1121x12x1x121x1x111xf22/0 x121x12x1x12x121222cxf40f4xf例设0 x，证明xx1lnx1x求导证明作业：见各章节课后习题。二、洛必达法则未定形：如下的函数极限都是未定形。1、00型：如：xxxxxtansinlim0型：2、型：如：0lnlimaxxax3、0型：如：0lnlimaxxax4、型：如：)1sin1(lim0 xxx5、00型：如：xxxarctan0lim6、0型：如：xxctgxln10)(lim7、1型：如：210)sin(limxxxx它们的计算不能用函数极限的四则运算法则，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 49 页学习必备欢迎下载且它们只表示类型，没有具体意义。 1、00（）型的洛必达法则ax( 同理x) 定理：对函数和，如果：（1）0)(lim)(xfxax, 0)(lim)(xgxax（2）在某个邻域),(aN内（Xx后）有导数f和g，且0)( xg；（3）)( )( lim)(xgxfxax存在（或无穷） ，则成立：)()(lim)(xgxfxax=)( )( lim)(xgxfxax例： 1) bxaxxsinsinlim02)30sinlimxxxx3) 123lim2331xxxxxx例： 1) xxx12arctanlim2) nxxxlnlim3) xnxexlim (0) 3、其它类型1) 011,002) 000001013)0(0ln0ln00型yy 4) 0,1yy解法同 3）例 ： 1) )0(lnlim0nxxnx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 49 页学习必备欢迎下载2) )tan(seclim2xxx3) xxx0lim4) xxxxxsintanlim202、函数的最大值与最小值（1）求出ba，内可能的极值点，不需判别极大还是极小，求出它们的函数值，再与端点的函数值进行比较，其中最大的（小）为最大（小）值。（2）在ba，内可能极值点唯一，如是极小值则为最小值；如是极大值则为最大值。（3）如)()(),0(0bfaff分别为最小 , 最大值。（4）实际问题据题意可不判别。例1、在抛物线2x4y上的第一象限部分求一点P，过 P点作切线，使该切线与坐标轴所围成的三角形面积最小。解：设切点为yxP，切线方程为xXx2x4Y2即三角形面积：，32x0(x)S/14xY2x4xX222x0),x168x(x412x4)(x21S(x)322)x16-8(3x41(x)S22/精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页，共 49 页学习必备欢迎下载38y,32x令0)32(S/（唯一）)3832(，故为所求点3、曲线的凹凸、拐点及渐近线在 I 上xf可导如00 xf/则曲线xfy是凹（凸）的 , 在连续曲线上凹凸部分的分界点称为曲线的拐点。可能的拐点0 xf/和xf/不存在的点例1、231xxxf设，试讨论xf的性态。4/32/x1)-6(x(x)f,x2)(x1)-(x(x)f1x, 0(x)f-2,x1,x0(x)f/x (- ,-2) -2 (-2,0) 0 (0,1) 1 (1,+ ) y+ 0 - 间断+ 0 + y- - - - 0 + 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 31 页，共 49 页学习必备欢迎下载y 单调增上凸极大值2f427单减上凸单增上凸拐点(1,0) 单增下凸渐近线如af(x)limx则称ay为水平渐近线如f(x)lim0 xx则称0 xx为垂直渐近线渐近线可能没有，或多条。例 2、求2)1(12xxy渐近线（斜渐近线不讨论）解：0)1(12lim2xxx0y为水平渐近线21)1(12limxxx1x垂直渐近线例1、曲线)2)(1(xxxxy的渐近线有 4 条4 证明不等式（1）利用中值定理（R，L） ；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 32 页，共 49 页学习必备欢迎下载（2）利用函数单调性；（3）利用最值；（4）引入辅助函数把常值不等式变成函数不等式；（5）利用函数凹凸性；（6）利用泰勒公式。例1、当ba0，试即证：aababb1lnln1证：设xlny，在b,a连续，)b,a(可导，由拉格朗日中值定理)(1lnlnabab即baabab1lnlnaababb1lnln1例 2、设0 x，证明xxxx)1ln(1证：设)x1ln(x)x(fxxxxf1111)(/aababbabln精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 33 页，共 49 页学习必备欢迎下载)x(f单增，当0 x0)0(f)x(f)x1ln(x设xxxxf1)1ln()(0)1(2)1 (111)(22/xxxxxf)x(f单增，当0 x0)0(f)x(fxxx1)1ln(例 3、当0 x证明xln1x2证：令)0 x(xln1x)x(f2xxxf12)(2/令0)x(f/得21x驻点唯一，01)(2/xxxf)21(f极小)21(f为最小值即02ln212321)(0fxfx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 34 页，共 49 页学习必备欢迎下载作业：见课后习题第四章不定积分教学目的与要求1理解原函数概念、不定积分和定积分的概念。2 掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法。3 求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。一、 一元函数积分的概念、性质与基本定理1、原函数、不定积分在区间上，如xfxF/，称xf为xF的导函数，称xF为xf的原函数，原函数与导函数是一种互逆关系。如xF为xf的一个原函数，则CxF为xf的全体原函数。记为f(x)dx，即f(x)dx=CxF不定积积分性质(1) f(x)f(x)dx(/或dxxff(x)dxd(2) CF(x)(x)dxF/(3) f(x)dxk f(x)dxk (4) g(x)dxf(x)dxg(x)dxf(x)(原函数与导函数有互逆关系, 由导数表可得积分表。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 35 页，共 49 页学习必备欢迎下载例、已知xF是xxln的一个原函数，求：xsindF解：xlnx(x)F/cosxdxsinxlnsinxdsinxdsinxdF(sinx)dF(sin x)例、xf的导函数是xsin，则xf的原函数21cxcxsin， (1c、2c为任意常数 ) 例、在下列等式中，正确的结果是 C A、xf(x)dxf/ B 、f(x)df(x)C、f(x)(x)dxfdxd D 、f(x)(x)dxfd例、)dxx1(1xx)dxx1(1xx241212dx)x-(x4543C4xx7441472、计算方法10换元法第一类换元法（凑微分法）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 36 页，共 49 页学习必备