2022年2022年江西省高考数学试卷 .pdf

2011年江西省高考数学试卷（文科）一、选择题（共10 小题，每小题5 分，满分50 分）1 （2011?江西）若复数（xi）i=y+2i ，x，yR，则复数x+yi= （）A 2+i B2+i C12i D1+2i 2 （2011?江西）若全集U=1 ，2，3，4， 5，6 ， M=2 ， 3，N=1 ，4 ，则集合 5，6等于（）AMN BM N C （CuM）（CuN） D （CuM） （CuN）3 （2011?江西）若，则 f（x）的定义域为（）ABCD4 （2011?江西）曲线y=ex在点 A（0，1）处的切线斜率为（）A1 B2 Ce D5 （2011?江西）设 an为等差数列，公差d=2，sn为其前 n 项和，若s10=s11，则 a1=（）A18 B20 C22 D24 6 （2011?江西）观察下列各式：72=49，73=343，74=2401， ，则 72011的末两位数字为（）A01 B43 C07 D49 7 （2011?江西）为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30 名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为me， 众数为 mo， 平均值为， 则 （）Ame=mo= Bme=moCmemoDmome8 （2011?江西）为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5 对父子身高数据如下则 y 对 x 的线性回归方程为（）Ay=x 1 By=x+1 CDy=176 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 14 页 - - - - - - - - - 9 （2011?江西）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为（）ABCD10 （2011?江西）如图，一个“ 凸轮 ” 放置于直角坐标系X 轴上方，其 “ 底端 ” 落在远点O 处，一顶点及中心M 在 Y轴的正半轴上，它的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成今使 “ 凸轮 ” 沿 X 轴正向滚动过程中，“ 凸轮 ” 每时每刻都有一个“ 最高点 ” ，其中心也在不断移动位置，则在“ 凸轮 ” 滚动一周的过程中，将其“ 最高点 ” 和“ 中心点 ” 所形成的图形按上、下放置，应大致为（）ABCD二、填空题（共5 小题，每小题5 分，满分25 分）11 （2011?江西）已知两个单位向量的夹角为，若向量，则=_12 （2011?江西）若双曲线的离心率e=2，则 m=_13 （2011?江西）下图是某算法的程序框图，则程序运行后所输出的结果是_14 （2011?江西）已知角的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若p（4，y）是角 中边上的一点，且，则 y=_15 （2011?江西）对于xR，不等式 |x+10|x2| 8 的解集为_三、解答题（共6 小题，满分75 分）16 （2011?江西）某饮料公司对一名员工进行测试以便确定考评级别，公司准备了两种不同的饮料共5 杯，其颜色完全相同，并且其中的3 杯为 A 饮料，另外的2 杯为 B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5 杯饮料中选出3杯 A 饮料若该员工3 杯都选对，测评为优秀；若3 杯选对 2 杯测评为良好；否测评为合格假设此人对A 和 B饮料没有鉴别能力（1）求此人被评为优秀的概率（2）求此人被评为良好及以上的概率17 （2011?江西）在 ABC 中，角 A，B，C 的对边是a，b，c，已知 3acosA=ccosB+bcosC （1）求 cosA 的值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 14 页 - - - - - - - - - （2）若 a=1，求边 c的值18 （2011?江西）如图，在 ABC 中，B=，AB=BC=2 ，P为 AB 边上一动点， PDBC，P 为 AB 边上一动点，PDBC 交 AC 于点 D，现将 PDA 沿 PD 翻折至 PDA ，使平面 PDA 平面 PBCD（1）当棱锥APBCD 的体积最大时，求PA 的长；（2）若点 P 为 AB 的中点， E 为 A C 的中点，求证：A BDE19 （2011?江西）已知过抛物线y2=2px（p0）的焦点，斜率为的直线交抛物线于A（x1，y1）和 B（x2，y2）（x1x2）两点，且 |AB|=9 ，（1）求该抛物线的方程；（2）O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若，求 的值20 （2011?江西）设f（ x）=x3+mx2+nx（1）如果 g（ x）=f （x） 2x3 在 x= 2 处取得最小值5，求 f（x）的解析式；（2）如果 m+n10（m，nN+） ，f（x）在单调递减区间的长度是正整数，试求m 和 n 的值（注：区间（ a，b）的长度为ba）21 （2011?江西） （1）已知两个等比数列an ，bn，满足 a1=a（a0） ，b1a1=1，b2a2=2，b3a3=3，若数列an唯一，求a 的值；（2）是否存在两个等比数列an，bn ，使得 b1 a1，b2a2，b3a3b4a4成公差不为 0 的等差数列？若存在，求an，bn的通项公式；若不存在，说明理由名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 14 页 - - - - - - - - - 2011年江西省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10 小题，每小题5 分，满分50 分）1 （2011?江西）若复数（xi）i=y+2i ，x，yR，则复数x+yi= （）A 2+i B2+i C12i D1+2i 考点 ：复数相等的充要条件。专题 ：计算题。分析： 首先整理等式的左边，进行复数的乘法运算，再根据复数相等的条件写出实部与虚部分别相等的等式，得到x，y 的值，写出要求的复数解答： 解： 复数（ xi）i=y+2i ，xi+1=y+2i ，x=2，y=1，复数 x+yi=2+i 故选 B点评： 本题考查复数的乘法运算，考查复数相等的充要条件，是一个概念问题，这种题目若出现一定是一个必得分题目2 （2011?江西）若全集U=1 ，2，3，4， 5，6 ， M=2 ， 3，N=1 ，4 ，则集合 5，6等于（）AMN BM N C （CuM）（CuN） D （CuM） （CuN）考点 ：补集及其运算；并集及其运算。专题 ：计算题。分析： 本题利用直接法求解观察发现，集合5 ，6 恰是 MN 的补集，再由Cu（MN）=（CuM）（CuN）选出答案解答： 解：由题意全集U=1 ，2， 3，4，5，6，M=2 ，3 ，N=1 ，4，观察知，集合 5 ，6=Cu（MN）又 Cu（MN）=（CuM） （CuN）（CuM） （CuN）=5 ，6故选 D点评： 本题考查学生对补集定义的理解和掌握，属于基本题型考查学生对集合运算的理解3 （2011?江西）若，则 f（x）的定义域为（）ABCD考点 ：函数的定义域及其求法；对数函数的定义域。专题 ：计算题。分析： 根据分式函数的分母不能为0，再由对数函数的真数要大于零使得对数函数有意义，可得比等式组，最后两个不等式的解集取交集可得答案解答： 解：根据题意有：解得：x 0，所以其定义域为：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 14 页 - - - - - - - - - 故选 C点评： 本题主要考查给出解析式的函数的定义域的求法，常见的有分母不能为零，负数不能开偶次方根，零次幂及真数要大于零等4 （2011?江西）曲线y=ex在点 A（0，1）处的切线斜率为（）A1 B2 Ce D考点 ：直线的斜率；导数的几何意义。专题 ：计算题。分析： 由曲线的解析式，求出导函数，然后把切点的横坐标x=0 代入，求出对应的导函数的函数值即为切线方程的斜率解答： 解：由 y=ex，得到 y =ex，把 x=0 代入得： yx=0=1，则曲线 y=ex在点 A（0，1）处的切线斜率为1故选 A点评： 此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，是一道基础题5 （2011?江西）设 an为等差数列，公差d=2，sn为其前 n 项和，若s10=s11，则 a1=（）A18 B20 C22 D24 考点 ：等差数列的性质。专题 ：计算题。分析： 由等差数列的前10 项的和等于前11 项的和可知，第11 项的值为0，然后根据等差数列的通项公式，利用首项和公差d 表示出第11 项，让其等于0 列出关于首项的方程，求出方程的解即可得到首项的值解答： 解：由 s10=s11，得到 a1+a2+a10=a1+a2+ +a10+a11即 a11=0，所以 a12（111）=0，解得 a1=20故选 B 点评： 此题考查学生掌握等差数列的性质，灵活运用等差数列的通项公式化简求值，是一道基础题6 （2011?江西）观察下列各式：72=49，73=343，74=2401， ，则 72011的末两位数字为（）A01 B43 C07 D49 考点 ：归纳推理。专题 ：计算题。分析： 根据题意，进一步计算出75、76、77、78、79的末两位数字，分析可得其末两位数字具有“ 周期性 ” ，进而可得 72011的与 73对应，即可得答案解答： 解：根据题意，72=49，73=343，74=2401，则 75的末两位数字为07，进而可得76的末两位数字为49，77的末两位数字为43，78的末两位数字为01，79的末两位数字为07，分析可得规律：n 从 2 开始， 4 个一组， 7n的末两位数字依次为49、43、01、07，则 72011的与 73对应，其末两位数字43；故选 B点评： 本题考查归纳推理，注意根据题意，发现其变化的规律，尤其注意处理“ 周期 ” 性的规律与n 的对应关系名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 14 页 - - - - - - - - - 7 （2011?江西）为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30 名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为me， 众数为 mo， 平均值为， 则 （）Ame=mo= Bme=moCmemoDmome考点 ：众数、中位数、平均数。分析： 据众数的定义是出现次数最多的数据结合图求出众数；据中位数的定义：是将数据从小到大排中间的数，若中间是两个数，则中位数是这两个数的平均值；据平均值的定义求出平均值，比较它们的大小解答： 解：由图知m0=5 有中位数的定义应该是第15 个数与第16 个数的平均值由图知将数据从大到小排第15 个数是 5，第 16 个数是 6 所以5.9 故选 D 点评： 本题考查利用众数、中位数、平均值的定义求出一组数据的众数、中位数、平均值；注意：若中间是两个数，则中位数是这两个数的平均值8 （2011?江西）为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5 对父子身高数据如下则 y 对 x 的线性回归方程为（）Ay=x 1 By=x+1 CDy=176 考点 ：线性回归方程。专题 ：计算题。分析： 求出这组数据的样本中心点，根据样本中心点一定在线性回归直线上，把样本中心点代入四个选项中对应的方程，只有y=88+x 适合，得到结果解答： 解： =176，=176，本组数据的样本中心点是（176，176） ，根据样本中心点一定在线性回归直线上，把样本中心点代入四个选项中对应的方程，只有y=88+x 适合，故选 C点评： 本题考查线性回归方程的写法，一般情况下要利用最小二乘法求出线性回归方程，本题是一个选择题目，有它特殊的解法，即把样本中心点代入检验，也不是所有的选择题都能这样做名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 14 页 - - - - - - - - - 9 （2011?江西）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为（）ABCD考点 ：简单空间图形的三视图。专题 ：作图题。分析： 根据三视图的特点，知道左视图从图形的左边向右边看，看到一个正方形的面，在面上有一条对角线，对角线是由左下角都右上角的线，得到结果解答： 解：左视图从图形的左边向右边看，看到一个正方形的面，在面上有一条对角线，对角线是由左下角到右上角的线，故选 D点评： 本题考查空间图形的三视图，考查左视图的做法，本题是一个基础题，考查的内容比较简单，可能出现的错误是对角线的方向可能出错10 （2011?江西）如图，一个“ 凸轮 ” 放置于直角坐标系X 轴上方，其 “ 底端 ” 落在远点O 处，一顶点及中心M 在 Y轴的正半轴上，它的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成今使 “ 凸轮 ” 沿 X 轴正向滚动过程中，“ 凸轮 ” 每时每刻都有一个“ 最高点 ” ，其中心也在不断移动位置，则在“ 凸轮 ” 滚动一周的过程中，将其“ 最高点 ” 和“ 中心点 ” 所形成的图形按上、下放置，应大致为（）ABCD考点 ：圆锥曲线的轨迹问题。专题 ：作图题；综合题；压轴题。分析： 解答本题宜用排除法，本题中图形的中心M 到三个顶点的距离最远，到三段弧的中点的距离最近，随着凸轮的滚动， M 点离 X 轴的距离由小变大再由大变小，作周期性的变化，由图形可以看出，三角形的三个顶点到相对弧的中点位置是相等的，故当M 在最高点与最低点时，凸轮最高点到X 轴的距离相等，由这些特征即可排除错误选项解答： 解：根据中心M 的位置，可以知道中心并非是出于凸轮最低与最高中间的位置，而是稍微偏上，随着转动，M 的位置会先变高，当C 到底时， M 最高，排除CD 选项，而对于最高点，当M 最高时，最高点的高度应该与旋转开始前相同，因此排除B，故选 A 点评： 本题考点是圆锥曲线的问题，考查根据实物的特征，探究其上某一点的位置变动规律，由此得出其轨迹的大体形状，本题轨迹方程不易求出，直接求解有困难，故根据其变化特征选择用排除法求解，做题时要根据题设条件的特征选择合适的方法解题名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 14 页 - - - - - - - - - 二、填空题（共5 小题，每小题5 分，满分25 分）11 （2011?江西）已知两个单位向量的夹角为，若向量，则=6考点 ：平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角。专题 ：计算题。分析： 根据单位向量的夹角为，求出，把代入根据向量数量积的运算法则即可求得的值解答： 解： 单位向量的夹角为，=，=381=6，故答案为： 6点评： 此题是个基础题考查平面向量数量积的运算和夹角问题及学生对公式掌握的熟练程度12 （2011?江西）若双曲线的离心率e=2，则 m=48考点 ：双曲线的简单性质。专题 ：计算题。分析： 根据判断该双曲线的焦点在x 轴上，且a=4，又由离心率e=2，可求出c 的值，从而求得m解答： 解：由知a=4，又 e=2，即，c=2a=8，m=c2a2=6416=48，故答案为48点评： 此题是个基础题考查双曲线的标准方程和简单的几何性质，以及学生的运算能力13 （2011?江西）下图是某算法的程序框图，则程序运行后所输出的结果是27考点 ：程序框图。专题 ：计算题；阅读型。分析： 根据 s=0，n=1，s=（0+1） 1=1，n=1+1=2，不满足条件n3，执行循环体；依次类推，当n=4，满足条件n3，退出循环体，得到输出结果即可解答： 解： s=0，n=1，s=（0+1） 1=1， n=1+1=2，不满足条件n3，执行循环体；s=（1+2） 2=6，n=1+2=3，不满足条件n3，执行循环体；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 14 页 - - - - - - - - - s=（6+3） 3=27，n=1+3=4，满足条件n3，退出循环体，则输出结果为：27 故答案为： 27 点评： 本题主要考查了直到型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题之列14 （2011?江西）已知角的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若p（4，y）是角 中边上的一点，且，则 y=8考点 ：任意角的三角函数的定义。专题 ：计算题。分析： 根据三角函数的第二定义，我们可得sin =（r 表示点 P 到原点的距离） ，结合 p（4，y）是角 中边上的一点，且，我们可以构造出一个关于y 的方程，解方程即可求出y 值解答： 解：若 P（4，y）是角 中边上的一点，则点 P 到原点的距离r=则=，则 y=8 故答案为： 8 点评： 本题考查的知识点是任意角的三角函数的定义，其中根据三角函数的第二定义将已知条件转化为一个关于y的方程是解答本题的关键15 （2011?江西）对于xR，不等式 |x+10|x2| 8 的解集为0，+）考点 ：绝对值不等式的解法。专题 ：计算题；分类讨论。分析：将含有绝对值的不等式，通过分类讨论， 转化为不含绝对值的不等式解，分类时按照绝对值内的值为0 的点：10，2 进行分类讨论分三类，分别讨论，最后求出它们的并集即可解答： 解：不等式 |x+10|x 2| 8 化为：或或，解得x2 或 0 x 2或 x?，即 x 2，故不等式的解集为0，+） 故答案为： 0，+） 点评： 本小题主要考查含绝对值的不等式的解法，对学生灵活应用能力要求较高，但涵盖知识点少计算量小，属于基础性题目三、解答题（共6 小题，满分75 分）16 （2011?江西）某饮料公司对一名员工进行测试以便确定考评级别，公司准备了两种不同的饮料共5 杯，其颜色完全相同，并且其中的3 杯为 A 饮料，另外的2 杯为 B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5 杯饮料中选出3杯 A 饮料若该员工3 杯都选对，测评为优秀；若3 杯选对 2 杯测评为良好；否测评为合格假设此人对A 和 B饮料没有鉴别能力（1）求此人被评为优秀的概率（2）求此人被评为良好及以上的概率考点 ：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；古典概型及其概率计算公式。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 14 页 - - - - - - - - - 专题 ：计算题。分析： 根据题意，首先将饮料编号，进而可得从5 杯饮料中选出3 杯的所有可能的情况，即所有的基本事件；再记“ 此人被评为优秀” 为事件 D，记 “ 此人被评为良好及以上” 为事件 E，（1）分析查找可得，D 包括的基本事件数目，由古典概型公式，计算可得答案；（2）分析查找可得，E 包括的基本事件数目，由古典概型公式，计算可得答案解答： 解：将 5 杯饮料编号为1、2、3、4、5，编号 1、 2、3 表示 A 饮料，编号4、5 表示 B 饮料；则从 5 杯饮料中选出3 杯的所有可能的情况为： （123） ， （124） ， （125） ， （134） ， （135） ， （145） ， （234） ， （235） ， （245） ，（345） ；共 10 个基本事件；记“ 此人被评为优秀” 为事件 D，记 “ 此人被评为良好及以上” 为事件 E，（1）分析可得，D 包括（ 123）1 个基本事件，则 P（D） =；（2）E 包括（ 123） ， （124） ， （125） ， （134） ， （135） ， （234） ， （235）7 个基本事件；则 P（ E）=点评： 本题考查列举法计算概率，注意列举时按一定的规律、顺序，一定做到不重不漏，还有助于查找基本事件的数目17 （2011?江西）在 ABC 中，角 A，B，C 的对边是a，b，c，已知 3acosA=ccosB+bcosC （1）求 cosA 的值（2）若 a=1，求边 c的值考点 ：正弦定理；同角三角函数基本关系的运用。专题 ：计算题。分析：（1）利用正弦定理分别表示出cosB，cosC 代入题设等式求得cosA 的值（2）利用（ 1）中 cosA 的值，可求得sinA 的值，进而利用两角和公式把cosC 展开，把题设中的等式代入，利用同角三角函数的基本关系求得sinC 的值，最后利用正弦定理求得c解答： 解： （1）由余弦定理可知2accosB=a2+c2b2；2abcosc=a2+b2c2；代入 3acosA=ccosB+bcosC；得 cosA=；（2）cosA=sinA=cosB= cos（A+C ） =cosAcosC+sinAsinC= cosC+sinC 又已知cosB+cosC=代入 cosC+sinC=，与 cos2C+sin2C=1 联立解得sinC=已知 a=1 正弦定理： c=点评： 本题主要考查了余弦定理和正弦定理的应用考查了基础知识的综合运用名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 14 页 - - - - - - - - - 18 （2011?江西）如图，在 ABC 中，B=，AB=BC=2 ，P为 AB 边上一动点， PDBC，P 为 AB 边上一动点，PDBC 交 AC 于点 D，现将 PDA 沿 PD 翻折至 PDA ，使平面 PDA 平面 PBCD（1）当棱锥APBCD 的体积最大时，求PA 的长；（2）若点 P 为 AB 的中点， E 为 A C 的中点，求证：A BDE考点 ：空间中直线与直线之间的位置关系；棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的性质。专题 ：综合题；转化思想。分析： （1）令 PA=x（0 x2）求出体积表达式，利用导数确定函数的单调性，求出函数的最大值（2）设 F 为 A B 的中点，连接PF，FE，通过 PDEF 是平行四边形，证明A BDE解答： 解： （1）令 PA=x（ 0 x2） ，则 A P=PD=x BP=2x，因为 APPD 且平面 A PD平面 PBCD，故 AP 平面 PBCD，所以令 f（x）=，由 f （x）=得 x=，当 x（0，）时， f（x） 0，f（x）单调递增，当 x（，2）时， f（x） 0，f（x）单调递减，所以，当x=时， f（x）取得最大值，即：体积最大时，PA=（2）设 F 为 A B 的中点，连接PF，FE，则有 EFBC，EF=BC，PDBC，PD=BC，所以 DEPF，又 A P=PB，所以 PFA B故 DE A B 点评： 本题是中档题，考查几何体的体积计算，函数最大值的求法，直线与直线的垂直的证明方法，考查空间想象能力，计算能力19 （2011?江西）已知过抛物线y2=2px（p0）的焦点，斜率为的直线交抛物线于A（x1，y1）和 B（x2，y2）（x1x2）两点，且 |AB|=9 ，（1）求该抛物线的方程；（2）O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若，求 的值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 14 页 - - - - - - - - - 考点 ：抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题。专题 ：计算题。分析： （1） 直线 AB 的方程与 y2=2px 联立，有 4x25px+p2=0， 从而 x1+x2=，再由抛物线定义得：|AB|=x1+x2+p=9，求得 p，则抛物线方程可得（2）由 p=4， 4x25px+p2=0 求得 A（1， 2） ， B（4，4） 再求得设的坐标，最后代入抛物线方程即可解得 解答： 解： （1）直线 AB 的方程是 y=2（x） ，与 y2=2px 联立，有4x25px+p2=0，x1+x2=由抛物线定义得：|AB|=x1+x2+p=9 p=4， 抛物线方程是y2=8x（2）由 p=4， 4x25px+p2=0 得： x25x+4=0，x1=1，x2=4，y1=2， y2=4，从而 A（1， 2） ，B（4， 4） 设=（x3，y3）=（1， 2）+ （4，4）=（4 +1，4 2）又2（2 1）2=8（4 +1） ，解得： =0，或 =2点评： 本题主要考查了抛物线的简单性质直线与圆锥曲线的综合问题考查了基本的分析问题的能力和基础的运算能力20 （2011?江西）设f（ x）=x3+mx2+nx（1）如果 g（ x）=f （x） 2x3 在 x= 2 处取得最小值5，求 f（x）的解析式；（2）如果 m+n10（m，nN+） ，f（x）在单调递减区间的长度是正整数，试求m 和 n 的值（注：区间（ a，b）的长度为ba）考点 ：利用导数研究函数的单调性；函数解析式的求解及常用方法；利用导数求闭区间上函数的最值。分析：（1）先由导数知识求出g（x） ，然后利用配方法把二次函数g（x）表示成顶点式，再根据g（x） 在 x=2处取得最小值5，可列方程组求得m、 n 的值，则问题解决（2）首先求出f（x）的导函数f （x）=x2+2mx+n （二次函数） ，然后根据f（x）的单调递减区间的长度是正整数，可判断函数f（x）=x2+2mx+n 有两个不同的零点x1、x2，且利用根与系数的关系能表示出|x1x2|=2，再由“ 此长度是正整数” 且“ m+n10（m，nN+）” 为突破口，对m、n 进行分类讨论，最后找到满足要求的m、n解答： 解： （1）由题意得g（x）=f （x） 2x3=x2+2mx+n2x3=（x+m1）2+（n3）（ m1）2，又 g（ x） 在 x=2处取得最小值5，所以，解得 m=3，n=2所以 f（ x）=x3+3x2+2x（2）因为 f（ x）=x2+2mx+n 且 f（x）的单调递减区间的长度是正整数，所以方程f（x）=0，即 x2+2mx+n=0 必有两不等实根，则=4m24n0，即 m2n不妨设方程f（x）=0 的两根分别为x1、x2，则 |x1x2|=2且为正整数又因为 m+n10（m，nN+） ，所以 m 2 时才能有满足条件的m、n当 m=2 时，只有n=3 符合要求；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 14 页 - - - - - - - - - 当 m=3 时，只有n=5 符合要求；当 m 4 时，没有符合要求的n故只有 m=2，n=3 或 m=3，n=5 满足上述要求点评： 本题考查了幂函数的求导公式、二次函数的最值及一元二次方程根与系数的关系；更主要的是考查利用导数研究函数单调性的方法及分类讨论的思想方法21 （2011?江西） （1）已知两个等比数列an ，bn，满足 a1=a（a0） ，b1a1=1，b2a2=2，b3a3=3，若数列an唯一，求a 的值；（2）是否存在两个等比数列an，bn ，使得 b1 a1，b2a2，b3a3b4a4成公差不为 0 的等差数列？若存在，求an，bn的通项公式；若不存在，说明理由考点 ：等比数列的性质；等比数列的通项公式。专题 ：综合题。分析：（1）设等比数列 an的公比为q，根据等比数列的通项公式，由b1a1=1，b2a2=2，b3a3=3 表示出 b1，b2，b3，根据 b1，b2， b3成等比数列，再根据等比数列的通项公式得到等比数列an的首项与公比的关系式，把q看作未知数，根据a大于 0 得出根的判别式大于0，进而得到方程有两个不同的实根，又数列an唯一，得到方程必有一根为0，把 q=0 代入方程即可得到关于a 的方程，求出方程的解即可得到a的值；（2）利用反证法进行证明，假设存在，分别设出两等比数列的公比，根据等差数列的通项公式，b1a1，b2a2，b3a3，b4a4成公差不为0 的等差数列，列出关系式，化简后分别求出两等比数列的首项及公比，分别求出b1a1，b2a2，b3a3，b4a4的公差为0，与已知的公差不为0 矛盾，假设错误，进而得到不存在两个等比数列an，bn ，使得 b1a1，b2 a2，b3a3b4a4成公差不为 0 的等差数列解答： 解： （1）设 an 的公比为 q，a1=a（a0） ，b1a1=1，b2a2=2，b3a3=3，b1=1+a，b2=2+aq，b3=3+aq2，b1，b2，b3成等比数列，（2+aq）2=（1+a） （3+aq2）即 aq24aq+3a1=0，a0，=4a2+4a0，方程有两个不同的实根，又数列 an 唯一，方程必有一根为0，将 q=0 代入方程得a= ，a=；（2）假设存在两个等比数列an ，bn，使 b1a1，b2a2，b3a3，b4a4成公差不为0 的等差数列，设an的公比为 q1， bn的公比为q2，则 b2a2=b1q2a1q1，b3a3=b1q22a1q12，b4a4=b1q23a1q13，由 b1a1，b2a2，b3 a3，b4a4成的等差数列得：即，q2 得：a1（ q1q2） （q1 1）2=0，由 a1 0 得： q1=q2或 q1=1，（i）当 q1=q2时，由 ， 得 b1=a1或 q1=q2=1，这时（ b2a2）（ b1a1）=0 与公差不为0 矛盾；（ii）q1=1 时，由 ， 得 b1=0 或 q2=1，这时（ b2a2）（ b1a1）=0 与公差不为0 矛盾，综上所述，不存在两个等比数列an， bn，使得 b1 a1，b2a2，b3a3b4a4成公差不为0 的等差列名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 14 页 - - - - - - - - - 点评： 此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式及等比数列的性质化简求值，会利用反证法说明命题的真假，是一道中档题名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 14 页 - - - - - - - - -