2022年一元二次不等式高次不等式分式不等式解法.docx

名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载课题：一元二次不等式、高次不等式、分式不等式解法目标：1巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系,把握把握简洁 的分式不等式和特别的高次不等式的解法；2培育数形结合的才能,一题多解的才能,培育抽象概括才能和规律思维 才能；3激发学习数学的热忱,培育勇于探究的精神,勇于创新精神,同时体会 从不同侧面观看同一事物思想；重点： 简洁的分式不等式和特别的高次不等式的解法；难点： 正确 串根 ；过程：一、复习引入 1一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系；2一元二次不等式的解法步骤；引言：今日我们来争论一元二次不等式的另外解法,分式不等式的解法；二、新课 一元二次不等式与特别的高次不等式解法例 1 解不等式x4 x1 0. 分析一：利用前节的方法求解；以及特别的高次不等式、分析二： 由乘法运算的符号法就可知,如原不等式成立,就左边两个因式必须异号,原不等式的解集是下面两个不等式组：x10与x10 0的解集x40x4的并集,即x|x10 x|x10= x|-4<x<1=x|-4<x<1.书写时可x40x40按以下格式：细心整理归纳 精选学习资料 解二 ：x-1x+4<0x10或x10 第 1 页,共 7 页 x40x40x 或-4<x<1-4<x<1, - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载原不等式的解集是 x|-4<x<1. 小结：一元二次不等式ax2bxc0或ax2bxc0a0的代数解法：设一元二次不等式ax 2bxc0a0相应的方程ax 2bxc0a0的两根为x 1、x 2且x 1x2,就ax2bxc0a xx 1xx20；如a0,就得xx 10 ,或xx 10,xx 1,或xx 1,xx20,xx 20.xx2,xx2.当x 1x2时,得xx 1或xx2；当x 1x2时,得xR,且xx 1. 如a0,就得xx 10,或xx 10,xx 1,或xx 1,xx 20,xx 20 .xx 2,xx 2.当x 1x2时,得x1xx2；当x 1x2时,得 x. 分析三：由于不等式的解与相应方程的根有关系,函数值的符号表示出来即可求出不等式的解集 . 因此可求其根并由相应的解：求根：令 x-1x+4=0 ,解得 x（从小到大排列）分别为-4,1,这两根将 x 轴分为三部分：（-,-4）（-4,1）（1,+）；分析这三部分中原不等式左边各因式的符号（-,-4）（-4,1）（1,+）x+4 - + + x-1 - - + x-1x+4 + - + 由上表可知,原不等式的解集是x|-4<x<1. 例 2：解不等式： x-1x+2x-3>0 ；解：检查各因式中 x 的符号均正；求得相应方程的根为：-2,1,3；列表如下：细心整理归纳 精选学习资料 x+2 - -2 + 1 + 3 + 第 2 页,共 7 页 x-1 - - + + x-3 - - - + - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -各因式积- 学习必备欢迎下载+ + - 由上表可知,原不等式的解集为：小结 ：此法叫列表法,解题步骤是：x|-2<x<1 或 x>3. 将不等式化为 x-x 1x-x 2 x-x n>0<0形式（各项 x 的符号化“+”）,令x-x 1x-x2 x-x n=0,求出各根,不妨称之为分界点,一个分界点把（实数）数轴分成两部分, n 个分界点把数轴分成 n+1 部分 ；按各根把实数分成的n+1 部分,由小到大横向排列, 相应各因式纵向排列（由对应较小根的因式开头依次自上而下排列）；运算各区间内各因式的符号,下面是乘积的符号；看下面积的符号写出不等式的解集 . 练习 ：解不等式： xx-32-xx+1>0. x|-1<x<0 或 2<x<3. 摸索：由函数、方程、不等式的关系,能否作出函数图像求解例 2 图 练习图直接写出解集： x|-2<x<1 或 x>3. x|-1<x<0 或 2<x<3 在没有技术的情形下：可大致画出函数图星求解,称之为 串根法将不等式化为 x-x 1x-x 2 x-x n>0<0形式,并将各因式 x 的系数化“ +” ；为了统一便利 求根,并在数轴上表示出来；由右上 方穿线,经过数轴上表示各根的点（为什么？）；如不等式（ x 的系数化“+” 后）是“>0” ,就找“ 线” 在 x 轴上方的区间；如不等式是“<0” ,就找“ 线” 在 x 轴下方的区间 . 留意：奇穿偶不穿细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 7 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -例 3 解不等式： x-22x-3学习必备欢迎下载3x+1<0. 解：检查各因式中 x 的符号均正；求得相应方程的根为：-1,2,3（留意： 2 是二重根, 3 是三重根）；在数轴上表示各根并穿线,每个根穿一次（自 右上方开头）,如下图：原不等式的解集为：x|-1<x<2 或 2<x<3. 说明 ：3 是三重根,在 C 处穿三次, 2 是二重根,在 B 处穿两次,结 果相当于没穿 .由此看出,当左侧 fx 有相同因式 x-x 1 n 时,n 为奇数时,曲线在 x1 点处穿过数轴； n 为偶数时,曲线在 x1 点处不穿过数轴,不妨归纳为“ 奇穿偶 不穿”. 2+4x+4 0. 练习 ：解不等式： x-3x+1x 解：将原不等式化为： x-3x+1x+2 2 0；求得相应方程的根为：-2（二重）,-1,3；在数轴上表示各根并穿线,如图：原不等式的解集是 x|-1x3 或 x=-2. 说明 ：留意不等式如带“线虽不穿 -2 点,但 x=-2 满意“2分式不等式的解法=” 号,点画为实心,解集边界处应有等号；另外,=” 的条件,不能漏掉 . 例 4 解不等式：x300. x|x3. x7错解：去分母得x3原不等式的解集是解法 1：化为两个不等式组来解：x30x3x0 或0xx330x 或7x37x3,x7x70x7原不等式的解集是|7. 解法 2：化为二次不等式来解：细心整理归纳 精选学习资料 x30x3 x7 07x3, 第 4 页,共 7 页 x70x7 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -原不等式的解集是x|7学习必备欢迎下载x3说明 ：如此题带“=” ,即x-3x+70,就不等式解集中应留意x-7 的条件,解集应是 x| -7<x3. 小结：由不等式的性质易知：不等式两边同乘以正数,不等号方向不变；不等式两边同乘以负数,不等号方向要变；分母中有未知数x,不等式两边同乘以一个含 x 的式子,它的正负不知,不等号方向无法确定,无从解起,如争论分母的正负,再解也可以,但太复杂.因此, 解分式不等式,切忌去分母. 解法是 ：移项,通分,右边化为0,左边化为fx的形式 . gx例 5 解不等式：x23x20. x22x3解法 1：化为不等式组来解较繁 . 解法 2：x23x20x23x2 x22x23 02x22x303. x2x3x1 x2 x03 x10,x3 x1原不等式的解集为 x| -1<x1 或 2x<3. 练习 ：1.课本 P21练习： 3； 2.解不等式x x5答案 ：1.x|-5<x<8 ； x|x<-4, 或 x>-1/2 ；2.x|-13<x<-5. 练习：解不等式：x2234x2x1 .（答： x|x0 或 1<x<2 ）x三、小 结1特别的高次不等式即右边化为0,左边可分解为一次或二次式的因式的形式不等式,一般用区间法解,留意：左边各因式中x 的系数化为“+” ,如有因式为二次的 （不能再分解了） 二次项系数也化为 “ +” ,再按我们总结的规律作；留意边界点（数轴上表示时是“0” 仍是“.” ）. fx>0或fx<0的形 第 5 页,共 7 页 2分式不等式,切忌去分母,一律移项通分化为gxgx式,转化为：fxg x 0 或fx gx0 ,即转化gx 0gx 0细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载为一次、二次或特别高次不等式形式 . 3一次不等式,二次不等式,特别的高次不等式及分式不等式,我们称之 为有理不等式 . 4留意必要的争论 . 5一次、二次不等式组成的不等式组仍要借助于数轴 . 四、布置作业五、摸索题：1 解关于 x 的不等式： x-x 2+12x+a<0. 解：将二次项系数化“+” 为： x 2-x-12x+a>0,相应方程的根为： -3,4,-a,现 a 的位置不定,应如何解？争论：当 -a>4,即 a<-4 时,各根在数轴上的分布及穿线如下：原不等式的解集为 x| -3<x<4 或 x>-a. 当 -3<-a<4,即-4<a<3 时,各根在数轴上的分布及穿线如下：原不等式的解集为 x| -3<x<-a 或 x>4. 当 -a<-3,即 a>3 时,各根在数轴上的分布及穿线如下：原不等式的解集为 x| -a<x<-3 或 x>4. 0 当-a=4,即 a=-4时,各根在数轴上的分布及穿线如下：原不等式的解集为 x| x>-3. 当 -a=-3,即 a=3 时,各根在数轴上的分布及穿线如下：原不等式的解集为 x| x>4. 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页,共 7 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -2如不等式2x222kxk1学习必备欢迎下载对于 x 取任何实数均成立, 求 k 的取值范畴 .提4x6x3示： 4x 2+6x+3 恒正 （答： 1<k<3）细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页,共 7 页 - - - - - - - - -