相似三角形培优试题(学生0.doc

#+1、（本题满分7分）如图10，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG,AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N求证：（1）；（2）2、(本题满分7分)如图11，已知的面积为3，且AB=AC，现将沿CA方向平移CA长度得到（1）求四边形CEFB的面积；（2）试判断AF与BE的位置关系，并说明理由；（3）若，求AC的长3、如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AEBC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且AFEB.(1) 求证：ADFDEC(2) 若AB4,AD3,AE3,求AF的长.4、如图（4），在正方形中，分别是边上的点，连结并延长交的延长线于点AcEcDcFcBcCcGc图（4）（1）求证：；（2）若正方形的边长为4，求的长5如图（15），在梯形中，厘米，厘米，的坡度动点从出发以2厘米/秒的速度沿方向向点运动，动点从点出发以3厘米/秒的速度沿方向向点运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止设动点运动的时间为秒（1）求边的长；（2）当为何值时，与相互平分；CcDcAcBcQcPc图（5）（3）连结设的面积为探求与的函数关系式，求为何值时，有最大值？最大值是多少？6（本题满分9分）一块直角三角形木板的一条直角边长为m，面积为m2，工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学进行设计加工方案，甲设计方案如图1，乙设计方案如图2图GACFDDEF图第6题图你认为哪位同学设计的方案较好？试说明理由（加工损耗忽略不计，计算结果中可保留分数）7、如图1，O为正方形ABCD的中心，分别延长OA、OD到点F、E，使OF=2OA，OE=2OD，连接EF将EOF绕点O逆时针旋转角得到E1OF1（如图2）（1）探究AE1与BF1的数量关系，并给予证明；（2）当=30时，求证：AOE1为直角三角形8、（本题满分12分）将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到ABC和ACD，如图1所示.将ACD的顶点A与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A(A)、B在同一条直线上，如图2所示图1 图2观察图2可知：与BC相等的线段是 ，CAC= 问题探究如图3，ABC中，AGBC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向ABC外作等腰RtABE和等腰RtACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q. 试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论.图3拓展延伸如图4，ABC中，AGBC于点G，分别以AB、AC为一边向ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H. 若AB= k AE，AC= k AF，试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由.图49.（本小题12分）如图，有一块塑料矩形模板ABCD，长为10cm，宽为4cm，将你手中足够大的直角三角板 PHF 的直角顶点P落在AD边上（不与A、D重合），在AD上适当移动三角板顶点P：（1）、能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？若能，请你求出这时 AP 的长；若不能，请说明理由；（2）、再次移动三角板的位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH始终通过点B，另一直角边PF与DC的延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE=2cm？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请你说明理由。参考答案1、 证明：（1）四边形和四边形都是正方形 3分 4分（2）由（1）得 AMNCDN 2、解：（1）由平移的性质得 3分 （2）证明如下：由（1）知四边形为平行四边形5分3、（1）证明：四边形ABCD是平行四边形 ADBC ABCD ADF=CED B+C=180 AFE+AFD=180 AFE=B AFD=C ADFDEC(2)解：四边形ABCD是平行四边形ADBC CD=AB=4 又AEBC AEAD 在RtADE中，DE= ADFDEC AF=4、（1）证明：为正方形， 1分 3分又 5分（2）解：为正方形， 7分又正方形的边长为4 9分5解：（1）作于点，如图（3）所示，则四边形为矩形1分又2分在中，由勾股定理得：3分图（3）CcDcAcBcQcPcEc（2）假设与相互平分由则是平行四边形（此时在上） 4分即 5分解得即秒时，与相互平分 7分（3）当在上，即时，作于，则即 8分= 9分当秒时，有最大值为 10分当在上，即时，= 11分易知随的增大而减小故当秒时，有最大值为综上，当时，有最大值为 12分6、（本题满分9分）图DEFx解：由m，m2，可得m由图1，若设甲设计的正方形桌面边长为xm，由，得m 4分由图2，过点作斜边上的高交于，交于由m，2m，得（m）由可得，m6分设乙设计的桌面的边长为ym，GACFD图HPy，即，解得m甲同学设计的方案较好7、答案：（1）用边角边证明AOE和BOF全等，即可证得AE=BF(2)取OE的中点G,得到等边AOG，等到AGO=60，又由AG=EG得到AEO30，从而得到OAE是90，即为直角三角形。8.解：情境观察AD（或AD），90 问题探究结论：EP=FQ. 证明：ABE是等腰三角形，AB=AE，BAE=90.BAG+EAP=90.AGBC，BAG+ABG=90，ABG=EAP.EPAG，AGB=EPA=90，RtABGRtEAP. AG=EP.同理AG=FQ. EP=FQ. 拓展延伸结论： HE=HF. 理由：过点E作EPGA，FQGA，垂足分别为P、Q.四边形ABME是矩形，BAE=90，BAG+EAP=90.AGBC，BAG+ABG=90，ABG=EAP.AGB=EPA=90，ABGEAP， = . 同理ACGFAQ， = . AB= k AE，AC= k AF， = = k， = . EP=FQ. 9解：结论：能 设AP=xcm，则PD=(10-x)cm 因为A=D=90，BPC=90， 所以DPC=ABP 所以ABPDPC 则AB/PD=AP/DC，即ABDC=PDAP 所以44=X(10-X)， 即 x2-10x+16=0 解得 x1=2，x2=8 所以AP=2cm或8 cm 结论：能 设AP=Xcm，CQ=y cm 由于ABCD是矩形，HPF=90， 所以BAPECQ， BAPPDQ 所以APCE=ABCO，APPD=ABDQ， 所以2x=4y，即y=x/2， x(10-x)=4(4+y) 消去y，得x2-8x+16=0， 解得x1=x2=4，即AP=4cm一、选择题（每小题6分，共48分）1在ABC中，D、F是AB上的点，E、H是AC上的点，直线DE/FH/BC，且DE、FH将ABC分成面积相等的三部分，若线段FH=，则BC的长为（ ） A15 B10 C. D2在ABC中，DE/BC，DE交AB于D，交AC于E，且SADE：S四边形DBCE=1：2，则梯形的高与三角形的边BC上的高的比为（ ）A1： B1： C1： D：3在RtABC中，C=90，CD是斜边AB上的高，AC=5，BC=8，则SACD：SCBD为（ ） ABC D 4如图151，D、E、F是ABC的三边中点，设DEF的面积为4，ABC的周长为9，则DEF的周长与ABC的面积分别是（ ）A. ，16B. 9，4C. ，8D. ，165如图152，在ABC中，ADBC于D，下列条件：（1）B+DAC=90；（2）B=DAC；（3）；（4）AB2=BDBC。其中一定能够判定ABC是直角三角形的共有（ ）A3个 B2个 C1个D0个6如图153，在正三角形ABC中，D，E分别在AC，AB上，且，AE=BE，则有（ ）A. AEDBED BAEDCBD C. AEDABD DBADBCD7如图154，PQ/RS/AC，RS=6，PQ=9，则AB等于（ ） A. B. C. D. 58如图155，平行四边形ABCD中，O1、O2、O3是BD的四等分点，连接AO1，并延长交BC于E，连接EO2，并延长交AD于F，则等于（ ）A：1 B3：1 C3：2 D. 7：39如果一个三角形的一条高分这个三角形为两个相似三角形，那么这个三角形必是（ ）A等腰三角形B. 任意三角形C直角三角形D直角三角形或等腰三角形10在ABC和ABC中，AB： AC=AB：AC，B=B，则这两个三角形（ ）A相似，但不全等 B全等C一定相似 D无法判断是否相似11如图161，正方形ABCD中，E是AB上的任一点，作EFBD于F，则为（ ）A B C D 12如图162，把ABC沿边AB平移到ABC的位置，它们的重叠部分（图中阴影部分）的面积是ABC的面积的一半，若，则此三角形移动的距离AA是（ ）A B C1 D 13如图163，在四边形ABCD中，A=135，B=D=90，BC=，AD=2，则四边形ABCD的面积是（ ）A B C4 D614如图164，平行四边形ABCD中，G是BC延长线上一点，AG与BD交于点E，与DC交于点F，则图中相似三角形共有（ ）A3对 B4对 C5对 D6对15在直角三角形中，斜边上的高为6cm，且把斜边分成3：2两段，则斜边上的中线的长为（ ）A. cm Bcm Ccm Dcm16AD为RtABC斜边BC上的高，作DEAC于E，则=（ ）A B C D17如图165，ABC中，AB=AC，A=36，BD平分ABC，已知AB=m，BC=n，求CD的长。甲同学求得CD=mn，乙同学求得,下列判断正确的是（ ） A甲、乙都正确 B甲正确、乙不正确 C甲不正确、乙正确 D甲、乙都不正确18如图166，在直角梯形ABCD中，AB=7，AD=2，BC=3。如果边AB上的点P使得以P、A、D为顶点的三角形和以P、B、C为顶点的三角形相似，那么这样的点P有（ ）A1个 B2个 C. 3个 D4个二、填空题（每小题4分，共16分）20如图156，在RtABC中，ACB=90，CDAB，AC=6，AD=3.6，则BC=_。21等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则此三角形的面积是_。22在ABC中，BD，CE分别为AC、AB边上的中线，M、N分别是BD，CE的中点，则MN：BC=_。23在ABC中，DE/BC，D、E分别在AB、AC边上，若AD=1，DB=2，那么=_。24平行于ABC的边AB的直线交CA于E，交CB于F，若直线EF把ABC分成面积相等的两部分，则CE：CA=_。25RtABC中，CD是斜边AB上的高，该图中共有x个三角形与ABC相似，则x=_。26在ABC中，点D在线段BC上，BAC=ADC，AC=8，BC=16，则CD=_。三、计算题（本大题共86分）27如图157，ABC为直角三角形，ABC=90，以AB为边向外作正方形ABDE，连接EC交AB于P点，过P作PQ/BC交AC于点Q。证明PQ=PB。28如图158，已知DE/AB，EF/BC。求证：DEFABC。29在RtABC中，C=90，CDAB于D，S2BCD=SABCSADC。求证：BD=AC。30如图159，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，在AD上取一点F，使，连接FE交CB的延长线于H，交AC于G，求证。34如图1510，已知AD是ABC的中线，过ABC的顶点C任作一直线分别交AB、AD于点F和点E，证明：AEFB=2AFED。32如图1511，在ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c。点P是AB上一个动点（P与A、B不重合）。连接PC，过P作PQ/AC交BC于Q点。33如图167，在ABC中，BD是AC边上的中线，BE=AB,且AE与BD交于F点，求证：。34如图168，APD=90，AP=PB=BC=CD，找出图中两个相似的三角形，并给出证明。35如图169，AD、BE是ABC的高，DFAB于F，DF交BE于G，FD的延长线交AC的延长线于H，求证DF2=FGFH。36如图1610，AP是ABC的高，点D、G分别在AB、AC上，点E、F在BC上，四边形DEFG是矩形，AP=h，BC=a，（1）设DG=x，S矩形DEFG=y，试用a、h、x表示y；（2）按题设要求得到的无数个矩形中是否能找到两个不同的矩形，使它们的面积和等于ABC的面积？选修4-1第一讲相似三角形的判定及有关性质综合测试【试题答案】一、选择题（每小题6分，共60分） 1. A2. D3. B 4. A解析：如图D124所示，D、E、F分别为ABC三边中点，且又故选A 5. A解析：验证法：（1）不能判定ABC为直角三角形B+DAC=90，而B+DAB=90，BAD=DAC同理B=C，不能判定BAD+DAC等于90；（2）中B=DAC，C为公共角，ABCDAC。DAC为直角三角形，ABC为直角三角形；在（3）中，可得ACDBAD，BAD=C，B=DAC，BAD+DAC=90；（4）中AB2=BDBC，即，B为公共角，ABCDBA，即ABC为直角三角形。正确命题有3个选A。6. B解析：直接法。注意到A=C=60可设AD=a，则AC=3a，而AB=AC=BC=3a所以AE=BE=，所以。又，所以，A=C=60，故AEDCBD，选B。7. A 8. B9. D 10. D 11. A 12. C13. C解析：由B=D=90，于是设想构造直角三角形，延长BA与CD，它们的延长线交于E，则得到RtBCE和RtADE由题目条件知，ADE为等腰直角三角形，DE=AD=2，SADE=22=2. 又可证RtEBCRtEDA，选C14. D解析：由AB/CD，可得CGFBGA，ABEFDE又由AD/BC，可得CGFDAF，AEDGEB还可得DAFBGA，ABDCDB，故共有6对。15. A 16. A 17. A18. C解析：直接法。假设有一点P，连接PD、PC设AP=x，则PB=7x图D126（1）若PADPBC，则，即得符合条件。 （2）若PADCBP，即，解得也符合条件故满足条件的点P有3个。二、填空题（每小题4分，16分）19. 解析：设三边长ad，a，a+d（d>0），则（a+d）2=a2+（ad）2，a=4d 三边之比为3：4：520. 8 21. 48 22. 1：423. 4 24. 25. 2 解析：ACDABC，CBDABC26. 4解析：由BACADC可知三、解答题（本大题共74分）27. 证明：PQ/BC，BC/AE，PQ/AECPQ=CEA，CQP=CAECPQCEA同理可得，而AE=DE，PQ=PB28. 证明：DE/AB， 又EF/BC， 由知，而FOD=COA，FODCOA，在ABC和DEF中，有ABCDEF29. 证明：如图D125由射影定理得，AC2=BD2，即AC=BD30. 证明：，即AE=EB，AEF=HEB，FAE=EBHAFEBHE，AF=BH，AGFCGH，即31. 证明：过D作DH/CF交AB于点H，则BDH=BCF，B=B，BDHBCF又D为BC的中点，即同理可证AEFADH，即 32. 解：（1）即a=6，b=8解不等式组解得c=10，ABC是直角三角形（2）由（1），得33. 证明：过E作EK/BD，则BCDECKEK/BDBD为AC边上的中线，AD=DC，BE=AB，34. 解：APB=90，AP=PB=BC=CD，AB=AP。在ABC和DBA中，ABC=ABD，35. 证明：BEAC，ABE+BAE=90 同理，H+HAF=90， ABE=H，又BFG=HFA，BFGHFA，BF：HF=FG：AF. BFAF=FGFH. RtADB中，DF2=BFAF，DF2=FGFH. 36. 解：（1）四边形DEFG为矩形，DG/EF. ADGABC，AM=APMP，MP=DE=（2）假设存在这样两个不同的矩形，设它们的面积分别是y1、y2，对应的DG的长分别是x1、x2（x1x2），则SABC=S矩形1+S矩形2。 这与x1x2矛盾，故不存在满足条件的矩形即