2022年高中数学必修⑤.《等比数列的前n项和》教学设计 .pdf

课 题 ： 必 修 2. 5等 比 数 列 的 前 n项 和三 维 目 标 ：1、知 识 与 技 能（ 1 ） 理 解 等 比 数 列 前 项 和 的 定 义 以 及 等 比 数 列 前 项 和 公 式 推 导 的 过 程 ， 并 理 解 推 导 此 公 式 的 方 法 错 位 相 减 法 ， 记 忆 公 式 的 两 种 形 式 ；（ 2 ） 用 方 程 思 想 认 识 等 比 数 列 前 项 和 的 公 式 ， 利 用 公 式 求 sn、 a1、 q、 n 、an； 等 比 数 列 通 项 公 式 与前 项 和 的 公 式 两 套 公 式 涉 及 五 个 字 母 ， 已 知 其 中 三 个 量 求 另 两 个 值 ；（ 3 ） 会 用 等 比 数 列 的 前n项 和 公 式 解 决 一 些 简 单 的 与 前n项 和 有 关 的 问 题 .2、 过 程 与 方 法（ 1 ） 经 历 等 比 数 列 前n项 和 的 推 导 与 灵 活 应 用 ， 总 结 数 列 的 求 和 方 法 ， 从 “ 错 位 相 减 法 ” 这 种 算 法中 ， 体 会 “ 消 除 差 别 ” ， 培 养 化 简 的 能 力 ； 并 能 在 具 体 的 问 题 情 境 中 发 现 等 比 关 系 建 立 数 学 模 型 、 解 决 求 和 问题 。 在 知 识 发 生 、 发 展 以 及 形 成 过 程 中 培 养 学 生 观 察 、 联 想 、 归 纳 、 分 析 、 综 合 和 逻 辑 推 理 的 能 力 。（ 2 ） 通 过 公 式 的 推 导 过 程 ， 展 现 数 学 中 的 对 称 美 ； 通 过 有 关 内 容 在 实 际 生 活 中 的 应 用 ， 使 学 生 再 一 次感 受 数 学 源 于 生 活 ， 又 服 务 于 生 活 的 实 用 性 ， 引 导 学 生 要 善 于 观 察 生 活 ， 从 生 活 中 发 现 问 题 ， 并 运 用 数 学 知 识和 方 法 科 学 地 解 决 问 题 .（ 3 ） 培 养 学 生 分 析 问 题 、 解 决 问 题 的 能 力 及 钻 研 精 神 ， 培 养 学 生 的 运 算 能 力 、 严 谨 的 思 维 习 惯 以 及 解题 的 规 范 性 。（ 4 ） 通 过 公 式 的 推 导 过 程 ， 展 现 数 学 中 的 对 称 美 ； 通 过 有 关 内 容 在 实 际 生 活 中 的 应 用 ， 使 学 生 再 一 次感 受 数 学 源 于 生 活 ， 又 服 务 于 生 活 的 实 用 性 ， 引 导 学 生 要 善 于 观 察 生 活 ， 从 生 活 中 发 现 问 题 ， 并 运 用 数 学 知 识和 方 法 科 学 地 解 决 问 题 .3 、 情 态 与 价 值 观( 1)通 过 对 数 列 知 识 的 进 一 步 学 习 ， 不 断 培 养 自 主 学 习 、 合 作 交 流 、 善 于 反 思 、 勤 于 总 结 的 科 学 态 度 和名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - 锲 而 不 舍 的 钻 研 精 神 ， 提 高 参 与 意 识 和 合 作 精 神 ；（ 2 ） 通 过 生 动 具 体 的 现 实 问 题 ， 激 发 学 生 探 究 的 兴 趣 和 欲 望 ， 树 立 学 生 求 真 的 勇 气 和 自 信 心 ， 产 生 热 爱数 学 的 情 感 ,形 成 学 数 学 、 用 数 学 的 思 维 和 意 识 ， 培 养 学 好 数 学 的 信 心 ， 体 验 在 学 习 中 获 得 成 功 的 成 就 感 ， 为 远大 的 志 向 而 不 懈 奋 斗 。教 学 重 点 ：等 比 数 列 前 项 和 公 式 的 推 导 和 应 用教 学 难 点 ：公 式 推 导 的 思 路 及 综 合 运 用教具 ： 多 媒 体 、 实 物 投 影 仪教 学 方 法 ： 合 作 探 究 、 分 层 推 进 教 学 法教 学 过 程 ：一 、 双 基 回 眸 科 学 导 入 ： 前 面 ， 我 们 学 习 了 等 比 数 列 的 概 念 、 通 项 公 式 及 其 有 关 性 质 ， 并 运 用 这 些 知 识 解 决 了 许 多 的 实 际 问 题 ，请 同 学 们 回 顾 一 下 学 过 的 等 比 数 列 基 本 知 识 和 性 质 ： 等 比 数 列 定 义 ： 即qaann1( n 2 )由 三 个 数 a ， G ， b组 成 的 等 比 数 列 可 以 看 成 最 简 单 的 等 比 数 列 ， 这 时 ， G 叫 做a与b的 等 比 中 项 。等 比 数 列 通 项 公 式 ：na E MB ED E q u a t i o n . 311nqa(n 1)mnmnqaa在 等 比 数 列 中 ， 若m+n =p +q 则qpnmaaaa前 面 ， 我 们 学 习 了 等 差 数 列 的 前n项 和 ， 那 么 等 比 数 列 的 前n项 和 有 公 式 吗 ？ 等 比 数 列 的 前n项 和 在实 际 中 应 用 广 泛 吗 ？ 利 用 课 本P 55 “ 国 王 对 国 际 象 棋 的 发 明 者 的 奖 励 ” 引 发 学 生 探 求 问 题 的 积 极 性 ： 如 果 把 各 格名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - 所 放 的 麦 粒 数 看 成 是 一 个 数 列 ， 我 们 可 以 得 到 一 个 等 比 数 列 ， 它 的 首 项 是1 ， 公 比 是2 ， 求 第 一 个 格 子 到 第64个格 子 各 格 所 放 的 麦 粒 数 总 合 就 是 求 这 个 等 比 数 列 的 前 64项 的 和 。 这 需 要 等 比 数 列 的 前n项 和 公 式 。怎 样 推 导 呢 ？ 这 就 是 我 们 今 天 探 索 的 问 题 。二 、创 设 情 境 合 作 探 究 ： 等 比 数 列 的 前n项 和 公 式 推 导 ：【 方 法 一 】一 般 地 ， 设 等 比 数 列naaaa,321它 的 前 n项 和 是nS E MB E DE q u a t i o n . 3naaaa321【 引 领 学 生 合 作 探 究 、 推 导 】由 等 比 数 列 的 通 项 公 式 , 上 式 可 以 写 成S n =a1+ a1q +a1q2+ + a1qn - 1 式 两 边 同 乘 以 公 比q得 qS n= a1q +a1q2+ + a1qn - 1+a1qn , 的 右 边 有 很 多 相 同 的 项 ,用 的 两 边 分 别 减 去 的 两 边 ,得(1 -q )S n = a1a1qn当 时 ，S n =qqan1)1(1（ q 1 ）又an=a1qn - 1所 以 上 式 也 可 写 成 S n =qqaan11（ q 1 ）有 了 等 比 数 列 的 前 n项 和 公 式 ， 就 可 以 解 决 刚 才 的 问 题 ：由11,2,64aqn可 得名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - - 1(1)1nnaqSq=641 (1 2 )12=6421。6421这 个 数 很 大 ， 超 过 了191.84 10。 国 王 不 能 实 现 他 的 诺 言 。【 点 评 】 当 q= 1时 ， 等 比 数 列 的 前n项 和 公 式 为Sn=na1 公 式 可 变 形 为Sn =qqan1)1(1=1) 1(1qqan（ 思 考q 1和q 1时 分 别 使 用 哪 个 方 便 ） 如 果 已 知 a1 ,an ,q, n, Sn五 个 量 中 的 任 意 三 个 就 可 以 求 出 其 余 两 个根 据 学 生 情 况 一 起 探 索 下 列 方 法 ：【 方 法 二 】有 等 比 数 列 的 定 义 ，qaaaaaann12312根 据 等 比 的 性 质 ， 有qaSaSaaaaaannnnn112132即qaSaSnnn1 E MB E DE q u a t i o n . 3qaaSqnn1)1 ( 当1q时 ，qqaSnn1)1(1 或qqaaSnn11当q =1时 ，1naSn1naSn围 绕 基 本 概 念 ， 从 等 比 数 列 的 定 义 出 发 ， 运 用 等 比 定 理 ， 导 出 了 公 式 【 方 法 三 】nS E MBE D E q u a t i o n . 3naaaa321)(13211naaaaqa11nqSa)(1nnaSqaE M B E DE q u a tio n .3qaaSqnn1)1 (（ 结 论 同 上 ）【 小 试 牛 刀 】名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - 1. 根 据 下 列 各 题 的 条 件 ， 求 相 应 的 等 比 数 列 an的 前n项 和 。6, 2, 3).1(1nqa901,31,7.2).2(1naqa2. （ 2 0 0 9浙 江 理 ） 设 等 比 数 列na的 公 比12q， 前n项 和 为nS， 则44Sa3.（ 2 0 0 7重 庆 ） 在 等 比 数 列 an中 ，a2 8 ，a5 6 4 ， ， 则 公 比 q为 （）A 2 B 3 C 4 D 8三 、 互 动 达 标 巩 固 所 学 ：问 题 .1求 下 列 等 比 数 列 的 前8项 和 ：;,81,41,21)1(.0,2431,27).2(91qaa【 分 析 】 求 出 公 比 ， 直 接 运 用 公 式 计 算 即 可 ：【 解 析 】 （ 1 ） 因 为,41,211qa所 以 ， 当 n = 8时 ，256255211)21(1 218ns（ 2 ） 又 题 意 可 得 ：8272431q又 由q0, 可 得,31q于 是811640)31(1)31(12788s名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - 【 点 评 】 评 注 :第 (2)题 已 知a1=2 7,n= 8,还 缺 少 一 个 已 知 条 件 , 由 题 意 显 然 可 以 通 过 解 方 程 求 得 公 比q ,题 设 中 要 求q 0,一 方 面 是 为 了 简 化 计 算 ,另 一 方 面 是 想 提 醒 学 生q既 可 以 为 正 数 ,又 可 以 为 负 数 .问 题 .2某 商 场 第 一 年 销 售 计 算 机5 0 00台 ,如 果 平 均 每 年 的 销 售 量 比 上 一 年 增 加1 0 % ,那 么 从 第 一 年 起 ,约 几 年内 可 使 总 销 售 量 达 到 3 00 0 0台 (保 留 到 个 位 )?【 分 析 】 根 据 题 意 ， 每 年 销 售 量 比 上 一 年 增 加 的 百 分 率 相 同 ， 所 以 ， 从 今 年 起 ， 每 年 的 销 售 量 组 成 一 个 等 比 数列 。【 解 析 】 由 题 意 ,从 第1年 起 ,每 年 的 销 售 量 组 成 一 个 等 比 数 列,30000, 1.1%101,50001nSqa.300001.111.115000n两 边 取 常 用 对 数 ， 得6.1lg1.1lgn5041.020.01.1lg6.1lgn(年 )答 ： 约 5年 可 以 使 总 销 售 量 量 达 到 3 0 0 0 0台名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - - 【 点 评 】 先 根 据 题 意 将 实 际 问 题 转 化 为 一 个 等 比 数 列 的 前n项 和 问 题 ， 然 后 利 用 等 比 数 列 的 前n项 公 式 列 方程 , 再 用 对 数 的 知 识 解 方 程 ， 体 现 了 数 学 实 际 问 题 的 解 决 思 想 和 运 算 能 力 的 培 养 。问 题 .3为 了 估 计 函 数29xy在 第 一 象 限 的 图 像 与 x轴 、 y轴 围 成 的 区 域 的 面 积X ,把x轴 上 的 区 间 0 ,3 分 成n等 份 ， 从 各 个 分 点 作y轴 的 平 行 线 与 函 数 图 像 相 交 ， 再 从 各 交 点 向 左 作x轴 的 平 行 线 ， 构 成 （ n -1 ） 个 矩形 ， 下 面 的 程 序 用 来 计 算 （ n -1 ） 个 矩 形 的 面 积 的 和 s .S U M = 0K = 1IN P U TNW H IL Ek = N -1A N = (9 -(9 *3/N )2 )*3 /NS U M = S U M + A NP R IN Tk ,A N ,S U Mk= k+ 1W E N DE N D阅 读 程 序 ， 回 答 下 面 的 问 题 ： （ 1 ） 程 序 中 的A N ,S U M 分 别 表 示 什 么 ， 为 什 么 ？（ 2 ） 请 根 据 程 序 计 算 当n = 6 ,1 1 ,16时 ， 各 个 矩 形 的 面 积 的 和 （ 不 必 在 计 算 机 上 运 行 ） .【 分 析 】 首 先 应 根 据 所 给 的 程 序 ， 结 合 图 形 ， 搞 清A N = (9 -(9 *3 /N )2 )*3/N的 含 义 ， S U M的 含 义 也 就 随 之 而 知了 【 解 析 】 经 过 分 析 ， 知 ： A N 表 示 第 k个 矩 形 的 面 积 ； S U M 表 示 前k个 矩 形 的 面 积 的 和 （ 祥 见 课 本 第 5 8页 ）【 点 评 】 此 题 的 出 现 ， 为 后 面 学 习 导 数 知 识 做 好 了 铺 垫 。四 、 思 悟 小 结 ：yo名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - - 知 识 线 ：（ 1） 等 比 数 列 前 项 和 的 定 义 ；（ 2 ） 等 比 数 列 前 项 和 公 式 ；（ 3） 相 关 的 等 比 数 列 的 性 质 。思 想 方 法 线 ：（ 1 ） 公 式 法 及 错 位 相 减 法 ；（ 2 ） 方 程 思 想 ；（ 3 ） 整 体 思 想 ；（ 4 ） 函 数 思 想 。题 目 线 ：（ 1） 利 用 等 比 数 列 的 通 项 公 式 、 前 项 和 公 式 解 决 关 于 前 项 和 的 基 本 问 题 ；（ 2 ） 利 用 等 比 数 列 的 通 项 公 式 、 前 项 和 公 式 解 决 上 述 问 题 的 逆 向 问 题 ；（ 3 ） 实 际 问 题 ；（ 4 ） 相 关 的 综 合 问 题 。五 、 针 对 训 练 巩 固 提 高 ：1.(2 00 7湖 南 ) 在 等 比 数 列na中 ， 若11a，418a， 则 该 数 列 的 前1 0项 和 为 （）A 4122B 9212C 10122D 111222.（ 2 0 09北 京 文 ） 若 数 列na满 足 ：111,2()nnaaa nN， 则5a； 前8项 的 和8S.（ 用 数 字 作 答 ）中：在等比数列na.3 E MBE D Eq u a t i o n . 3;,64, 1) 1441sqaa与求已知（名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - - qasa与求已知133,29,23)2(4. 求 和 ：);2() 1).(1(2naaan（）);534534()532).(221n（）（12321).3(nnxxx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - - 5. 已知 f(x )= k x+ b 是一次函数，且f(2 ),f(5),f(4 ) 成等比数列，f(8 )= 1 5 , 求的表达式。).()2() 1(Nnnfffsn6. 利 用 等 比 数 列 的 前n项 公 式 证 明 ： 如 果a b ， 且a ,b都 不 为0 ， 则 E MB E D E q u a t i o n . 3babababbabaannnnnnn111221其 中n N*,a ,b是 不 为0的 常数 ， 且a b .名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 11 页 - - - - - - - - - 【 作 业 】 课 本6 1页 A组2 、 3 、 4 （ 1 ） 题名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 11 页 - - - - - - - - -