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Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date线性代数模拟试题及答案线性代数模拟试题及答案 线性代数期末模拟试题一 得分阅卷人一、填空（本题20分每小题2分）1设为四阶行列式,若表示元素的余子式，表示元素的代数余子式，则+= 。2三阶行列式中只有位于两条对角线上的元素均不为零， 则该三阶行列式的所有项中有 项不为零，这一结论对阶行列式（填成立或不成立）。3设均为3维列向量，记矩阵记矩阵，若，则。4设矩阵，则。5设矩阵可逆，且矩阵，所以矩阵一定可以由矩阵经过（填行或列）初等变换而得到。6设向量组，若 则一定可以由向量唯一的线性表示。7非齐次线性方程组有 唯一的解是对应的齐次方程组只有零解的充分但不必要条件。8设3阶矩阵的行列式 ，则矩阵一定有一个特征值。9阶矩阵有个特征值1，2，阶矩阵与相似，则。10向量组： （填是或不是）向量空间一个规范正交基。得分阅卷人二、单项选择（本题10分，每小题2分）注意：请务必将你的选择题的答案按要求填入下表，否则答案无效！题号12345答案序号1设矩阵为阶方阵，则关于非齐次线性方程组的解下列说法（ ）不正确（A） 若方程组有解，则系数行列式; （B） 若方程组无解，则系数行列式;（C） 若方程组有解，则或者有唯一解或者有无穷多解;（D） 系数行列式是方程组有唯一解的充分必要条件.2. 设为阶可逆矩阵，下列正确的是（ ）（A） ； (B) ；(C) ；(D) 。3. 奇异方阵经过（ ）后，矩阵的秩有可能改变。(A) 初等变换； (B) 左乘初等矩阵； (C) 左、右同乘初等矩阵； (D) 和一个单位矩阵相加。4设非齐次线性方程组的系数矩阵是矩阵，且的行向量组线性无关，则有（ ）。(A) 的列向量组线性无关；(B) 增广矩阵的行向量组线性无关；(C) 增广矩阵的任意4个列向量组线性无关；(D) 增广矩阵的列向量组线性无关。5设是非奇异矩阵的一个特征值，则矩阵有一个特征值为 ( ) (A) 4/3； (B) 3/4；(C) 1/2； (D) 1/4。三、计算（2道题，共16分）1设行列式D= ，求（其中分别是第三行各个元素的对应的余子式）。2计算 （得分阅卷人四、（本题12分）已知，为3阶矩阵，表示3阶单位阵，且（1） 求 ；（2）证明矩阵为逆矩阵； （3）若矩阵，满足，证明。得分阅卷人五、（本题12分）问取何值时，方程组有唯一解；2.有无穷多解，并求通解。得分阅卷人六、（本题10分）向量组：由四个向量组成，其中， ， 求：（）向量组的秩；（2）向量组线性相关性；（3）向量组的一个最大无关组。 得分阅卷人七、（本题10分）已知二次型（其中为待定系数）经过正交变换化为，试回答下列问题：(1) 写出二次型的矩阵可以含待定系数；(2) 写出的全部特征值；(3) 利用（1）、（2）求出的值得分阅卷人八、（本题5分）在中，取两组基 组：， 组：，若向量在基下的坐标为，求它在基下的坐标得分阅卷人九、（本题5分）设非齐次方程组有解其中，并且试回答：（1）非齐次方程组是几元的？（2）若是对应的齐次方程组，则写出它的一个基础解系。（3）写出方程组的通解。 线性代数期末模拟试题二 得分阅卷人 一、填空题（6×4=24分），将答案填在横线上。1若2方程组3 45若6若得分阅卷人二、方程组（12分）当k为何值时，方程组 1有唯一解；2有无穷多解；3无解。得分阅卷人三、（10分）设1已知2已知得分阅卷人四、（12分）设得分阅卷人五、（8分）设向量组1|A|=2该向量组线性无关的充要条件是k满足3方程组Ax=0有非零解的充要条件是k满足k=3 ork=-44若Ax=0的基础解系为1，1，1T，则k=。得分阅卷人六、单项选择题（5×2=10分）在括号内填上唯一选择项的代号：1设3个同阶方阵A，P，Q分别为对称阵，可逆阵，正交阵，下列四个矩阵变换中，保持A的秩、行列式的值、特征值和对称性都不变的矩阵变换是（ ）。2设A，B均为n阶方阵，在下列各项中只有（ ）正确。 （1）若A0，B0，则AB0； （2）若A和B都是对称矩阵，则AB也是对称矩阵； （3）若AB不可逆，则A和B都不可逆；（4）若AB可逆，则A和B都可逆3设n阶矩阵A，B，C满足关系式ABC=I,则（2 ）成立。(1) ACB=I ; (2) BCA=I ;(3) BAC=I ; (4) CBA=I。4设，则（ 3 ）。 （1）当m<n时，AB可逆； （2）当m<n时，AB不可逆； （3）当m>n时，AB不可逆； （4）当m>n时，AB可逆。5设，则（ ）。 （1）A的列向量组线性无关； （2）A的列向量组线性相关； （3）A的行向量组线性无关；（4）A的行向量组线性相关。得分阅卷人七、（12分）设1求该二次型对应的对称阵A；2当k满足什么条件时A正定？得分阅卷人八、证明下列各题（2×6=12分）1证明：若n阶实对称阵A的两个不同的特征值，则p和q正交。2 设。 线性代数期末模拟试题三 一、填空（每小题填对者得4分，填错或不填者一律不得分，共16分）得分阅卷人1设为n阶行列式D的元素，的代数余子式，则 （其中）。2设3阶矩阵A与矩阵相似，A的特征值为 。 3设A为n阶矩阵，若 ，则称 A为正交矩阵。4n元非齐次线性方程组存在解的充分必要条件为 。二、选择填空（每小题填对者得4分，填错或不填者一律不得分，共16分）得分阅卷人1.设A和B均为n阶矩阵，则下列结论正确的是（ ）(A) ； (B)；(C) ； (D) 。2.设为阶方阵，且，是非齐次线性方程的两个不同的解向量，则的通解为（ ）（其中、为任意常数）(A) (B) (C) (D) 3. 设，且有，则（ ）。(A) (B) (C) (D) 4.设A为n阶矩阵，且A的行列式|A|=0，则A中（ ）(A) 必有一列向量是其余列向量的线性组合；(B) 必有一列元素全为0；(C) 必有两列元素成比例； (D) 任意一列向量是其余列向量的线性组合。三、（每小题6分，共12分）计算下列行列式得分阅卷人1计算4阶行列式2计算n+1阶行列式 得分阅卷人四、（10分）已知，为3阶矩阵，满足，其中和都是不为0的常数（1） 计算，其中是3阶单位矩阵（2） 证明及均可逆； （3） 若，求矩阵。得分阅卷人五、（10分）设 1求矩阵A的秩；2判别A的列向量组的线性相关性；3求矩阵A的列向量组的一个极大线性无关组；得分阅卷人六、（12分）求非齐次线性方程组 通解，并指出对应齐次方程组的基础解系。得分阅卷人七、（14分）已知二次型1写出二次型的矩阵，并写出二次型的矩阵表达式；2求的全部特征值；3求一个正交变换将二次型化为标准形；并指出二次型的正定性。八、证明下列各题（每小题5分，共10分）得分阅卷人1设n阶矩阵相似，证明相似2设3维向量组线性无关，证明：线性无关 线性代数期末模拟试题四 得分阅卷人一、填空题（本题18分，每小题3分）1、若，则。2、若对一个矩阵实施一次行变换等价于在该矩阵的边乘以一个相应的初等矩阵。3、为四阶的方阵，且是它的伴随阵，则 。 4、。5、设n阶矩阵的行列式 ，则方程组（有，无）解6、若2，4，6，8是四阶矩阵A的4个特征值，则矩阵的4个特征值。二、选择填空（每小题只选择一个答案，选错或不选一律不得分，每小题3分，共18分）得分阅卷人1、 设矩阵，行列式，若矩阵行列式（ ）（A）8 ； (B) ； (C) 24 ； (D) -216 。2、设A、B、C为n阶矩阵，且矩阵A可逆，则下列四个结论中不正确的是（ ）。(A) ； (B) 若；(C) 若； (D) 若 。3、设非齐次线性方程组的系数矩阵A是则方程组（ ）。（A）在时一定有解； （B）在时有唯一解；(C) 在有无穷解； （D）在时有唯一解。4、向量组线性无关的充分必要条件是（ ）。(A) 存在一组全不为零的数，使等式成立；(B)存在一组全为零的数，使等式成立；(C)每个都不能用其他向量线性表示； (D)有线性无关的部分组。5、若其中是n阶矩阵，则下列四个结论中正确的是（ ）。(A)都是的特征值 ； (B) 1是的特征值；(C) -1或1至少有一个是的特征值； (D) -1是的特征值6、n阶矩阵A与n阶矩阵B相似，则下列四个结论中不正确的是（ ）。(A) A与B有n个相同特征值； (B) A与B有相同的特征向量；(C) A与B有相等的行列式； (D) A与B有相同的秩三、计算（每小题6分，共12分）得分阅卷人1、 2，得分阅卷人四、（11分）设向量组（1）该向量组的秩； （）该向量组的一个最大无关组；（）将向量组中不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示。得分阅卷人五、（12分）试求方程组 当为何值时有唯一一组解、无解或有无穷多组解 ? 并在有无穷多组解时求其通解。得分阅卷人六、（10分）矩阵得分阅卷人七、（14分）已知二次型，写出二次型的矩阵，并写出二次型的矩阵表达式；求的特征值；求一个正交变换将二次型化为标准形；指出二次型的秩与正定性。得分阅卷人八、证明题（5分）已知向量组 是两个线性无关组，并且每个和每个都正交。证明：向量线性无关。 线性代数期末模拟试题五 得分阅卷人一、填空题（每小题5分，共20分）设，则设，则=设均为n维向量（），则向量组必线性 关。设 （其中m为正整数）得分阅卷人二、选择填空（每小题只选择一个答案，选错或不选一律不得分，每小题5分，共20分）设(A)；(B) ；(C) ；（D）。如果向量可由向量组线性表示，则必有（ ）。(A)存在一组不全为零的数，使等式成立；(B)存在一组全为零的数，使等式成立；(C)对的表示式不唯一；(D)向量组线性相关。n元方程组有唯一解的充分必要条件是（ ）。(A)秩 ； (B) 为方阵且；(C) ； (D)秩，且可由的列向量组线性表示。设是可逆矩阵的特征值，则矩阵有一个特征值为（ ）。(A) ； (B) ； (C) ； (D) 。三、计算下列行列式（每小题6分，共12分）得分阅卷人 计算n阶行列式(n>2)得分阅卷人四、（10分）问取何值时，方程组无解；有唯一解；有无穷多解，并求通解。得分阅卷人五、（7分）设 ，,求得分阅卷人六、（7分）设，证明：可逆的充分必要条件是矩阵可逆。得分阅卷人七、（14分）已知二次型，且已知二次型的矩阵的一个特征值为1。写出二次型的矩阵，并写出二次型的矩阵表达式；求得值，并求的另两个特征值；求一个正交变换将二次型化为标准形；指出二次型的秩与正定性。八、（每小题5分，共10分）证明下列各题已知n维向量的各分量均大于零，即，又设n阶矩阵，即矩阵。证明秩； 证明向量的特征向量，并求所对应的特征值。已给2n维向量组和2n维向量组，而且该向量组是方程组的基础解系。证明向量组是方程组的基础解系。 线性代数期末模拟试题六 得分阅卷人一、填空（每题2分，共20分）1、排列134782695的逆序数为。2、当满足 时，矩阵可逆。3、若A是5阶方阵，且=1，则 = 。4、当X为 行 列矩阵时,下列运算可以进行 ;其结果是 行 列矩阵。 5、矩阵的伴随矩阵= ， 逆阵= 。 6、向量组是线性_关的。7、2是A的特征值，则。8、向量空间的维数为 。9、若，则 。10，如果与四元线性方程组AX=O的同解方程组是，则有R(A)= ，AX=O的基础解系有 个解向量。得分阅卷人二、单项选择（每题2分，共10分）1, 设A、B为n阶方阵，E是n阶单位矩阵，则AB+B=；(A) (A+1)B ; (B) B(A+E) ; (C) (A+E)B ; (D) B(1+A) 。2，为n阶方阵A的伴随矩阵，则； (A) ; (B) ; (C) ; (D) .3, 设为非齐次线性方程组，下列结论正确的是；（A） 若无解,则也无解;（B） 若有解,则也有解;（C） 若只有零解,则只有唯一解 ；(D) 若有无多解,则也有无穷多解。4, 设A、B为n阶方阵，若，则；（A） 或 ；（B） A=0或B=0 ; (C) A+B=0 ; (D) BA=0 。5, 下列结论不正确的是；（A） 如阶矩阵A有个线性无关的特征向量，则矩阵A一定可以对角化；（B） 如阶矩阵A有个不同的特征值，则矩阵A一定可以对角化；（C） 如阶矩阵A有个不同的特征向量，则矩阵A一定可以对角化；（D） 如阶矩阵A是对称阵，则矩阵A一定可以对角化。得分阅卷人三、计算行列式（每题7分，共14分）1 2 得分阅卷人四、计算矩阵（每题8分，共16分）1、2、 已知，为3阶矩阵，其中可逆，且，（1）证明及均可逆；（2）若，求矩阵。得分阅卷人五、方程组的解（12分）取何值时，方程组 有唯一一组解、无解或有无穷多组解 ? 并在有无穷多组解时求其通解。得分阅卷人六、向量组的线性相关性（10分）向量组：由五个向量组成，其中，求：（）向量组的秩；（）向量组的一个最大无关组；（）将向量组中不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示。得分阅卷人七、二次型（12分）已知二次型，1) 写出二次型的矩阵，并写出二次型的矩阵表达式；2) 求的全部特征值；3) 求一个正交变换，将二次型化为标准型。得分阅卷人八、证明题（分）设为阶矩阵且满足，是矩阵的特征值，求证：也是矩阵的特征值。 线性代数期末模拟试题一答案 一、填空：10； 22，不成立；3-2；4；5； 6 ；7、充分；80； 9 ；10是。得分阅卷人二、单项选择：题号12345选项AADBB三、1解：方法一：= =2=-2=-4=4方法二：所以=42 解：原式= =四、解：（1）； （2）可逆；（3）由得可逆，。五、解： 当时，此时方程有唯一解。当时，此时方程有无数解。 与原方程同解的方程为，取得方程的通解为 六、解：（1）向量组所对应的矩阵A故； （2）<，故向量组线性相关； （3）由A，知是A的一个最大无关组； 七、解：（1），二次型的矩阵=；二次型的矩阵表达式=； （2），写出的全部特征值为0，2，1；（3）， 八、解：记方法一：由过渡阵（2分）利用初等变换得： 所以P=由坐标转换公式，在基下的坐标 方法二：由过渡阵又在基下的坐标得九、解：（1）解向量是四维的，非齐次方程组是四元的； （2）的基础解系含4-3=1个向量； 是非齐次方程组的解 2是的一个解 又2=2是的基础解系方程组的通解 +（成为任意常数） 线性代数期末模拟试题二答案 一、填空题：1；2；3；4；5；6。二、解：或 1当k2且k1时有唯一解；2当k=1时， 有无穷多解；3当k=1时， 无解。三、解： 12法1： 所以 法2： 四、解： 所以 五、解答：12（k+4）(k3)；2 k-4且k3；3 k=-4或k=3；4.4 。六、单项选择题：1（ 4 ）;2（ 4 ）;3（ 3 ）； 4（ 3 ）;5（ 2 ）。七、解：设23于是 因为k=3时A不正定，所以k=3,m=1法2：2 3所以，。此时因此m=1。此时二次型的标准形不能是 。总之，当k=3,m=1时。八、1证明：因为所以2证明：设（1）（2）（3）。 线性代数期末模拟试题三 答案一、填空：10; 22,5,1; 3; 4 二、选择填空：1. D； 2. C ;3.C；4.A 三、解：1.原式=-1442原式= =四、解：（1）=； （2）将代入（1）得=，故及均可逆； （3）由得，即由得：= 五、 解：1 所以 2由于矩阵A的秩为3，所以A的列向量组的秩也为3，而向量的个数为4，所以矩阵A的列向量组是线性相关的。 3由于A经过初等行变换后化为U，而U的第1，2，4列是U的列向量组的一个极大线性无关组，所以。六、解： 对应同解方程组令，得非齐次方程组得一个特解 ，对应齐次方程组的同解方程组令，得齐次方程组得基础解系：，七、解： 由得特征值为： 。 当时，解方程组正交化得 单位化得 当时，解方程组 作正交变换：，则二次型化为标准形 由于，所以二次型的秩是1，二次型不是正定的。 八、1证明：因为相似，所以存在可逆矩阵，使，因此，所以相似。2 证明：设有常数，则有由于向量组线性无关，所以有解之得：，所以线性无关。 线性代数期末模拟试题四 一、填空题：1、12； 2、左；3、；4、3；5、无；6、-1，1，3，5。二、选择填空：1、A；2、A；3、A；4、C；5、C；6、B。三、解：1、= =-3 。2，原式= 四、解：令=，由此得：（1）该向量组的秩为3。 （2）是该向量组的一个最大无关组。继续对A实行行的初等变换得：，由此得：（3）； 。五、解：由得：（1）且时，方程组有唯一解。（2）时，无解。（3）时，有无穷解。在有无穷多组解时，由此得：通解为：。，则。七、解：（1），。（2）=，即，。（3）时，基础解系：，单位化；同理可求：，；，。取，正交变换可以使二次型化为标准形：（4）所以，二次型的秩是3；由于特征值都大于零，故属正定二次型。八、证明：设有使得：成立，则需证：。令，则，而线性无关，。同理可证。 线性代数期末模拟试题五答案 一、填空题：一、 6k； ； 相； 0 。二、选择填空： (B)； (D)；(D)； (C) 。三、解: =0 相邻两列相减（后列减前列）得=0四、解：当时，此时方程组无解。 当时，此时方程有唯一解。当时， 与原方程同解的方程为，取得方程的通解为 五、解：= = 六、证明：根据分块矩阵乘法直接可得证对式两边取行列式可得证 由式可知，可逆的充分必要条件是，即矩阵可逆。由于均可逆，所以由式七、 解： 因为是特征值，所以而 ，所以 当时， 所以的另两个特征值为 当时，解方程组当时，解方程组当时，解方程组 作正交变换：，则二次型化为标准形 由于二次型的特征值均大于零，所以二次型的秩是3，二次型是正定的。八、证明： 因为矩阵成比例，且不为零，所以秩； 因为，所以向量的特征向量，并且所对应的特征值为n。因为是非齐次线性方程组的线性无关的特解，所以是对应的齐次线性方程组的解，且可证它们是线性无关的。 因此方程组的通解为其中是任意常数。取，则，且 线性代数期末模拟试题六答案 一、填空：1、10；2、； 3、32 ；4、3行2列，1行2列； 5、 ， ；6、无 ；7、；8 ；9、；10、 2 ， 2。二、 单项选择：1,C；2，；3,D；4,A； 5,C。三、计算行列式（每题7分，共14分）解：1 =3 2 =四、计算矩阵（每题8分，共16分）解：1、原式=2、（1）由可得：E，即所以可逆； 又由可得：，即，而及A均可逆，故B可逆。 （2）由可得： = 所以A=2= 五、解：增广矩阵 当时，即时，方程组有唯一一组解；当时，方程组无解； 当时，方程组有无数组解；此时，对应的同解方程组为：令，得特解：， 此时方程组的通解是：= 。六、解：令A= 故，故向量组A的秩为3； 由于，即，故是向量组A的一个最大无关组； A故， 。 七、解：二次型矩阵为，=，故A的特征值为，； 当时，解方程组由得基础解系，取 ，；当时，解方程组，由得基础解系，取 ；于是正交变换为，且有。 八、证明：是矩阵的特征值，故有，则，即，（-1），故是矩阵的特征值。-