2022高考数学一轮复习 第四章 第1讲 任意角 弧度制及任意角的三角函数知识点 新人教A版 .doc

第1讲 任意角、弧度制及任意角的三角函数最新考纲1.了解任意角的概念；2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化；3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义知 识 梳 理1角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形(2)分类(3)终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S|k·360°，kZ2弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式角的弧度数公式|(弧长用l表示)角度与弧度的换算1° rad；1 rad°弧长公式弧长l|r扇形面积公式Slr|r23.任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y叫做的正弦，记作sin x叫做的余弦，记作cos 叫做的正切，记作tan 各象限符号三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线诊 断 自 测1判断正误(在括号内打“”或“×”)精彩PPT展示(1)小于90°的角是锐角(×)(2)锐角是第一象限角，反之亦然(×)(3)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30°.(×)(4)若，则tan sin .()(5)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等(×)2下列与的终边相同的角的表达式中正确的是()A2k45°(kZ) Bk·360°(kZ)Ck·360°315°(kZ) Dk(kZ)解析与的终边相同的角可以写成2k(kZ)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确答案C3(2014·新课标全国卷)若tan 0，则()Asin 20 Bcos 0 Csin 0 Dcos 20 解析由tan 0可得的终边在第一象限或第三象限，此时sin 与cos 同号，故sin 22sin cos 0，故选A.答案A4(2014·大纲全国卷)已知角的终边经过点(4，3)，则cos ()A. B. C D 解析由三角函数的定义知cos .故选D.答案D5(人教A必修4P10A6改编)一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为_弧度答案考点一象限角与三角函数值的符号判断【例1】 (1)若角是第二象限角，则是()A第一象限角 B第二象限角C第一或第三象限角 D第二或第四象限角(2)若sin ·tan 0，且0，则角是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角解析(1)是第二象限角，2k2k，kZ，kk，kZ.深度思考象限角的判定有两种方法，请你阅读规律方法，其中角的判断结论为：当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角(2)由sin ·tan 0可知sin ，tan 异号，从而为第二或第三象限的角，由0，可知cos ，tan 异号从而为第三或第四象限角综上，为第三象限角答案(1)C(2)C规律方法(1)已知所在的象限，求或n(nN*)所在的象限的方法是：将的范围用不等式(含有k)表示，然后两边同除以n或乘以n，再对k进行讨论，得到或n(nN*)所在的象限(2)象限角的判定有两种方法：一是根据图象，其依据是终边相同的角的思想；二是先将此角化为k·360°(0°360°，kZ)的形式，即找出与此角终边相同的角，再由角终边所在的象限来判断此角是第几象限角(3)由角的终边所在的象限判断三角函数式的符号，需确定各三角函数的符号，然后依据“同号得正，异号得负”求解【训练1】 (1)设是第三象限角，且cos ，则是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角(2)sin 2·cos 3·tan 4的值()A小于0 B大于0C等于0 D不存在解析(1)由是第三象限角，知为第二或第四象限角，cos ，cos 0，综上知为第二象限角(2)sin 20，cos 30，tan 40，sin 2·cos 3·tan 40.答案(1)B(2)A考点二三角函数的定义【例2】 已知角的终边经过点P(，m)(m0)且sin m，试判断角所在的象限，并求cos 和tan 的值解由题意得，r，sin m.m0，m±.故角是第二或第三象限角当m时，r2，点P的坐标为(，)，cos ，tan .当m时，r2，点P的坐标为(，)cos ，tan .综上可知，cos ，tan 或cos ，tan .规律方法利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x，纵坐标y，该点到原点的距离r.若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)【训练2】 已知角的终边在直线3x4y0上，求sin ，cos ，tan 的值解角的终边在直线3x4y0上，在角的终边上任取一点P(4t，3t)(t0)，则x4t，y3t，r5|t|，当t>0时，r5t，sin ，cos ，tan ；当t<0时，r5t，sin ，cos ，tan .综上可知，sin ，cos ，tan 或sin ，cos ，tan .考点三扇形弧长、面积公式的应用【例3】 已知一扇形的圆心角为(>0)，所在圆的半径为R.(1)若60°，R10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；(2)若扇形的周长是一定值C(C>0)，当为多少弧度时，该扇形有最大面积？解(1)设弧长为l，弓形面积为S弓，则60°，R10，l×10(cm)，S弓S扇S××10×102×sin 50(cm2)(2)扇形周长C2Rl2RR，R，S扇·R2···.当且仅当24，即2时，扇形面积有最大值.规律方法涉及弧长和扇形面积的计算时，可用的公式有角度表示和弧度表示两种，其中弧度表示的公式结构简单，易记好用，在使用前，应将圆心角用弧度表示弧长和扇形面积公式：l|R，S|R2lR.【训练3】 已知扇形的周长为4 cm，当它的半径为_ cm和圆心角为_弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是_ cm2.解析设扇形圆心角为，半径为r，则2r|r4，|2.S扇形|·r22rr2(r1)21，当r1时，(S扇形)max1，此时|2.答案121 微型专题三角函数线的应用三角函数线是三角函数的几何特征，具有重要的意义，考生在平时的备考中总认为它是概念性内容，事实并不然，其应用十分广泛，除了用来比较三角函数值的大小，解三角不等式外，还是数形结合的有效工具，借助它不但可以准确画出三角函数图象，还可以讨论三角函数的性质【例4】 函数ylg(2sin x1)的定义域为_点拨依据题意列出不等式组，通过画图作出三角函数线，找到边界角，从而求出各不等式的取值范围，最后求交集即可解析要使原函数有意义，必须有：即如图，在单位圆中作出相应三角函数线，由图可知，原函数的定义域为(kZ)答案(kZ)点评利用单位圆求解函数定义域问题时，应熟练掌握0到2范围内的特殊角的三角函数值，注意边界角的取舍，一定要与相应三角函数的周期结合起来，这也是本题的难点所在思想方法1任意角的三角函数值仅与角的终边位置有关，而与角终边上点P的位置无关若角已经给出，则无论点P选择在终边上的什么位置，角的三角函数值都是确定的如有可能则取终边与单位圆的交点其中|OP|r一定是正值2三角函数符号是重点，也是难点，在理解的基础上可借助口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦3在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧易错防范1注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角第一类是象限角，第二、第三类是区间角2角度制与弧度制可利用180° rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用3已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1若sin 0且tan 0，则是() A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角 解析sin 0，则的终边落在第三、四象限或y轴的负半轴；又tan 0，在第一象限或第三象限，故在第三象限 答案C2若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角(0，)的弧度数为() A. B. C. D2 解析设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为r，所以r·r，. 答案C3若是第三象限角，则下列各式中不成立的是() Asin cos 0 Btan sin 0 Ccos tan 0 Dtan sin 0 解析是第三象限角，sin 0，cos 0，tan 0，则可排除A，C，D，故选B. 答案B4(2014·南阳一模)已知锐角的终边上一点P(sin 40°，1cos 40°)，则锐角()A80° B70° C20° D10°解析根据三角函数定义知，tan tan 70°，故锐角70°.答案B5给出下列命题：第二象限角大于第一象限角；三角形的内角是第一象限角或第二象限角；不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；若sin sin ，则与的终边相同；若cos <0，则是第二或第三象限的角其中正确命题的个数是()A1 B2C3 D4解析由于第一象限角370°不小于第二象限角100°，故错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故错；正确；由于sin sin ，但与的终边不相同，故错；当cos 1，时既不是第二象限角，又不是第三象限角，故错综上可知只有正确答案A二、填空题6已知是第二象限的角，则180°是第_象限的角解析由是第二象限的角可得90°k·360°180°k·360°(kZ)，则180°(180°k·360°)180°180°(90°k·360°)，即k·360°180°90°k·360°(kZ)，所以180°是第一象限的角答案一7已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若P(4，y)是角终边上一点，且sin ，则y_解析因为sin ，所以y0，且y264，所以y8.答案88函数y的定义域为_解析2cos x10，cos x.由三角函数线画出x满足条件的终边的范围(如图阴影所示)x(kZ)答案(kZ)三、解答题9已知角的终边上有一点的坐标是P(3a，4a)，其中a0，求sin ，cos ，tan .解r5|a|.当a0时，r5a，sin ，cos ，tan ；当a0时，r5a，sin ，cos ，tan .综上可知，sin ，cos ，tan 或sin ，cos ，tan .10(1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角；(2)一个扇形OAB的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，求圆心角的弧度数和弦长AB.解(1)设圆心角是，半径是r，则解得或(舍去)扇形的圆心角为.(2)设圆的半径为r cm，弧长为l cm，则解得圆心角2.如图，过O作OHAB于H，则AOH1 rad.AH1·sin 1sin 1 (cm)，AB2sin 1 (cm)能力提升题组(建议用时：25分钟)11已知角的终边经过点(3a9，a2)，且cos 0，sin 0，则实数a的取值范围是()A(2，3 B(2，3)C2，3) D2，3解析由cos 0，sin 0可知，角的终边落在第二象限或y轴的正半轴上，所以有解得2a3.答案A12已知圆O：x2y24与y轴正半轴的交点为M，点M沿圆O顺时针运动弧长到达点N，以ON为终边的角记为，则tan ()A1 B1C2 D2解析圆的半径为2，的弧长对应的圆心角为，故以ON为终边的角为，故tan 1.答案B13如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P的位置在(0，0)，圆在x轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于(2，1)时，的坐标为_解析如图，作CQx轴，PQCQ，Q为垂足根据题意得劣弧2，故DCP2，则在PCQ中，PCQ2，|CQ|cossin 2，|PQ|sincos 2，所以P点的横坐标为2|CQ|2sin 2，P点的纵坐标为1|PQ|1cos 2，所以P点的坐标为(2sin 2，1cos 2)，故(2sin 2，1cos 2)答案(2sin 2，1cos 2)14已知sin 0，tan 0.(1)求角的集合；(2)求终边所在的象限；(3)试判断tan sin cos的符号解(1)由sin 0，知的终边在第三、四象限或y轴的负半轴上；由tan 0，知在第一、三象限，故角在第三象限，其集合为.(2)由(2k1)2k，得kk，kZ，故终边在第二、四象限(3)当在第二象限时，tan 0，sin 0，cos 0，所以tan sin cos 取正号；当在第四象限时，tan 0，sin 0，cos 0，所以tan sin cos 也取正号 因此，tan sin cos 取正号.第2讲 同角三角函数基本关系式与诱导公式最新考纲1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2cos21，tan ；2.能利用单位圆中的三角函数线推导出±，±，的正弦、余弦、正切的诱导公式知 识 梳 理1同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2cos21(2)商数关系：tan_2三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2k(kZ)正弦sin sin_sin_sin_cos_Cos_余弦cos cos_ cos_ cos_ sin_sin_ 正切tan tan_tan_tan_口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限诊 断 自 测1判断正误(在括号内打“”或“×”)精彩PPT展示(1)sin()sin 成立的条件是为锐角(×)(2)六组诱导公式中的角可以是任意角()(3)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化()(4)若k(kZ)，则cos2.()2tan 300°sin 450°的值为()A1 B1 C1 D1解析tan 300°sin 450°tan(360°60°)sin(360°90°)tan(60°)sin 90°tan 60°11.答案B3(2015·广州调研)已知sin，那么cos ()A B C. D.解析sinsincos ，cos .故选C.答案C4已知sin()log8 ，且，则tan(2)的值为()A B. C± D.解析sin()sin log8 ，又因为，则cos ，所以tan(2)tan()tan .答案B5(人教A必修4P22B3改编)已知tan 2，则sin cos _解析sin cos .答案考点一同角三角函数基本关系式及应用【例1】 (1)已知tan 2，则_.(2)已知tan 2，则sin2sin cos 2cos2 ()A B. C D.解析(1)1.(2)由于tan 2，则sin2sin cos 2cos2.答案(1)1(2)D规律方法若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次分式的值，则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值，这是同角三角函数关系中的一类基本题型【训练1】 若3sin cos 0，则的值为()A. B. C. D2解析3sin cos 0cos 0tan ，.答案A【例2】 (1)(2014·山东省实验中学诊断)已知sin ·cos ，且，则cos sin 的值为_(2)已知0，sin cos ，则的值为()A. B. C. D.解析(1)当时，sin cos ，cos sin 0，又(cos sin )212sin cos 1，cos sin .深度思考第(2)小题有两种解法，其一结合平方关系解方程组求sin 与cos ；其二求cos sin ；你用到的哪一种？但作为选择题本题还可以根据已有的结论猜测sin 与cos .(2)法一联立由得，sin cos ，将其代入，整理得25cos25cos 120.因为0，所以于是.法二因为sin cos ，所以(sin cos )2，可得2sin cos .而(cos sin )2sin22sin cos cos21，又0，所以sin 0，cos 0，所以cos sin .于是.答案(1)(2)C规律方法求解此类问题的关键是：通过平方关系，对称式sin cos ，sin cos ，sin cos 之间可建立联系，若令sin cos t，则sin cos ，sin cos ±(注意根据的范围选取正、负号)，这种关系在三角函数式的化简、求值、证明中十分有用【训练2】 已知sin cos ，(0，)，则tan ()A1 B C. D1解析法一由得：2cos22cos 10，即0，cos .又(0，)，tan tan 1.法二因为sin cos ，所以sin，所以sin1.因为(0，)，所以，所以tan 1.法三因为sin cos ，所以(sin cos )22，所以sin 21.因为(0，)，2(0，2)，所以2，所以，所以tan 1.答案A考点二利用诱导公式化简三角函数式【例3】 (1)sin(1 200°)cos 1 290°cos(1 020°)·sin(1 050°)_(2)设f()(12sin 0)，则f _解析(1)原式sin 1 200°cos 1 290°cos 1 020°sin 1 050°sin(3×360°120°)cos(3×360°210°)cos(2×360°300°)sin(2×360°330°)sin 120°cos 210°cos 300°sin 330°sin(180°60°)cos(180°30°)cos(360°60°)·sin(360°30°)sin 60°cos 30°cos 60°sin 30°××1.(2)f()，f.答案(1)1(2)规律方法利用诱导公式化简三角函数的基本思路和化简要求：(1)基本思路：分析结构特点，选择恰当公式；利用公式化成单角三角函数；整理得最简形式(2)化简要求：化简过程是恒等变形；结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值【训练3】 (1)sin(1 071°)sin 99°sin(171°)sin(261°)tan(1 089°)tan(540°)_(2)化简：_解析(1)原式(sin 1 071°)·sin 99°sin 171°·sin 261°tan 1 089°·tan 540°sin(3×360°9°)sin(90°9°)sin(180°9°)·sin(270°9°)tan(3×360°9°)·tan(360°180°)sin 9°cos 9°sin 9°cos 9°tan 9°·tan 180°000.(2)原式1.答案(1)0(2)1 考点三利用诱导公式求值【例4】 (1)已知sin，则cos_(2)已知tan，则tan_解析(1)，coscossin.(2)，tantantan.答案(1)(2)规律方法巧用相关角的关系会简化解题过程常见的互余关系有与；与；与等，常见的互补关系有与；与等【训练4】 (1)已知sin，则cos_(2)若tan()，则tan(3)_解析(1)coscoscoscos，而sinsincos，所以cos.(2)因为tan()tan ，所以tan(3)tan()tan .答案(1)(2)思想方法1同角三角函数基本关系可用于统一函数；诱导公式主要用于统一角，其主要作用是进行三角函数的求值、化简和证明，如已知一个角的某一三角函数值，求这个角的其它三角函数值时，要特别注意平方关系的使用2三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan x进行切化弦或弦化切，如，asin2xbsin xcos xccos2x等类型可进行弦化切(2)和积转换法：如利用(sin ±cos )21±2sin cos 的关系进行变形、转化(3)巧用“1”的变换：1sin2cos2cos2(1tan2)sin2tan .易错防范1诱导公式的应用及注意事项(1)应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断求任意角的三角函数值的问题，都可以通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题，具体步骤为“负角化正角”“正角化锐角”求值(2)使用诱导公式时一定要注意三角函数值在各象限的符号，特别是在具体题目中出现类似k±的形式时，需要对k的取值进行分类讨论，从而确定出三角函数值的正负2化简三角函数应注意的几点(1)化简不同名的三角函数的式子，解答此类问题的一般规律是利用“化弦法”，即把非正弦和非余弦的函数都化为正弦和余弦，以达到消元的目的(2)化简形如(A可化为形如a2的三角函数式)，这种问题是利用|a|(a是实数)化去根号(3)化简含有较高次数的三角函数式，此类问题多用因式分解、约分等基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.()Asin 2cos 2 Bsin 2cos 2C±(sin 2cos 2) Dcos 2sin 2 解析|sin 2cos 2|sin 2cos 2.答案A2已知sin ，则sin4cos4的值为()A B C. D.解析sin4cos4sin2cos22sin211.答案B3已知和的终边关于直线yx对称，且，则sin 等于()A B. C D.解析因为和的终边关于直线yx对称，所以2k(kZ)又，所以2k(kZ)，即得sin .答案D4(2014·肇庆模拟)已知sin，则sin() ()A. B C. D 解析由已知sin，得cos ，sin ，sin()sin .答案D5已知sin，则cos()A. B C. D解析cossinsinsin.答案D 二、填空题6如果sin(A)，那么cos的值是_解析sin(A)，sin A.cossin A.答案7sin ·cos ·tan的值是_解析原式sin·cos·tan··××().答案8已知cosa(|a|1)，则cossin的值是_解析由题意知，coscoscosa.sinsincosa，cossin0.答案0三、解答题9已知sin ，.(1)求tan 的值；(2)求的值解(1)sin2cos21，cos2.又，cos .tan .(2)由(1)知，.10已知在ABC中，sin Acos A.(1)求sin Acos A的值；(2)判断ABC是锐角三角形还是钝角三角形；(3)求tan A的值解(1)sin Acos A，两边平方得12sin Acos A，sin Acos A，(2)由sin Acos A0，且0A，可知cos A0，A为钝角，ABC是钝角三角形(3)(sin Acos A)212sin Acos A1，又sin A0，cos A0，sin Acos A0，sin Acos A，由，可得sin A，cos A，tan A.能力提升题组(建议用时：25分钟)11若sin，则cos等于()A B C. D.解析.sinsincos.则cos2cos21.答案A12(2014·武汉模拟)已知，sin cos ，则tan等于()A7 B7 C. D解析由sin cos 两边平方得12sin cos ，2sin cos ，又，此时sin 0，cos 0，sin cos ，联立得解得sin ，cos ，tan ，tan，故选C.答案C13sin21°sin22°sin290°_解析sin21°sin22°sin290°sin21°sin22°sin244°sin245°cos244°cos243°cos21°sin290°(sin21°cos21°)(sin22°cos22°)(sin244°cos244°)sin245°sin290°441.答案14是否存在，(0，)，使等式sin(3)cos，cos()cos()同时成立？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由解假设存在角，满足条件，则由已知条件可得由22，得sin23cos22.sin2，sin ±.，±.当时，由式知cos ，又(0，)，此时式成立；当时，由式知cos ，又(0，)，此时式不成立，故舍去存在，满足条件.第3讲 两角和与差的正弦、余弦、正切最新考纲1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)知 识 梳 理1两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(±)sin_cos_±cos_sin_cos()cos_cos_±sin_sin_tan(±)2二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 22sin_cos_cos 2cos2sin22cos2112sin2tan 23有关公式的逆用、变形等(1)tan ±tan tan(±)(1tan_tan_)(2)cos2，sin2(3)1sin 2(sin cos )2，1sin 2(sin cos )2，sin ±cos sin.4函数f()asin bcos (a，b为常数)，可以化为f()sin()或f()·cos().诊 断 自 测1判断正误(在括号内打“”或“×”)精彩PPT展示(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角，是任意的()(2)存在实数，使等式sin()sin sin 成立()(3)公式tan()可以变形为tan tan tan()(1tan tan )，且对任意角，都成立(×)(4)存在实数，使tan 22tan .()2(2015·长沙模拟)已知为第二象限角，sin cos ，则cos 2()A B C. D.解析由(sin cos )2得2sin cos ，在第二象限，cos sin ，故cos 2cos2sin2 (cos sin )(cos sin )×，选A.答案A3(人教A必修4P137A13(5)改编)sin 347°cos 148°sin 77°·cos 58°_解析sin 347°cos 148°sin 77°cos 58°sin(270°77°)cos(90°58°)sin 77°cos 58°(cos 77°)·(sin 58°)sin 77°cos 58°sin 58°cos 77°cos 58°sin 77°sin(58°77°)sin 135°.答案4设sin 2sin ，则tan 2的值是_解析sin 2