二次函数中考试题汇编.pdf

学习必备欢迎下载2012 年二次函数中考试题汇编达州市19（6 分）大学生王强积极响应“自主创业”的号召，准备投资销售一种进价为每件40 元的小家电 . 通过试营销发现，当销售单价在40 元至 90 元之间（含40 元和 90 元）时，每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似地看作一次函数，其图象如图所示 . （1）求y与x的函数关系式. （2）设王强每月获得的利润为p（元） , 求p与x之间的函数关系式；如果王强想要每月获得 2400 元的利润，那么销售单价应定为多少元？21（ 8 分）问题背景若矩形的周长为1，则可求出该矩形面积的最大值. 我们可以设矩形的一边长为x，面积为s，则s与x的函数关系式为：xxxs(2120） ，利用函数的图象或通过配方均可求得该函数的最大值. 提出新问题若矩形的面积为1，则该矩形的周长有无最大值或最小值？若有，最大（小）值是多少？分析问题学习必备欢迎下载若设该矩形的一边长为x，周长为y，则y与x的函数关系式为：)1(2xxy（x0） ，问题就转化为研究该函数的最大（小）值了. 解决问题借鉴我们已有的研究函数的经验，探索函数)1(2xxy（x0）的最大（小）值. （ 1）实践操作：填写下表，并用描点法)1(2xxy（x0）的图象：（2）观察猜想：观察该函数的图象，猜想当x= 时，函数)1(2xxy（x0）有最值（填“大”或“小” ） ，是 . （ 3）推理论证：问题背景中提到，通过配方可求二次函数xxxs(2120）的最大值，请你尝试通过配方求函数)1(2xxy（x0）的最大（小）值，以证明你的猜想 . 提示：当x0 时，2)(xx23（ 12 分）如图 1，在直角坐标系中，已知点A（0，2） 、点 B（-2 ，0） ，过点 B和线段 OA的中点 C作直线 BC ，以线段BC为边向上作正方形BCDE. （1）填空：点D的坐标为（） ，点 E的坐标为（）. （2）若抛物线)0(2acbxaxy经过 A、D 、 E三点，求该抛物线的解析式.（3）若正方形和抛物线均以每秒5个单位长度的速度沿射线BC 同时向上平移，直至正方形的顶点E落在y轴上时，正方形和抛物线均停止运动. 在运动过程中，设正方形落在y 轴右侧部分的面积为s，求s关于平移时间t（秒）的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围 . 运动停止时，求抛物线的顶点坐标.学习必备欢迎下载东营市24 （本题满分11 分）已知抛物线36232bxxy经过A（ 2，0） 设顶点为点P，与 x轴的另一交点为点B（ 1）求 b 的值，求出点P、点 B 的坐标；（ 2）如图，在直线y=3x 上是否存在点D，使四边形OPBD 为平行四边形？若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由；（ 3）在 x 轴下方的抛物线上是否存在点M，使 AMP AMB ？如果存在 , 试举例验证你的猜想；如果不存在，试说明理由2012 年广西柳州市24已知：抛物线23(1)34yx（1）写出抛物线的开口方向、对称轴；（2）函数 y 有最大值还是最小值？并求出这个最大（小）值；（3）设抛物线与y 轴的交点为P，与 x 轴的交点为Q，求直线PQ 的函数解析式【考点】 二次函数的性质；待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；抛物线与x 轴的交点【分析】（1）根据二次函数的性质，写出开口方向与对称轴即可；（2）根据 a 是正数确定有最小值，再根据函数解析式写出最小值；（3）分别求出点P、Q 的坐标，再根据待定系数法求函数解析式解答【解答】 解： （1）抛物线23(1)34yx，A P B x y O （第 24 题图）xy3学习必备欢迎下载a=340，抛物线的开口向上，对称轴为x=1；（2） a=340，函数 y 有最小值，最小值为3；（3）令 x=0，则239(01)344y，所以，点P的坐标为（ 0，94） ，令 y=0，则23(1)304x，解得 x1=-1，x2=3，所以，点Q 的坐标为（ -1，0）或（ 3，0） ，当点 P（0，94） ，Q（-1，0）时，设直线PQ 的解析式为y=kx+b ，则940bkb，解得k=94， b=94，所以直线PQ 的解析式为9944yx，当 P（0，94） ，Q（3，0）时，设直线PQ 的解析式为y=mx+n ，则9430nmn，解得m=34， n=-94，所以，直线PQ 的解析式为3944yx，综上所述，直线PQ 的解析式为y=-9 4 x-9 4 或 y=3 4 x-9 4 26如图，在 ABC 中， AB=2 ，AC=BC= 5 （1）以 AB 所在的直线为x 轴， AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系如图，请你分别写出 A、B、 C 三点的坐标；（2）求过 A、B、C 三点且以C 为顶点的抛物线的解析式；（3）若 D 为抛物线上的一动点，当D 点坐标为何值时，SABD=12SABC；（4）如果将（ 2）中的抛物线向右平移，且与x 轴交于点AB，与 y 轴交于点C，当平移多少个单位时，点C同时在以AB为直径的圆上（解答过程如果有需要时，请参看阅读材料） 学习必备欢迎下载附：阅读材料一元二次方程常用的解法有配方法、公式法和因式分解法，对于一些特殊方程可以通过换元法转化为一元二次方程求解如解方程：y4-4y2+3=0解：令 y2=x（x 0） ，则原方程变为x2-4x+3=0，解得 x1=1，x2=3当 x1=1 时，即 y2=1， y1=1，y2=-1当 x2=3，即 y2=3， y3= 3 ， y4=- 3 所以，原方程的解是y1=1，y2=-1，y3= 3 ， y4=- 3 再如2222xx，可设22yx，用同样的方法也可求解【考点】 二次函数综合题【分析】（1）根据y 轴是 AB 的垂直平分线，则可以求得OA ，OB 的长度，在直角OAC中，利用勾股定理求得OC 的长度，则A、B、C 的坐标即可求解；（2）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；（3）首先求得 ABC 的面积，根据SABD=12SABC，以及三角形的面积公式，即可求得 D 的纵坐标，把D 的纵坐标代入二次函数的解析式，即可求得横坐标（4）设抛物线向右平移c 个单位长度，则0c1，可以写出平移以后的函数解析式，当点 C同时在以AB为直径的圆上时有：OC2=OA ?OB，据此即可得到一个关于c 的方程求得c 的值【解答】 解： （1） AB 的垂直平分线为y 轴，OA=OB=12AB=122=1，A 的坐标是（ -1，0） ，B 的坐标是（ 1， 0） 在直角 OAC 中，22OCBCOB2，则 C 的坐标是：（0，2） ；（2）设抛物线的解析式是：y=ax2+b，根据题意得：02abb，解得：22ab，则抛物线的解析式是：222yx；学习必备欢迎下载（3） SABC=12AB ?OC=1222=2，SABD=12SABC=1设 D 的纵坐标是m，则12AB?|m|=1，则 m=1当 m=1 时， -2x2+2=1，解得： x=22，当 m=-1 时， ，-2x2+2=-1，解得： x=62，则 D 的坐标是：（22，1）或（ - 22，1）或（62，-1） ，或（ - 62，-1） （4）设抛物线向右平移c 个单位长度，则0c1，OA =1-c，OB=1+c平移以后的抛物线的解析式是：y=-2（x-c）2+b令 x=0，解得 y=-2c2+2即 OC= -2c2+2当点 C同时在以AB为直径的圆上时有：OC2=OA ?OB，则（ -2c2+2）2=（1-c） （1+c） ，即（ 4c2-3） （c2-1）=0，解得： c=32，32（舍去），1，1（舍去）故平移32或 1 个单位长度湖北省黄石市201225.（本小题满分10 分）已知抛物线1C的函数解析式为23 (0)yaxbxa b，若抛物线1C经过点(0, 3)，方程230axbxa的两根为1x，2x，且124xx。（1）求抛物线1C的顶点坐标 . （2）已知实数0 x，请证明：1xx2, 并说明x为何值时才会有12xx. （3） 若抛物线先向上平移4 个单位，再向左平移1 个单位后得到抛物线2C， 设1( , )Amy，2( ,)B n y是2C上的两个不同点，且满足：090AOB，0m，0n. 请你用含有m的表达式表示出AOB的面积S， 并求出S的最小值及S取最小值时一次函数OA的函学习必备欢迎下载数解析式。（参考公式：在平面直角坐标系中，若11(,)P xy，22(,)Q xy，则P，Q两点间的距离为222121()()xxyy）【考点 】二次函数综合题【专题 】压轴题；配方法【分析 】 （1）求抛物线的顶点坐标，需要先求出抛物线的解析式，即确定待定系数a、b的值 已知抛物线图象与y 轴交点， 可确定解析式中的常数项（由此得到a的值） ；然后从方程入手求b 的值，题干给出了两根差的绝对值，将其进行适当变形（转化为两根和、两根积的形式），结合根与系数的关系即可求出b 的值（2）11xx，因此将1xx配成完全平方式，然后根据平方的非负性即可得证（3）结合（ 1）的抛物线的解析式以及函数的平移规律，可得出抛物线C2的解析式；在 RtOAB中，由勾股定理可确定m 、n 的关系式， 然后用 m列出 AOB的面积表达式， 结合不等式的相关知识可确定OAB的最小面积值以及此时m的值，进而由待定系数法确定一次函数OA的解析式【解答 】解： （1）抛物线过（,）点，3a a分 x2bx x2bx =的两根为x1,x2且21x-x21221214)(xxxxxx且 b b分 x2 x（ x）抛物线的顶点坐标为（，）分（2） x，0)1(21xxxx,21xx显然当 x时，才有,21xx分（3）方法一：由平移知识易得的解析式为： yx2分(m，m)，B（n，n）AOB 为 RtOA+OB=ABmmnn（ mn）（ mn）化简得： m n分AOB=OBOA21=424221nnmm学习必备欢迎下载m nAOB22221221221mmnm1221121)1(212mmmmAOB的最小值为，此时m ,(,)分直线 OA 的一次函数解析式为x分张家界市 201225、(本小题 12 分).如同，抛物线23322xxy与x轴交于 C、A 两点，与y 轴交于点 B，OB=4 点 O 关于直线AB 的对称点为D， E 为线段 AB 的中点 . （1） 分别求出点A、点 B 的坐标（2） 求直线 AB 的解析式（3） 若反比例函数xky的图像过点D，求k值. （4）两动点P、Q 同时从点 A 出发，分别沿AB 、AO 方向向 B、O 移动，点 P 每秒移动1 个单位，点Q 每秒移动21个单位，设POQ 的面积为S，移动时间为 t,问： S 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的t 值，若不存在，请说明理由. 2012年福州市22.(满分 14 分)如图，已知抛物线bxaxy2(a 0) 经过A(3,0) 、 B(4,4) 两点 . (1)求抛物线的解析式；(2)将直线 OB 向下平移m 个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D,求 m 的值及点 D 的坐标；(3)如图，若点N 在抛物线上，且NBO= ABO,则在（ 2）的条件下，求出所有满足POD NOB 的点 P 的坐标（点P、O、 D 分别与点N、O、 B 对应） . yxBDP AQ O C 2 学习必备欢迎下载广安市16如图 7，把抛物线y=21x2平移得到抛物线m，抛物线m 经过点 A（- 6，0）和原点O（ 0，0） ，它的顶点为P，它的对称轴与 抛 物 线y=21x2交 于 点Q ， 则 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 为_26 （ 10 分）如图12，在平面直角坐标系xOy 中， AB x 轴于点 B，AB=3 ，tanAOB=3/4 。将 OAB 绕着原点 O 逆时针旋转90o，得到OA1B1； 再将 OA1B1绕着线段 OB1的中点旋转180o， 得到 OA2B1，抛物线 y=ax2+bx+c （a0）经过点B、B1、 A2。（1）求抛物线的解析式；（2）在第三象限内，抛物线上的点P 在什么位置时，PBB1的面积最大？求出这时点P 的坐标；（3）在第三象限内，抛物线上是否存在点Q，使点 Q 到线段 BB1的距离为22？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由。解： （ 1） AB x 轴， AB=3 ，tanAOB=， OB=4 ，B（ 4，0） ，B1（0， 4） ，A2（3， 0） 抛物线y=ax2+bx+c（a 0）经过点B、B1、A2，解得O y x A B D 第 22 题图O y x A B D 第 22 题图N 图 7 学习必备欢迎下载抛物线的解析式为：y=x2+x 4（2）点 P 是第三象限内抛物线y=x2+x4 上的一点，如答图 1，过点 P 作 PCx 轴于点 C设点 P的坐标为（ m，n） ，则 m0， n0，n=m2+m4于是 PC=|n|=n=m2m4， OC=|m|=m，BC=OB OC=|4|m|=4+mSPBB1=SPBC+S梯形PB1OC SOBB1= BC PC+ （PC+OB1） OC OB OB1= （4+m） （m2m4）+ （m2m4） +4 （ m） 4 4 =m2m=（m+2）2+当 m=2 时， PBB1的面积最大，这时，n=，即点 P（ 2，） （3）假设在第三象限的抛物线上存在点Q（x0，y0） ，使点 Q 到线段 BB1的距离为如答图 2，过点 Q 作 QDBB1于点 D由（ 2）可知，此时QBB1的面积可以表示为：（x0+2）2+，在 RtOBB1中， BB1=SQBB1= BB1 QD=2，（x0+2）2+=2，解得 x0=1 或 x0=3 当 x0=1 时， y0=4；当 x0=3 时， y0=2，因此，在第三象限内，抛物线上存在点Q，使点 Q 到线段 BB1的距离为，这样的点Q 的坐标是（ 1， 4）或（ 3， 2） 学习必备欢迎下载22 （ 2012 广东）如图，抛物线y=x2x9 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点C，连接 BC、AC（1）求 AB 和 OC 的长；（2）点 E 从点 A 出发，沿 x 轴向点 B 运动（点 E 与点 A、B 不重合），过点 E 作直线 l 平行BC，交 AC 于点 D设 AE 的长为 m，ADE 的面积为s，求 s 关于 m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；（3）在（ 2）的条件下，连接CE，求 CDE 面积的最大值；此时，求出以点E 为圆心，与BC 相切的圆的面积（结果保留 ） 考点： 二次函数综合题。解答： 解： （1）已知：抛物线y=x2x9；当 x=0 时， y=9，则： C（0， 9） ；当 y=0 时，x2x9=0，得： x1=3，x2=6，则： A（ 3，0） 、B（ 6，0） ；AB=9 ，OC=9（2） EDBC， AED ABC ，=（）2，即：=（）2，得： s= m2（0m9） （3） SAEC=AE?OC=m， SAED=s= m2；则： SEDC=SAECSAED=m2+m=（m）2+； CDE 的最大面积为，此时， AE=m=，BE=AB AE=过 E 作 EFBC 于 F，则 RtBEFRtBCO，得：=，即：=学习必备欢迎下载EF=；以 E 点为圆心，与BC 相切的圆的面积SE=? EF2=2012 年贵港市18若直线ym（m 为常数）与函数yx2（x2）4x（x 2）的图像恒有三个不同的交点，则常数m 的取值范围是_。【答案】 0m226 （本题满分12 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ax2bx3 的顶点为M（2， 1） ，交 x轴于 A、B 两点，交 y 轴于点 C，其中点 B 的坐标为（3，0） 。（1）求该抛物线的解析式；（2）设经过点C 的直线与该抛物线的另一个交点为D，且直线 CD 和直线CA 关于直线BC 对称，求直线CD 的解析式；（3）在该抛物线的对称轴上存在点P，满足PM2PB2PC235，求点P 的坐标；并直接写出此时直线OP 与该抛物线交点的个数。2012 年贵州省安顺市26如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，矩形 OABC 的边长 OA 、OC 分别为 12cm、6cm，点 A、 C 分别在 y 轴的负半轴和x 轴的正半轴上， 抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A、 B， 且 18a+c=0（1）求抛物线的解析式（2）如果点 P 由点 A 开始沿 AB 边以 1cm/s 的速度向终点B 移动，同时点Q 由点 B 开始沿BC 边以 2cm/s 的速度向终点C 移动 移动开始后第t 秒时，设 PBQ 的面积为S，试写出S 与 t 之间的函数关系式，并写出t的取值范围 当 S 取得最大值时，在抛物线上是否存在点R，使得以 P、B、Q、R 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R 点的坐标；如果不存在，请说明理由O D B M A C 第 26 题图x y 学习必备欢迎下载荆门市二O 一二23(本题满分10)已知： y 关于 x 的函数 y(k1)x22kx k2 的图象与x 轴有交点(1)求 k 的取值范围；(2)若 x1，x2是函数图象与x 轴两个交点的横坐标，且满足(k1)x122kx2k2 4x1x2求 k的值；当kx k2 时，请结合函数图象确定y 的最大值和最大值24(本题满分12 分)如图甲，四边形OABC 的边 OA、OC 分别在 x 轴、 y 轴的正半轴上，顶点在 B 点的抛物线交x 轴于点 A、D，交 y 轴于点 E，连结 AB、AE、BE已知 tanCBE13，A(3，0)，D( 1，0)，E(0，3)(1)求抛物线的解析式及顶点B 的坐标；(2)求证： CB 是 ABE 外接圆的切线；(3)试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P 为顶点的三角形与ABE 相似，若存在，直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；(4)设 AOE 沿 x 轴正方向平移t 个单位长度 (0t3)时，AOE 与 ABE 重叠部分的面积为 s，求 s 与 t 之间的函数关系式，并指出t 的取值范围2012 武汉市25( 12 分) 如图 1，点 A 为抛物线C1：y12x2 2 的顶点，点B 的坐标为 ( 1，0) ，直线 AB图甲A E D C B y x O 图乙 (备用图 ) A E D C B y x O 学习必备欢迎下载交抛物线C1于另一点C( 1) 求点 C 的坐标；( 2) 如图 1，平行于y 轴的直线x3 交直线AB 于点 D，交抛物线C1于点 E，平行于y轴的直线xa 交直线 AB 于 F，交抛物线C1于 G，若 FGE43，求 a 的值；( 3) 如图 2， 将抛物线C1向下平移m( m0) 个单位得到抛物线C2，且抛物线C2的顶点为点 P，交 x 轴于点 M，交射线BC 于点 N，NQx 轴于点 Q，当 NP 平分 MNQ 时，求 m 的值