2020年九年级中考数学复习解答题专题练 解直角三角形（解析版）.docx

2020年中考数学复习解答题专题练解直角三角形1如图,两座建筑物的水平距离BC为60 m,从C点测得A点的仰角为53,从A点测得D点的俯角为37,求两座建筑物的高度(参考数据:sin 3735,cos 3745,tan 3734,sin 5345,cos 5335,tan 5343).2. 如图,CD是一高为4米的平台,AB是与CD底部相平的一棵树,在平台顶C点测得树顶A点的仰角=30,从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E,在点E处测得树顶A点的仰角=60,求树高AB(结果保留根号)3.如图是某路灯在铅垂面内的示意图,灯柱AC的高为11米,灯杆AB与灯柱AC的夹角A=120,路灯采用锥形灯罩,在地面上的照射区域DE长为18米,从D,E两处测得路灯B的仰角分别为和,且tan =6,tan =34,求灯杆AB的长度.4. 如图,在一笔直的海岸线l上有A,B两个观测站,AB=2 km,从A测得船C在北偏东45的方向,从B测得船C在北偏东22.5的方向,则船C离海岸线l的距离(即CD的长)为_km(精确到0.1).5.如图,某测量小组为了测量山BC的高度,在地面A处测得山顶B的仰角45,然后沿着坡度为13的坡面AD走了200米达到D处,此时在D处测得山顶B的仰角为60,求山高BC(结果保留根号).6. 校车安全是近几年社会关注的重大问题,安全隐患主要是超速和超载.某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验:先在公路旁边选取一点C,再在笔直的车道L上确定点D,使CD与L垂直,测得CD的长等于24米,在L上点D的同侧取点A,B,使CAD=30,CBD=60.(1)求AB的长(结果保留根号).(2)已知本路段对校车限速为45千米/时,若测得某辆校车从A到B用时2秒,这辆校车是否超速?请说明理由.(参考数据:31.73,21.41)7.如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图,汽车靠墙一侧与墙MN平行且距离为0.8米,已知小汽车车门宽AO为1.2米,当车门打开角度AOB为40时,车门是否会碰到墙?请说明理由.(参考数据:sin 400.64,cos 400.77,tan 400.84)8. 在一节数学实践课上,老师给出了这样一道题,如图1,在锐角三角形ABC中,A,B,C所对的边分别是a,b,c,请用a,c,B表示b2.同学们经过思考后,甲同学说:要将锐角三角形转化为直角三角形来解决,并且不能破坏B,因此可以过点A,作ADBC于点D,如图2,大家认同;乙同学说要想得到b2要在RtABD或RtACD中解决;丙同学说那就要先求出AD=_,BD=_;(用含c,B的三角函数表示)丁同学顺着他们的思路,求出b2=AD2+DC2=_(其中sin2+cos2=1);请利用丁同学的结论解决如下问题:如图3,在四边形ABCD中,B=D=90,BAD=60,AB=4,AD=5,求AC的长.9.如图,在RtABC中,以下是小亮探究asinA与bsinB之间关系的方法:sin A=ac,sin B=bcc=asinA,c=bsinBasinA=bsinB根据你掌握的三角函数知识.在图的锐角ABC中,探究asinA、bsinB、csinC之间的关系,并写出探究过程.10. 如图,某天我国一艘海监船巡航到A港口正西方的B处时,发现在B的北偏东60方向,相距150海里处的C点有一可疑船只正沿CA方向行驶,C点在A港口的北偏东30方向上,海监船向A港口发出指令,执法船立即从A港口沿AC方向驶出,在D处成功拦截可疑船只,此时D点与B点的距离为752海里.(1)求B点到直线CA的距离.(2)执法船从A到D航行了多少海里?(21.414,31.732,结果精确到0.1海里)11. 如图,是某市一座人行天桥的示意图,天桥离地面的高BC是10米,坡面10米处有一建筑物HQ,为了方便使行人推车过天桥,市政府部门决定降低坡度,使新坡面DC的倾斜角BDC=30,若新坡面下D处与建筑物之间需留下至少3米宽的人行道,问该建筑物是否需要拆除(计算最后结果保留一位小数).(参考数据:21.414,31.732)12. 南沙群岛是我国固有领土,现在我国南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业,当渔船航行至B处时,测得该岛位于正北方向20(1+3)海里的C处,为了防止某国海巡警干扰,就请求我国A处的渔监船前往C处护航,已知C位于A处的北偏东45方向上,A位于B处的北偏西30方向上,求A,C之间的距离.13. 如图,为了测量楼房AC的高度,从距离楼底C处603米的点D(点D与楼底C在同一水平面上)出发,沿斜面坡度为i=13的斜坡DB前进30米到达点B,在点B处测得楼顶A的仰角为53,求楼房AC的高度(参考数据:sin530.8,cos530.6,tan5343,计算结果用根号表示,不取近似值).14. 如图,CD是一高为4米的平台,AB是与CD底部相平的一棵树,在平台顶C点测得树顶A点的仰角=30,从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E,在点E处测得树顶A点的仰角=60,求树高AB(结果保留根号)15. 如图,小东在教学楼距地面9米高的窗口C处,测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37,旗杆底部B的俯角为45,升旗时,国旗上端悬挂在距地面2.25米处,若国旗随国歌声冉冉升起,并在国歌播放45秒结束时到达旗杆顶端,则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升?(参考数据:sin370.60,cos370.80,tan370.75).16. 太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点,已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业,如图是太阳能电池板支撑架的截面图,其中的粗线表示支撑角钢,太阳能电池板与支撑角钢AB的长度相同,均为300cm,AB的倾斜角为30,BE=CA=50cm,支撑角钢CD,EF与底座地基台面接触点分别为D,F,CD垂直于地面,FEAB于点E.两个底座地基高度相同(即点D,F到地面的垂直距离相同),均为30cm,点A到地面的垂直距离为50cm,求支撑角钢CD和EF的长度各是多少cm(结果保留根号).2020年中考数学复习解答题专题练 解直角三角形（解析版）1如图,两座建筑物的水平距离BC为60 m,从C点测得A点的仰角为53,从A点测得D点的俯角为37,求两座建筑物的高度(参考数据:sin 3735,cos 3745,tan 3734,sin 5345,cos 5335,tan 5343).【解析】过点D作DEAB于E,则DE=BC=60 m,在RtABC中,tan 53=ABBC,AB60=43,AB=80(m),在RtADE中,tan 37=AEDE,34=AE60,AE=45(m),BE=CD=AB-AE=35(m).答:两座建筑物的高度分别为80 m和35 m.2. 如图,CD是一高为4米的平台,AB是与CD底部相平的一棵树,在平台顶C点测得树顶A点的仰角=30,从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E,在点E处测得树顶A点的仰角=60,求树高AB(结果保留根号)【解析】作CFAB于点F,设AF=x米,在RtACF中,tanACF=AFCF,则CF=AFtanACF=xtan=xtan30=3x,在直角ABE中,AB=x+BF=4+x(米),在直角ABE中,tanAEB=ABBE,则BE=ABtanAEB=x+4tan60=33(x+4)米.CF-BE=DE,即3x-33(x+4)=3.解得:x=33+42,则AB=33+42+4=33+122(米).答:树高AB是33+122米.3.如图是某路灯在铅垂面内的示意图,灯柱AC的高为11米,灯杆AB与灯柱AC的夹角A=120,路灯采用锥形灯罩,在地面上的照射区域DE长为18米,从D,E两处测得路灯B的仰角分别为和,且tan =6,tan =34,求灯杆AB的长度.【解析】过点B作BFCE,交CE于点F,过点A作AGBF,交BF于点G,则FG=AC=11.由题意得BDE=,tan =34.设BF=3x,则EF=4x.在RtBDF中,tan =BFDF,DF=BFtan=3x6=12x,DE=18,12x+4x=18.x=4.BF=12,BG=BF-GF=12-11=1,BAC=120,BAG=BAC-CAG=120-90=30.AB=2BG=2米.答:灯杆AB的长度为2米.4. 如图,在一笔直的海岸线l上有A,B两个观测站,AB=2 km,从A测得船C在北偏东45的方向,从B测得船C在北偏东22.5的方向,则船C离海岸线l的距离(即CD的长)为_km(精确到0.1).【解析】在CD上取一点E,使BD=DE,设BD=DE=x.BD=DE,EBD=45,由题意可得CAD=45,AD=DC,从B测得船C在北偏东22.5的方向,BCE=CBE=22.5,BE=EC,AB=AD-BD=2 km,EC=BE=DC-DE=2 km,BD=DE=x,CE=BE=2x,2+x=x+2x,解得x=2.DC=(2+2)3.4(km)5.如图,某测量小组为了测量山BC的高度,在地面A处测得山顶B的仰角45,然后沿着坡度为13的坡面AD走了200米达到D处,此时在D处测得山顶B的仰角为60,求山高BC(结果保留根号).【解析】作DFAC于F.DFAF=13,AD=200(米),tanDAF=33,DAF=30,DF=12AD=12200=100(米),DEC=BCA=DFC=90,四边形DECF是矩形,EC=DF=100(米),BAC=45,BCAC,ABC=45,BDE=60,DEBC,DBE=90-BDE=90-60=30,ABD=ABC-DBE=45-30=15,BAD=BAC-DAF=45-30=15,ABD=BAD,AD=BD=200米,在RtBDE中,sinBDE=BEBD,BE=BDsinBDE=20032=1003(米),BC=EC+BE=100+1003(米).6. 校车安全是近几年社会关注的重大问题,安全隐患主要是超速和超载.某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验:先在公路旁边选取一点C,再在笔直的车道L上确定点D,使CD与L垂直,测得CD的长等于24米,在L上点D的同侧取点A,B,使CAD=30,CBD=60.(1)求AB的长(结果保留根号).(2)已知本路段对校车限速为45千米/时,若测得某辆校车从A到B用时2秒,这辆校车是否超速?请说明理由.(参考数据:31.73,21.41)【解析】(1)由题意得,在RtADC中,AD=CDtan30=2433=243(米),在RtBDC中,BD=CDtan60=243=83(米),则AB=AD-BD=163(米).(2)超速.理由:汽车从A到B用时2秒,速度为161.732=13.84(米/秒),13.843.6=49.824(千米/时)>45(千米/时).此校车在AB路段超速.7.如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图,汽车靠墙一侧与墙MN平行且距离为0.8米,已知小汽车车门宽AO为1.2米,当车门打开角度AOB为40时,车门是否会碰到墙?请说明理由.(参考数据:sin 400.64,cos 400.77,tan 400.84)【解析】过A作ACOB于点C,在RtAOC中,AOC=40,sin 40=ACOA,又AO=1.2,AC=OAsin 40=1.20.64=0.768(米),AC=0.768<0.8,车门不会碰到墙.8. 在一节数学实践课上,老师给出了这样一道题,如图1,在锐角三角形ABC中,A,B,C所对的边分别是a,b,c,请用a,c,B表示b2.同学们经过思考后,甲同学说:要将锐角三角形转化为直角三角形来解决,并且不能破坏B,因此可以过点A,作ADBC于点D,如图2,大家认同;乙同学说要想得到b2要在RtABD或RtACD中解决;丙同学说那就要先求出AD=_,BD=_;(用含c,B的三角函数表示)丁同学顺着他们的思路,求出b2=AD2+DC2=_(其中sin2+cos2=1);请利用丁同学的结论解决如下问题:如图3,在四边形ABCD中,B=D=90,BAD=60,AB=4,AD=5,求AC的长.【解析】sin B=ADAB,cos B=BDAB,AD=ABsin B=csin B,BD=ABcos B=ccos B,CD=BC-BD=a-ccos B,则b2=AD2+DC2=(csin B)2+(a-ccos B)2=c2sin2B+a2+c2cos2B-2accos B=c2(sin2B+cos2B)+a2-2accos B=a2+c2-2accos B.答案:csin Bccos Ba2+c2-2accos B如图3所示,延长BC,AD交于点E,B=90,BAD=60,AB=4,AE=2AB=8,E=30,AD=5,DE=3,ADC=CDE=90,CE=23,AC2=CE2+AE2-2CEAEcos 30=12+64-223832=28,AC=27.9.如图,在RtABC中,以下是小亮探究asinA与bsinB之间关系的方法:sin A=ac,sin B=bcc=asinA,c=bsinBasinA=bsinB根据你掌握的三角函数知识.在图的锐角ABC中,探究asinA、bsinB、csinC之间的关系,并写出探究过程.【解析】asinA=bsinB=csinC,理由为:过A作ADBC,过B作BEAC,在RtABD中,sin B=ADc,即AD=csin B,在RtADC中,sin C=ADb,即AD=bsin C,csin B=bsin C,即bsinB=csinC,同理可得asinA=csinC,则asinA=bsinB=csinC.10. 如图,某天我国一艘海监船巡航到A港口正西方的B处时,发现在B的北偏东60方向,相距150海里处的C点有一可疑船只正沿CA方向行驶,C点在A港口的北偏东30方向上,海监船向A港口发出指令,执法船立即从A港口沿AC方向驶出,在D处成功拦截可疑船只,此时D点与B点的距离为752海里.(1)求B点到直线CA的距离.(2)执法船从A到D航行了多少海里?(21.414,31.732,结果精确到0.1海里)【解析】(1)过点B作BHCA交CA的延长线于点H(如图),EBC=60,CBA=30,FAD=30,BAC=120,BCA=180-BAC-CBA=30,BH=BCsin BCA=15012=75(海里).答:B点到直线CA的距离是75海里.(2)BD=752海里,BH=75海里,DH=BD2-BH2=75(海里),BAH=180-BAC=60,在RtABH中,tanBAH=BHAH=3,AH=253,AD=DH-AH=75-25331.7(海里).答:执法船从A到D航行了31.7海里11. 如图,是某市一座人行天桥的示意图,天桥离地面的高BC是10米,坡面10米处有一建筑物HQ,为了方便使行人推车过天桥,市政府部门决定降低坡度,使新坡面DC的倾斜角BDC=30,若新坡面下D处与建筑物之间需留下至少3米宽的人行道,问该建筑物是否需要拆除(计算最后结果保留一位小数).(参考数据:21.414,31.732)【解析】由题意得,AH=10米,BC=10米,在RtABC中,CAB=45,AB=BC=10,在RtDBC中,CDB=30,DB=BCtanCDB=103,DH=AH-AD=AH-(DB-AB)=10-103+10=20-1032.7(米),2.7米<3米,该建筑物需要拆除. 12. 南沙群岛是我国固有领土,现在我国南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业,当渔船航行至B处时,测得该岛位于正北方向20(1+3)海里的C处,为了防止某国海巡警干扰,就请求我国A处的渔监船前往C处护航,已知C位于A处的北偏东45方向上,A位于B处的北偏西30方向上,求A,C之间的距离.【解析】如图,作ADBC,垂足为点D,由题意得,ACD=45,ABD=30.设CD=x,在RtACD中,可得AD=x,AC=2x.在RtABD中,可得BD=3x,又BC=20(1+3),CD+BD=BC,即x+3x=20(1+3),解得:x=20,AC=2x=202(海里).答:A,C之间的距离为202海里.13. 如图,为了测量楼房AC的高度,从距离楼底C处603米的点D(点D与楼底C在同一水平面上)出发,沿斜面坡度为i=13的斜坡DB前进30米到达点B,在点B处测得楼顶A的仰角为53,求楼房AC的高度(参考数据:sin530.8,cos530.6,tan5343,计算结果用根号表示,不取近似值).【解析】如图,作BNCD于N,BMAC于M.在RtBDN中,BD=30,BNND=13,BN=15,DN=153,C=CMB=CNB=90,四边形CMBN是矩形,CM=BN=15,BM=CN=603-153=453,在RtABM中,tanABM=AMBM43,AM603,AC=CM+AM=15+603.14. 如图,CD是一高为4米的平台,AB是与CD底部相平的一棵树,在平台顶C点测得树顶A点的仰角=30,从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E,在点E处测得树顶A点的仰角=60,求树高AB(结果保留根号)【解析】作CFAB于点F,设AF=x米,在RtACF中,tanACF=AFCF,则CF=AFtanACF=xtan=xtan30=3x,在直角ABE中,AB=x+BF=4+x(米),在直角ABE中,tanAEB=ABBE,则BE=ABtanAEB=x+4tan60=33(x+4)米.CF-BE=DE,即3x-33(x+4)=3.解得:x=33+42,则AB=33+42+4=33+122(米).答:树高AB是33+122米.15. 如图,小东在教学楼距地面9米高的窗口C处,测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37,旗杆底部B的俯角为45,升旗时,国旗上端悬挂在距地面2.25米处,若国旗随国歌声冉冉升起,并在国歌播放45秒结束时到达旗杆顶端,则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升?(参考数据:sin370.60,cos370.80,tan370.75)【解析】由题意知,在RtCBD中,BCD=45,CD=BD=9,在RtACD中,ACD=37,AD=CDtan3790.75=6.75,AB=AD+BD=6.75+9=15.75,(15.75-2.25)45=0.3(米/秒).答:国旗以0.3米/秒的速度匀速上升.16. 太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点,已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业,如图是太阳能电池板支撑架的截面图,其中的粗线表示支撑角钢,太阳能电池板与支撑角钢AB的长度相同,均为300cm,AB的倾斜角为30,BE=CA=50cm,支撑角钢CD,EF与底座地基台面接触点分别为D,F,CD垂直于地面,FEAB于点E.两个底座地基高度相同(即点D,F到地面的垂直距离相同),均为30cm,点A到地面的垂直距离为50cm,求支撑角钢CD和EF的长度各是多少cm(结果保留根号).【解析】过点A作AGCD,垂足为点G.则CAG=30,在RtACG中,CG=ACsin30=5012=25.由题意,得GD=50-30=20.CD=CG+GD=25+20=45(cm).连接FD并延长与BA的延长线交于点H.由题意,得H=30.在RtCDH中,CH=CDsin30=2CD=90.EH=EC+CH=AB-BE-AC+CH=300-50-50+90=290.在RtEFH中,EF=EHtan30=29033=29033(cm).答:支撑角钢CD的长为45cm,EF的长为29033cm.9.