圆锥曲线离心率-浙江省宁波市北仑中学2020届高三数学二轮复习专题训练.doc

圆锥曲线专题之求离心率的值或范围策略一：根据定义式求离心率的值在椭圆或双曲线中，如果能求出的值，可以直接代公式求离心率；如果不能得到的值，也可以通过整体法求离心率：椭圆中；双曲线中.所以只要求出值即可求离心率.1.己知斜率为1的直线与双曲线：相交于两点，且的中点为，则曲线的离心率_.2.已知中心在原点，焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）. 3.已知中心在原点，焦点在轴上的一椭圆与圆交于两点，恰是该圆的直径，且直线的斜率，则椭圆的离心率为_.4.已知双曲线，双曲线上一动点到两条渐近线的距离乘积为，则曲线的离心率为_.策略二：构造的关系式求离心率根据题设条件，借助之间的关系，沟通的关系（特别是齐次式），进而得到关于的一元方程，从而解方程得出离心率.1.已知是双曲线的两焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率_.2.已知直线过双曲线的一个焦点，且与的对称轴垂直，与交于、两点，为的实轴长的2倍，则的离心率为（ ） 2 33.设椭圆的左焦点为，过点的直线与椭圆相交于两点，直线的倾斜角为,则椭圆的离心率为_.4.已知双曲线的左、右焦点分别为，若在双曲线的右支上存在一点，使得，则双曲线的离心率的取值范围为 5.设双曲线（）的半焦距为，直线过，两点.已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为( ) 策略三：利用曲线中变量的范围或题中的不等关系求离心率的范围用曲线中变量的范围，在椭圆中，；在双曲线中中，或.1.设椭圆的左、右焦点分别为，如果椭圆上存在点，使，则离心率的取值范围是_.2.设分别是椭圆（）的左、右焦点，若在直线上存在点使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（ ） 3.双曲线的两个焦点为,若为其上一点，且,则双曲线离心率的取值范围为（ ）(1,3) (3,+) 4.椭圆的右焦点，若直线与轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是( ) 5.如图，已知梯形中，点在线段AC上，且，双曲线过、三点，且以、为焦点当时，则双曲线离心率的取值范围是_.6. 已知，分别为的左、右焦点，P为双曲线右支上任一点，若的最小值为，则该双曲线的离心率的取值范围是 （ ） A B C D策略四：正、余弦定理在求离心率范围问题中的应用1.已知为椭圆的焦点，为椭圆上一点，则椭圆的离心率的范围为 .2.已知椭圆的左右焦点分别为，若椭圆上存在点使，则该椭圆离心率的取值范围为 .3.从一块短轴长为的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是，则椭圆离心率的取值范围是 .4.椭圆的焦点为，两条直线、与轴的交点分别为，若，则该椭圆离心率的取值范围是（） 【方法导引】对于求离心率问题常常有以下办法1. 直接求出，或求出，代公式求解.常见的与相关的一些题设条件：设是椭圆的一条弦，且为弦的中点，则所在的直线方程的斜率；设是双曲线的一条弦，且为弦的中点，则所在的直线方程的斜率；双曲线的渐近线方程或.2. 构造关于的方程或不等式，利用离心率转化成关于的一元方程或不等式求值或求范围.3. 根据正、余弦定理或借助于椭圆、双曲线的焦半径公式得到，（为曲线上的点的横坐标），再根据曲线中的取值范围可求离心率的取值范围.4. 对于求离心率的范围问题，其本质在曲线中变量的范围，通过变量的范围构造不等式解不等式即可.圆锥曲线专题之求离心率的值或范围类型一1.己知斜率为1的直线与双曲线：相交于两点，且的中点为，求曲线的离心率.解析：如图，设，则-整理得又因为为的中点，则，且，代入得，解得，所以.方法点拨：此题通过点差法建立了关于斜率与的关系，解得的值，从而整体代入求出离心率.当然此题还可以通过联立直线与曲线的方程，根据韦达定理可得，或者，从而解出的值，最后求得离心率.2.已知中心在原点，焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）. 由双曲线焦点在上，则渐近线方程，又题设条件中的渐近线方程为，比较可得，则.3.已知中心在原点，焦点在轴上的一椭圆与圆交于两点，恰是该圆的直径，且直线的斜率，求椭圆的离心率.设椭圆方程为，则 -整理得因为恰是该圆的直径，故的中点为圆心，且则，代入式整理得直线的斜率，所以，解得所以离心率.4. 已知双曲线，双曲线上一动点到两条渐近线的距离乘积为，求曲线的离心率.曲线的渐近线方程分别为和，设，则点到直线的距离，点到直线的距离，因为在曲线上，所以，故，解得所以.类型二1.已知是双曲线的两焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，求双曲线的离心率.解析：如图1，的中点为，则点的横坐标为.由，焦半径公式有，即有解得，或（舍去）.方法点拨：此题根据条件构造关于的齐次式，通过齐次式结合离心率的定义整理成关于的一元方程，从而解出离心率的值.注意解出的结果要做验证，取符合离心率的范围的结果：.2. 2.已知直线过双曲线的一个焦点，且与的对称轴垂直，与交于、两点，为的实轴长的2倍，则的离心率为（ ） 2 3B3. 设椭圆的左焦点为，过点的直线与椭圆相交于两点，直线的倾斜角为,求椭圆的离心率.解法一：作椭圆的左准线,过作的垂线，垂足为；过作的垂线，垂足为.过作的垂线，垂足为.如图2.由图，由椭圆的第二定义，则，且,所以是的中点又因为直线的倾斜角为，即，所以在中，,故.解法二：设，由题意知，.直线的方程为 ，其中.联立得解得，因为，所以.即 ，得离心率 .方法点拨：该题对于课标地区选择第二种代数法处理，对于自主命题对圆锥曲线的第二定义要求的地区，两种方法都可以给学生讲讲。对于方法一：需要清晰的思路，敏捷的思维，对计算要求不高；对于方法二：对学生的计算能力有较高的要求，重在计算。4.已知双曲线的左、右焦点分别为，若在双曲线的右支上存在一点，使得，则双曲线的离心率的取值范围为 5.由已知，直线的方程为，由点到直线的距离公式，得，又, ,两边平方，得，整理得，得或，又 ，故选类型三1.设椭圆的左、右焦点分别为，如果椭圆上存在点，使，求离心率的取值范围.解析：设，又知，则，因为，则，即所以，联立方程，消，解得 又因为，故， 解不等式，结合椭圆的离心率范围为，可得.方法点拨：由题知，根据限制条件用表示，即，然后代入不等式，结合整理得关于的齐次不等式，从而求出离心率的取值范围.当然此题解决的办法绝不止这一种，根据几何关系或基本不等式等都能很好的解决.2.设分别是椭圆（）的左、右焦点，若在其右准线上存在点使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（ ） 如图, ,因为线段的中垂线过点，则,即，解得又椭圆的离心率，综上.3. 双曲线的两个焦点为,若为其上一点，且,则双曲线离心率的取值范围为（ ）(1,3) (3,+) 分别为左右焦点，设在双曲线的右支上，则，由，则解得因为在双曲线的右支上，则，即，解得.4. 椭圆的右焦点，其右准线与轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是( ) 由题意，椭圆上存在点，使得线段的垂直平分线过点，即点到点与点的距离相等而 于是 即又，故.5.以的垂直平分线为轴，直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，则轴.因为双曲线经过点、，且以、为焦点，由双曲线的对称性知、关于轴对称依题意，记，其中为双曲线的半焦距，是梯形的高由定比分点坐标公式得，设双曲线的方程为，则离心率，由点、在双曲线上，所以，将点的坐标代入双曲线方程得将点的坐标代入双曲线方程得再将、得，将式代入式，整理得，由题设得：，解得，所以双曲线的离心率的取值范围为6.已知，分别为的左、右焦点，P为双曲线右支上任一点，若的最小值为，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ） A B C D解析 ，欲使最小值为，需右支上存在一点P，使，而即所以.类型四1.已知为椭圆的焦点，为椭圆上一点，则椭圆的离心率的范围为 .解析：如图,为椭圆上一点，设，则在中，由余弦定理，则 联立解得因为在椭圆中，则，解不等式得.方法点拨：根据正、余弦定理结合椭圆的焦半径公式，用表示，即，根据变量解出离心率，但是此题要构成，故点不能在轴上，所以此题结合椭圆的范围可求出离心率的范围.2.已知椭圆的左右焦点分别为，若椭圆上存在点使，则该椭圆离心率的取值范围为 .如图，在中，由正弦定理，则又所以，且，则，解不等式得或（舍去）又椭圆的离心率，综上所述.3.从一块短轴长为的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是，则椭圆离心率的取值范围是 .设椭圆的标准方程为在第一象限内取点，由椭圆的参数方程知则椭圆的内接矩形长为，宽为，所以内接矩形面积为面积的取值范围为，则所以，即，不等式同时平方得，即且整理解得.4. 椭圆的焦点为，两条准线与轴的交点分别为，若，则该椭圆离心率的取值范围是（）