2020年中考数学培优 专题讲义第13讲 反比例函数与面积.doc

第13讲 反比例与面积模型讲解【例题讲解】例题1、如图，直线x=k（k>0）与反比例函数y=和y=-一的图像分别交于A、B两点，若点P是y轴上任意一点，连接PA、PB，则PAB的面积是 .答案：例题2、如图，经过原点的两条直线l1、l2，分别与双曲线y=（k0）相交于A、B、P、Q四点，其中A、P两点在第一象限，设A点坐标为（3，1）.（1）求k值及B点坐标；（2）若P点坐标为（a，3），求a值及四边形APBQ的面积.答案：(1)把A(3,1)代入y=得k=31=3，经过原点的直线l1与双曲线y=(k0)相交于A、B.点A与点B关于原点对称，B点坐标为(3,1)；(2)把P(a,3)代入y=得3a=3，解得a=1，P点坐标为(1,3)，经过原点的直线l2与双曲线y= (k0)相交于P、Q点，点P与点Q关于原点对称，点Q的坐标为(1,3)，OA=OB，OP=OQ，四边形APBQ为平行四边形，AB2=(3+3)2+(1+1)2=40,PQ2=(1+1)2+(3+3)2=40，AB=PQ，四边形APBQ为矩形，PB2=(1+3)2+(3+1)2=32,PQ2=(31)2+(13)2=8，PB=,PQ=，四边形APBQ的面积=PAPB=16.例题3、如图，在OAB中，C是AB的中点，反比例函数y=（k>0）在第一象限的图象经过A、C两点，若OAB的面积为6，求k的值.（代数法与几何法均尝试用一下）答案：分别过点A、点C作OB的垂线，垂足分别为点M、点N，如图，点C为AB的中点，CN为AMB的中位线，MN=NB=a，CN=b，AM=2b，OMAM=ONCN，OM2b=(OM+a)bOM=a，SAOB=3a2b2=3ab=6，ab=2，k=a2b=2ab=4，故答案为：4.例题4、如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y=（x>0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD=3AD，且ODE的面积是9，则k= 。答案: 例题5、如图，四边形ABCD的顶点都在坐标轴上，若AB/CD，ABD与ACD的面积分别为20和30，若双曲线y=恰好经过BC的中点E，则k的值为 。答案:6例题6、如图，一次函数y=ax+b的图象与x轴，y轴交于A、B两点，与反比例函数y=的图象相交于C、D两点，分别过C、D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E、F，连接CF、DE.有下列四个结论：SCEF=SDEF；AOB相似于FOE；DCECDF；AC=BD.其中正确的结论是 .（把你认为正确结论的序号都填上）答案：【巩固练习】1、已知A是反比例函数y=的图象上的一点，ABx轴于点B，且ABC的面积是3，则k的值是 .2、如图，点A、B是双曲线y=上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，若S阴影=1，则S1+S2= .3、如图，菱形OABC的顶点O是原点，顶点B在y轴上，菱形的两条对角线的长分别是6和4，反比例函数y=（k<0）的图象经过点C，则k的值为 。4、正比例函数y=x与反比例函数y=的图象相交于A、C两点，ABx轴于B，CDx轴于D，如图所示，则四边形ABCD的面积为 。5、如图，己知函数y1=（x>0），y2=（x>0），点P为函数，y2=的图像上的一点，且PAx轴于点A，PBy轴于点B，PA、PB分别交函数y1=的图像于D、C两点，则PCD的面积为 。6、如图，反比例函数y=（x>0）的图像经过矩形OABC对角线的交点M，分别于AB、BC交于点D、E，若四边形ODBE的面积为9，则k的值为 。7、如图，已知ABO的顶点A和AB边的中点C都在双曲线y=（x>0）的一个分支上，点B在x轴上，CDOB于D，若AOC的面积为3，则k的值为 。8、如图，A是反比例函数y=图像上一点，C是线段OA上一点，且OC：OA=1：3，作CDx轴，垂足为点D，延长DC交反比例函数图像于点B，SABC=8，则k的值为 。9、如图，点A、B在反比例函数y=的图象上，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为M、N，延长线段AB交x轴于点C，若OM=MN=NC，且AOC的面积为9，则k的值为 。10、如图，已知四边形ABCO的底边AO在x轴上，BC/AO，ABAO，过点C的双曲线y=交OB于D，且OD:DB=1：2，若OBC的面积等于3，则k的值 .11、如图，两个反比例函数y=和y=-的图象分别是l1和l2，设点P在l1上，PCx轴，垂足为C，交l2于点A，PDy轴，垂足为D，交l2于点B，则三角形PAB的面积为 .12、如图，已知反比例函数y1=与y2=（k1<0，k2>0），过y2图象上任意一点B分别作x轴、y轴的平行线交坐标轴于D、P两点，交y1的图象于A、C，直线AC交坐标轴于点M、N，则SOMN= .（用含k1、k2的代数式表示）13、如图，在x轴正半轴上依次截取OA1=A1A2=A2A3=.=An-1An（n为正整数），过点A1、A2、A3、An分别作x轴的垂线，与反比例函数y=（x>0）交于点P1、P2、P3、Pn，连接P1P2、P2P3、Pn-1Pn，过点P2、P3、Pn分别向P1A1、P2A2、Pn-1An-1作垂线段，构成的一系列直角三角形（见图中阴影部分）的面积和是 （用含n的代数式表示）14、如图，四边形ABCD的顶点都在坐标轴上，若ADBC，ACD与BCD的面积分别为10和20，若双曲线y=恰好经过边AB的四等分点E（BE<AE），则k的值为 。15、如图，平行四边形ABCD的顶点A、B的坐标分别是A（-2，0），B（0，-4），顶点C，D在双曲线y=上，边AD交y轴于E点，且四边形BCDE的面积是ABE面积的5倍，则k= 。16、如图，反比例函数y=（k>0）的图像与一次函数y=x的图像交于A、B两点（点A在第一象限）.（1）当点A的横坐标为4时。求k的值；根据反比例函数的图像，直接写出当一4<x<1（x0）时，y的取值范围；（2）点C为y轴正半轴上一点，ACB=90，且ACB的面积为10，求k的值.17、已知点P（a，b）是反比例函数y=（x<0）图象上的动点，PAx轴，PBy轴，分别交反比例函数y=-（x<0）的图象于点A、B，交坐标轴于C、D。（1）记POD的面积为S1，BOD的面积为S2，直接写出S1：S2= ；(求比值）（2）请用含a的代数式分别表示P、A、B三点的坐标；（3）在点P运动过程中，连接AB，设PAB的面积为S，则S是否变化？若不变，请求出S的值；若改变，请写出S关于a的函数关系式；18、如图，在平面直角坐标系中有RtABC，A=90，AB=AC，A（-2，0）、B（0，d）、C（-3，2）。（1）求d的值；（2）将ABC沿x轴的正方向平移a个单位，在第一象限内B、C两点的对应点B、C正好落在某反比例函数图象上.请求出这个反比例函数和此时的直线BC的解析式；（3）在（2）的条件下，直线BC交y轴于点G，作CMx轴于M，P是线段BC上的一点，若PMC和PBB面积相等，求点P坐标.19已知，如图，双曲线y（x0）与直线EF交于点A，点B，且AEABBF，连结AO，BO，它们分别与双曲线y（x0）交于点C，点D，则：（1）AB与CD的位置关系是 ；（2）四边形ABDC的面积为 20.如图，己知直线yx6交x轴于点A，交y轴于点B，交双曲线y于C、D两点.（1）求证：ACBD；（2）若AOC、COD、BOD的面积为、，满足，求k的值.21、已知，如图1，直线l与反比例函数y（k0）位于第一象限的图像相交于A、B两点，并与y轴、x轴分别交于E、F.（1）试判断AE与BF的数量关系并说明理由.（2）如图2，若将直线l绕点A顺时针旋转，使其与反比例函数y的另一支图像相交，设交点为B.试判断AE与BF的数量关系是否依然成立？请说明理由.（图1） （ 图2） 22已知：如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线ykxb与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线y相交于C、D两点，且点D的坐标为（1,6）（1）当点C的横坐标为2时，试求直线AB的解析式，并直接写出的值为 （2）如图2，当点A落在x 轴的负半轴时，过点C作x轴的垂线，垂足为E，过点D作y轴的垂线，垂足为F，连接EF判断EFC的面积和EFD的面积是否相等，并说明理由；当2时，求tanOAB的值图1 图2 参考答案1. 答案：42. 答案：-63. 答案：24. 答案：5. 答案：36. 答案：47. 答案：98. 答案：69. 答案：10. 答案：11. 答案：12. 答案：13. 答案：2.514. 答案：4815. 答案：(1)将x=4代入y=x得，y=3，点A(4,3)，反比例函数y=(k>0)的图象与一次函数y=x的图象交于A点，3=，k=12；x=4时,y=3,x=1时,y=12，由反比例函数的性质可知,当4<x<1(x0)时，y的取值范围是y<3或y>12；(2)设点A为(a, a)，则OA=，点C为y轴正半轴上一点,ACB=90，且ACB的面积为10，OA=OB=OC=，SACB=122a=10，解得,a=，点A为(,)，=，解得，k=6，即k的值是6.16. 答案：(1)P(a,b)是反比例函数y= (x<0)图象上的动点，P(a, )，S1=(a)( )=3，B(a, )，S2=(a)( )=1，S1:S2=3:1=3.故答案为：3.(2)P(a,b)是反比例函数y= (x<0)图象上的动点，P(a, )，点B在反比例函数y= (x<0)上且横坐标为a，B(a, )，点A在反比例函数y= (x<0)上且纵坐标为，A(,)，(3)不变化。P(a, ),B(a, ),A(, ),PAx轴,PBy轴，S=|AP|BP|=(a)( )()=.17. 答案： (1)作CNx轴于点N.在RtCNA和RtAOB中，NC=OA，AC=AB，RtCNARtAOB(HL)，则BO=AN=32=1，d=1；(2)设反比例函数为y=,点C和B在该比例函数图象上， 设C(a,2),则B(a+3,1) 把点C和B的坐标分别代入y=，得k=2a；k=a+3，2a=a+3，a=3，则k=6,反比例函数解析式为y=. 得点C(3,2);B(6,1)；设直线CB的解析式为y=ax+b,把C、B两点坐标代入得3a+b=2，6a+b=1，解得：a=，b=3；直线CB的解析式为：y=x+3；(3)连结BBB(0,1),B(6,1)，BBx轴，设P(m, m+3),作PQCM,PHBB，SPCM=PQCM=(m3)2=m3，SPBB=PHBB=(m+31)6=m+6，m3=m+6，m=P(,). 18. 【解析】（1）ABCD；（2）.（1）如图，过点A作AMx轴于点M，过点D作DHx轴于点H，过点B作BNx轴于点N，AMDHBNy轴，设点A的坐标为：（m，），AEABBF，OMMNNF，点B的坐标为：（2m，），2（）（2mm）23，DHBN，ODHOBN，DHOH2，BNON4，（）2，同理：（）2，ABCD 故答案为：ABCD ； （2），CODAOB，CODAOB，（）2，故答案为：19. 【解析】（1）过点D作DMOB于点M，过点C作CNOA于点N ,连接OD，OC，DN，CM.k0，点D到MN的距离等于点C到MN的距离，MN在CD的同侧. MNCD.四边形DMNA是平行四边形，四边形BMNC是平行四边形，DMAN，BMCN，BDAC. （2）过点O作OEAB交AB于点E，过点C作CFOA交OA于点F. ，（CDOE）2BDOEACOE，CD2BDAC. BDACCD2AC2BD2CDACBDC为AC的三等分点，CFOB yx6A（4，0），（0，6） CF2OFC（，2）y（k0）2k.20. 【解析】（1）AEBF，理由如下：作AMy轴于M，BNx轴于N，连接MN、OA、OB、BM、AN，AMx轴，同理，即A、B两点到MN的距离相等，且A、B位于MN同侧，故ABMN，四边形AMNF与BNME均为平行四边形，AMFN，EMBN又AMEBNF90，在EMA与BNF中，EMABNF，AEBF；（2）结论依然成立，AEBF，理由：作AMy轴于M，BNx轴于N，连接MN、OA、OB、BM、AN，AMx轴，同理，即A、B两点到MN的距离相等，且A、B位于MN同侧，故ABMN，四边形AMNF与BNME均为平行四边形，AMFN，EMBN又AMEBNF90，在EMA与BNF中，EMABNF，AEBF21. 【解析】（1）（1,6）在y上，m6，即双曲线解析式是y，当C点横坐标为2时，纵坐标为3，C（2,3）直线AB过点C（2,3），D（1,6），得，k3，b9，故直线AB的解析式为y3x9；的值为；（2）设C（a，b），则ab6， （a）（b）ab3，而163，；，且两三角形同底，两三角形的高相同，EFCD，DFAE，BFCE，四边形DFEA与四边形FBCE都是平行四边形，CEBF，FDBEAC，在DFB与AEC中，DFBAEC（ASA），ACBD，2，设CD2k，ABk，DB，DFBAOB，DBFABO，DFBAOB，OA2，且，OB4，tanOAB2