矩阵分析在通信中的应用.doc

.矩阵论在通信领域中的应用基于多输入多输出技术（MIMO）信道容量的分析1 背景分析频谱资源的匮乏己经成为实现高速可靠传输通信系统的瓶颈。一方面，是可用的频谱有限;另一方面，是所使用的频谱利用率低下。因此，提高频谱利用率就成为解决实际问题的重要手段。多进多出(MIMO)技术即利用多副发射天线和多副接收天线进行无线传输的技术的提出很好地解决了这个问题。多输入多输出(MIMO)技术能极大增加系统容量与改善无线链路质量的优点。通信信道容量是信道进行无失真传输速率的上界，因此研究MIMO的信道容量具有巨大的指导意义。但是对信道容量的推导分析是一个很复杂的过程，但是应用矩阵的知识进行分析能很好的解决这个问题，本文把矩阵理论知识与MIMO技术信道容量中的应用紧密结合，首先建立了MIMO信道模型，利用信息论理论和矩阵理论建立系统模型详细推导出MIMO信道容量,通过程序仿真反应实际情况，可以更直观正确的得出重要结论，这些结论的得出没有矩阵的知识是很难实现的。2 问题的提出基于MIMO的无线通信理论和传输技术显示了巨大的潜力和发展前景。MIMO技术的核心是空时信号处理，利用在空间中分布的多个天线将时间域和空间域结合起来进行信号处理，有效地利用了信道的随机衰落和多径传播来成倍的提高传输速率，改善传输质量和提高系统容量，能在不额外增加信号带宽的前提下带来无线通信性能上几个数量级的提高。目前对MIMO技术的应用主要集中在以空时编码(STC,Space-Time Codes)为典型的空间分集(diversity)和以BLAST(Bell LAyered Space-Time architecture)为典型的空间复用(multiplexing)两个方面。MIMO作为未来一代宽带无线通信系统的框架技术，是实现充分利用空间资源以提高频谱利用率的一个必然途径。可问题是，MIMO系统大容量的实现和系统其它性能的提高以及MIMO系统中使用的各种信号处理算法的性能优劣都极大地依赖于MIMO信道的特性，特别是各个天线之间的相关性。最初对MIMO系统性能的研究与仿真通常都是在独立信道的假设下进行的，这与实际的MIMO信道大多数情况下具有一定的空间相关性是不太符合的。MIMO系统的性能在很大程度上会受到信道相关性的影响。因此，建立有效的能反映MIMO信道空间相关特性的MIMO信道模型以选择合适的处理算法并评估系统性能就变得相当重要。其中矩阵知识的应用，极大地简化的问题的分析难度，更加直观的反映出系统的特性。3 模型的建立与分析3.1 探讨选择模型过去的研究一般局限于用数学模型描述无线信道的时域衰落特征，重点在于建立存在于无线衰落信道中的散射体、折射体和绕射体的统计模型或几何模型，从而用于无线信道衰落分布的预测、估计和测量。针对大尺度衰落现象，研究学者们分别建立了相应的路径损耗模型、基于对数正态分布的阴影衰落模型；针对小尺度衰落现象，已经提出了Rayleigh、Ricean等分布来进行描述。研究中发现，存在于衰落信道中的散射体不仅影响信道衰落的时域特征，而且由于散射体的分布和位置的不同，导致在不同天线上的接收信号之间的空时相关特性，还反映出信道的空时衰落特征。从而基于散射体几何分布的建模方法、参数化统计建模和基于相关特征的建模方法被相继提出，大量的信道测量数据也被公布。人们逐渐发现在实际移动无线衰落信道中，最早用于描述散射体均匀分布的Clarke模型不再有效，围绕无线收发信机的散射体更多地呈现非均匀分布。已有的多数建模方法均假设了到达接收端的来波方向(AOA)、或离去发送端的去波方向(AOD)为均匀分布情形。实际上，在蜂窝移动无线通信环境中，存在大量的非均匀来波情形，比如狭窄的街道、地铁和室内情形。这些现象将会导致非均匀来波方向分布，从而影响不同天线上衰落的相关性。此外，在现有的蜂窝无线系统中，由于蜂窝微型化和小区扇形化，基站发送端的天线已由最初的全向辐射转为定向辐射，到达接收端的来波方向一般也呈非均匀分布。这些新特征急迫要求提出新的模型进行分析。目前，在MIMO信道建模中多采用的是基于空时统计特性的建模方法。而其中的基于散射体地理特征的建模方法和空时相关统计特性的建模方法又是统计建模中较多采用的两种方法。这两种方法都有各自的优缺点：(1)若基于散射体几何分布对MIMO衰落信道建模，则必须对散射体的分布进行合理的假设，并给出收发两端之间的距离、散射体的数目和尺寸以及散射体与收发两端的距离等一些可描述MIMO信道的二维几何参数。而过多的参数约束会增加建模的复杂度，同时，不同的环境下这些参数的值也不尽相同，因此，这种建模方法限制了具体的应用场合。(2)若基于统计特性对MIMO无线衰落信道进行建模，需要给出描述离开角(AOD)、到达角(AOA)、水平方向角度功率谱(PAS)，电波的角度扩展(AS)等一系列参数的数学统计模型。这种方法能够较为全面的反映MIMO信道的衰落特性，特别是信道的空间衰落特性；而且目前已经有了对AOA、AOD、PAS、AS等参数在各种环境下的大量的测量值及其分布的数学描述。根据上面的模型对比可发现，采用基于空时相关统计特性的建模方法建立MIMO无线衰落信道模型可以更好地进行MIMO信道容量的分析。3.2模型的主要参数和数学描述基于空时相关特性的统计MIMO信道模型的主要参数包括：(1)信道的功率与时延的分布、多普勒功率谱等表征信道时域和频域衰落特征的参数。(2)每一可分辨径的空间特性参数：发射端信号的离开角(AOD)、接收端信号的到达角(AOA)、信号的水平方向角度功率谱(PAS)、角度扩展(AS)等。(3)发射端和接收端天线的数目和天线阵列结构以及天线元之间的间距。在上述的参数中，发射端信号的AOD是指发送信号与发射天线元之间的夹角。接收端信号的AOA是指接收信号与接收天线元之间的夹角。它们的取值范围在区间，AOD和AOA在通常情况下服从均匀分布，在某些情况下并不服从均匀分布。角度功率谱PAS是指信号的功率谱密度在角度上的分布。研究表明，PAS主要服从3种分布：均匀分布、截断高斯分布和截断拉普拉斯分布。此外，PAS也可能是一个升余弦函数甚至为一个整数。角度扩展AS是角度功率谱PAS的二阶中心矩的平方根，在之间分布。它反映了信号功率谱在角度上的色散程度。角度扩展越大，信道的空间相关性就越小，反之则相关性越大。天线的阵列结构是指天线的摆放方式，较普遍的阵列结构就是均匀线性阵列(ULA,Uniform Linear Array)，另外还有均匀圆形阵列(UCA,Uniform Circular Array)等其它阵列结构。天线元间距是指两个相邻天线元之间的距离，天线间距通常用载波的波长进行归一化。天线元间距越小则空间相关性就越大，反之则相关性越小。如图1所示，考虑发射端天线数为N，接收端天线数为M的两个均匀线性天线阵列(ULA)，假定天线为全向辐射天线。发射端天线阵列上的发射信号记为： （3.1）)表示第n个发射天线元上的发射信号，符号表示矢量(或矩阵)的转置。同样地，接收端天线阵列上的接收信号可以表示为： （3.2）描述连接发射端和接收端的宽带MIMO无线信道矩阵可以表示为： （3.3）其中，并且为描述收发两端天线阵列在时延下的复信道传输系数矩阵，表示从第n个发射天线到第m个接收天线之间的复传输系数。L表示可分辩径的数目。图1 MIMO信道的数据模型发射信号矢量和接收信号矢量之间的关系可以表示为(不包括噪声) （3.4）或者 （3.5）假定在远场区有很少的空间独立的主要反射体，一个主要反射体有一个主要路径，此路径含有大量的引入波，这些波是由接收机和发射机附近的本地散射体的结构引起的，它们相对时延很小，接收机不能分离出来，即为不可分辨径。由于角度扩展不为零，所以将导致空时衰落。由于发射机和接收机附近的散射体的作用，将产生许多具有微小时延的不可分辨径，使得角度扩展不为零。假设第p个可分辨径的AOA和AOD分别为和，是反映关于天线阵列和主要反射体位置的量；把发送阵列、接收阵列视线方位角定义成和，则接收端第个可分辨径的角度扩展为 （3.6）式中，表示第p个可分辨径中的第l个不可分辨径对应的到达角度；L标示不可分辨径的数目。对于发端的角度扩展同理可得。设接收天线在发送天线的远场区内，可以假设接收天线的信号是平面波。第r根接收天线的接收信号相对于第1根接收天线的附加时延为 （3.7）式中，是相邻天线间的距离。对应第r根接收天线的接收信号相对于第1根接收天线的附加相移为 （3.8）接收端均匀线性阵列的传播响应向量可以表示为 （3.9）同样的可得发送端均匀线性阵列的传播响应向量可以表示为 （3.10）第m根发送天线的发送信号相对于第1根发送天线的附加时延为 （3.11）因此，相对应的附加相移就是 （3.12）考虑到判决时间有限，不是所有信号的到达反射波都能分离开来。假设移动台或散射体发生运动，每一个本地散射体的路径长度发生变化，产生时变复衰落，对于给定速率v，最大频率偏移为。第p个可分辨径的第m个发送天线和第r个接收天线之间的空时衰落系数为： （3.13）每一个到达路径经历的衰减为，假定是由随机过程产生，且。通常在仿真时认为AOD均匀分布在0，这样可以得到经典功率谱。在固定m和r的情况下，和表征着时间域的衰落特性；而在固定时间t时，不同的m和r对应的和则反映阵列的空间特性，其相关性由两个阵列传播响应矢量和决定。记第p个空间主散射体产生的可分辨多径的时延，且一般假设它们之间的独立过程互相独立。不同的传播环境对应不同的分布。有上述分析可以知道：当本地散射体较少时，由于发射机周围本地散射体的作用，在主反射体和接收机之间的距离相对较大时，接收天线到达角的角度扩展较小，此时接收端仅仅引起时间衰落，而无空间衰落；而当接收天线周围的本地散射体较多时，造成较大的角度扩展，此时接收端产生空时衰落。3.3 相关性矩阵MIMO信道中发射端和接收端天线之间的相关的程度就是相关性,相关系数在数学上定义为： （3.14）其中，符号表示求相关系数，符号表示复数共轭。根据a和b的性质的不同，可以定义3种不同的相关系数：复数相关系数、包络相关系数和功率相关系数。考虑两个复数变量x和y：复数相关系数，此时： （3.15）包络相关系数，此时： （3.16）功率相关系数，此时： （3.17）限于测量设备等因素，以前对信道相关系数的探讨更多的集中于包络相关系数和功率相关系数。然而，对于MIMO信道建模来说，复数相关系数包含了能反映信道特性的较全面的信息幅度和相位，具有更好的性能。对于Rayleigh衰落信道，复数相关系数定义式和功率相关系数的定义式有如下关系： （3.18）为了保持信道模型的简单性，假设信道的传输系数服从零均值的复高斯分布，即的模服从Rayleigh分布。并对该统计MIMO信道模型进一步作出如下假设：（1）同一多径下传输系数的平均功率相等 所有 （3.19）（2）信道为广义平稳非相关散射信道,不同的多径下(或者不同的时延下)的信道传输系数不相关 当 （3.20）上式中的符号表示求a和b之间的相关系数；（3）接收天线衰落的两个系数的相关性与发射天线是哪一个无关；同样，两个发射天线之间的相关性与接收天线是哪一个也没有关系。定义接收端第根天线和第根天线之间的相关系数为： （3.21）上式间接地使用了上述的第3个假设，即接收端天线的相关系数与发射端的天线无关。只要发射端的天线间距并不太大，而且每根天线具有相同的辐射模式，这个假设就是合理的。因为从这些天线上发射出去的电磁波照射到接收端周围相同的散射体上，在接收端会产生相同的PAS，也会产生相同的空间相关函数。同理，定义发射端第根天线和第根天线之间的相关系数为： （3.22）由（3.21）和式（3.22），分别定义接收端和发射端的两个对称相关矩阵和为： （3.23） (3.24) 但是，仅有发射端的空间相关矩阵和接收端的空间相关矩阵并不能为产生矩阵提供足够的信息。因此，需要确定连接两组不同天线之间的任意两个传输系数的空间相关性。为此，定义 （3.25）在上述第3个假设的条件下，从理论上可以证明，式（3.20）与下式等价： （3.26）根据式（3.26），MIMO信道的整体相关矩阵可以表示为发射端相关矩阵与接收端相关矩阵的Kronecker乘积17： (3.27)上式中，符号表示矩阵的Kronecker乘积运算。在对信道的空间相关性进行建模时，按照式（3.27）对和作矩阵的Kronecker乘积，得到MIMO信道的整体相关矩阵，然后对作相应的矩阵分解，从而得到MIMO信道的空间相关矩阵。角度功率谱PAS主要有3种分布：均匀分布、高斯分布和拉普拉斯分布。讨论将基于上述3种分布的PAS，给出天线元之间的相关系数与天线的归一化间距之间的函数关系。在讨论中，仍然假设天线为全向天线，天线阵列结构为ULA，并且电波以波簇(cluster)的形式传播，每一波簇都具有相同的PAS谱。(1)均匀分布PAS多簇的均匀分布PAS的表达式为： （3.28）其中，为单位阶跃函数，为波簇的数目，为平均到达角AOA，为AOA的变化范围。考虑到潜在的功率不平衡波簇，可以推出归一化常数使得满足概率分布函数的要求： （3.29）由上式可得 （3.30）令，其中，d为天线元之间的间距，为载波波长，为天线元之间的归一化间距。可以推出两根全向天线接收到的复基带信号的实部与虚部之间的互相关系函数： （3.31）虚部与虚部之间的互相关函数与上式相同。另一方面，实部与虚部之间的互相关函数定义为： (3.32)将均匀分布PAS的表达式代入的表达式（2.31），得到： （3.33）其中，为阶第一类贝塞尔函数。同样地，将PAS的表达式代入到式（3.32），得到： （3.34）(2)高斯分布PAS高斯分布PAS的表达式为：（3.35）同样可以推出其归一化常数应该满足： （3.36）其中，为复数的误差函数。将的表达式代入（3.31）和（3.32），可以得到高斯分布PAS下的复基带信号的实部与虚部的两个互相关函数分别为： （3.37）和 （3.38）其中，表示取x的实部。(3)拉普拉斯分布PAS拉普拉斯分布的PAS谱被认为是与城区和农村地区的信道测量结果吻合得最好的一种分布。其表达式为： （3.39）其归一化条件由下式给出： （3.40）拉普拉斯分布PAS下的复基带信号的两个互相关函数分别为： （3.41）和 (3.42)由表达式，可以定义复数相关系数和功率相关系数的表达式如下： (3.43) (3.44)可见一般复数相关系数的性能要优于功率相关系数，因为后者失去了前者的相位信息。4 软件计算MIMO信道模型的描述以及上一小节对仿真思路与方法的讨论，可知MIMO信道矩阵产生的方法是：按照上一章所描述的方法产生MIMO信道接收和发送端的相关矩阵和，再按照式产生的MIMO信道的整体相关矩阵。由进行相应的矩阵分解得到一个对称映射矩阵C，C就是MIMO信道的空间相关形成矩阵即： (4.1)如果使用的是复数相关矩阵，则应该对作矩阵的平方根分解。再按照仿真单入单出信道的方法产生信道的衰落系数，即为经过相应的多普勒功率谱成形后的零均值、单位方差的I.I.D复高斯变量，反映了MIMO信道的时频衰落特性。最后，按照下式计算MIMO信道抽头的系数矩阵： (4.2)其中，表示把一个的矩阵排成一个的矢量；即为MIMO信道的衰落系数；为第个可分辨径的功率；。综合上面的讨论，MIMO相关衰落的产生过程如图4.2所示。图2 MIMO信道中相关衰落的产生4.1 信道矩阵的matlab计算为了产生带有相关性MIMO信道的信道冲激响应。设置：输入参数：Nr接收天线阵元的个数；Nt发送天线阵元的个数；t时间变量。输出参数：Mimo_channel MIMO信道的信道冲激响应矩阵。function f=mimo_channel(Nr, Nt,t)s=35; % mm=O;fd=5.56; rand(state,0);for i=1 :Nt*Nr for l=1:1 h1=0; h2=0; for k=l:s-1 sita(k)=2*pi*rand; h1 = h1+sqrt(2)/sqrt(s-1/2)*sin(pi*k/(s-1)*cos(2*pi*fd*cos(pi*k/(2*s-1)*t+sita(k); h2 = h2+sqrt(2)/sqrt(s-1/2)*cos(pi*k/(s-1)*cos(2*pi*fd*cos(pi*k/(2*s-1)*t+sita(k); end sita(s)=rand; h1=h1+1/(sqrt(2)*sqrt(s-1/2)*cos(2*pi*fd*t+sita(s); h2=h2+l/(sqrt(2)*sqrt(s-1/2)*cos(2*pi*fd*t+sita(s); h(i,1)=h1 +j*h2; endendh corrR=mimo_corr(30,0,0.5,Nr)%;correlation at Rx d-0.51anbudacorrT=mimo_corr(5,0,5,Nt)%; correlation at Tx d-51anbudacorrRT=kron(corrR,corrT)%; hr=transpose(chol(corrRT);h=hr*h;for p=1:Nr for q=1:Nt hh(p,q)=h(Nr*(q-1)+p); endendf=hh;4.2 信道相关性的matlab计算由模型可以知道通过波束到达角、角度扩展、天线之间的间隔和天线个数，计算出发送端和接收端的相关矩阵。设置：输入参数：anglespread 散射体的角度扩展，表示接收端和发射端散射体的分布情况。angle 平均到达角，每个入射波和离去波的到达角的均值。d 天线间隔与波长的比，假设天线是均匀阵列。M 天线阵元数，表示接收端和发射端天线阵元的个数。输出参数：mimo_corr发送端或接收端任意两个天线之间的相关系数矩阵。function f=mimo_corr(anglespread,angle,d,M)L=1000;anglespread1=720;c=0;% clear i;p=zeros(1,L);fai=zeros(1,L);fai1=zeros(1,L);FAI=zeros(1,L);matrix1=zeros(M,1);matrix2=zeros(1,M);correlation1 =zeros(M,M);correlation2=zeros(M,M);correlation=zeros(M,M);for m=1:L fai1(1,m)=angle-anglespread1+2*anglespread1*m/L; fai(1,m)=2*pi*(angle-anglespread1+2*anglespread1*m/L)/360; FAI(1,m)=d*sin(fai(1,m);endfor m= 1:Lp(1,m)= 1/(anglespread*sqrt(2)*exp(-sqrt(2)*abs(fai1(1,m)-angle)/anglespread)*2*anglespread1/L;endfor m=1:L c=p(1,m)+c;endc;for m= 1:L for n= 1:M matrix1(n,1)=exp(i*FAI(m)*2*pi*(n-1); end matrix2=matrix1; correlation1 =matrix1 *matrix2*p(1,m); correlation2=correlation1+correlation2; endfor m=1:M for n=1:M correlation(m,n)=abs(correlation2(m,n)/c; end end f=correlation;5 结果分析通过对模型进行仿真的设计思路、方法和仿真处理的流程，可以对该信道模型进行了相应的计算机仿真，得出了信道矩阵和和信道的相关相矩阵，并对这些结果进行了分析。我们选择选择典型的城区环境，天线结构为均匀线性阵列，发送端的天线数（）为2根，接收端的天线数为（）为4根，角度功率谱（PAS）的类型为拉普拉斯分布。当接收端和发送端的天线间距分别为和，角度扩展分别为5度和30度，AOA和AOD都为0时，得出的信道矩阵为发送端的相关矩阵为： 接收端的相关矩阵为： 信道的空间相关矩阵为： 维持其它的参数不变，改变信道的参数可以看到各参数对MIMO信道特性的影响，将发射和接收端的天线间距分别变为和，从仿真得到的矩阵中可以看到，随着天线间距离d的增大，信道的相关性是减小的。发送端的相关矩阵为：接收端的相关矩阵为：信道的空间相关矩阵为下面的矩阵是其它参数不变，角度扩展变为40度时的信道的相关性矩阵，将这几个矩阵与本节中最前面的矩阵比较，可以看到：相关系数随着角度扩展的增大而下降。发送端的相关矩阵为：接收端的相关矩阵为：信道的空间相关矩阵为：图3直观地反映了角度扩展和天线间的距离对相关性的影响：AS=5 AS=2AS=5201234567891000.10.20.30.40.50.60.70.80.91图3 不同角度扩展时天线间距与相关系数的关系从图3中可以看到，角度扩展一定时，相关系数随着天线间的距离的增大而减小；而当天线间距一定时，相关系数随着角度扩展的增大而减小。角度扩展比较小时，相关系数随天线间距增大而缓慢的减小，角度扩展比较大时，在很小的天线间距（小于1）时相关系数随天线间距增大而迅速的减小，天线间距大于1时，相关系数的变化比较平缓。6 总结分析通过这次小论文，我发现矩阵分析这门数学课在本专业的很多领域中有很重要的应用，在研究MIMO的信道容量的研究中发现对信道容量的推导分析是一个很复杂的过程，但是应用矩阵的知识进行分析能很好的解决这个问题，对于MIMO无线信道的建模来说，无论采用哪种建模方法，首先应该能够准确地反映实际MIMO无线衰落信道的时域和频域的衰落统计特征，其次，还应该能够比较准确地描述引入了多天线阵列后的信道空域衰落统计特性，特别是信道的空间相关性。本文在对无线信道的特性的研究以及现有的信道模型总结的基础上，根据发射端和接收端天线的拓扑结构、天线间距、发射信号的离开角与角度扩展、接收信号的到达角与角度扩展、角度功率谱、多普勒功率谱和多径分量的功率时延分布，建立了MIMO无线信道模型，该MIMO信道模型可以看成是SISO信道模型的一个推广，可以作为研究MIMO无线通信系统的一个通用的空时信道模型。相关性是MIMO无线信道的一个很重要的特性，本章从相关矩阵和相关系数两方面分析了MIMO信道的相关性，根据接收信号的三种角度功率谱（均匀分布、高斯分布和拉普拉斯分布），详细讨论了信道相关系数的计算方法。在用数学知识推到分析问题时，我发现必须学会应用科学的方法进行分析。在对MIMO技术信道容量进行分析的时候，首先你应该搞清楚问题的背景，通过分析提出面临的问题，根据问题建立形象的几种模型；然后对比选择合适的模型进行研究；然后在提出解决方案，算法的计算，仿真，总结。有些问题应该灵活处理，在具体实现MIMO容量时，有时不得不在性能和复杂性之间进行“折中”。如何使“折中”恰当好处是一个值得深入探讨的问题，具体工程问题具体分析。这些收获在以后进行别的课题研究中也适用。