届高考数学一轮复习第五章数列课堂达标等差数列及其前n项和文新人教版.doc

课堂达标(二十七) 等差数列及其前n项和A根底稳固练1等差数列an中，a1a510，a47，那么数列an的公差为()A1B2C3D4解析法一：设等差数列an的公差为d，由题意得解得d2.法二：在等差数列an中，a1a52a310，a35.又a47，公差d752.答案B2(2022·宁夏银川市二模试卷)在等差数列an中，a45，a3是a2和a6的等比中项，那么数列an的前5项的和为()A15 B20 C25 D15或25解析在等差数列an中，a45，a3是a2和a6的等比中项，解得a11，d2，数列an的前5项的和为：S55a1d5×(1)5×415.应选：A.答案A3(2022·山师大附中高三三模)等比数列an的前n项和为Sn，a2a52a3，且a4与2a7的等差中项为，那么S5等于()A29 B31 C33 D36解析法一：设等比数列an的首项为a1，公比为q，由题意知，解得，所以S531，应选B.法二：由a2a52a3，得a42.又a42a7，所以a7，所以q，所以a116，所以S531，应选B.答案B4(2022·浙江卷)an是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn，假设a3，a4，a8成等比数列，那么()Aa1d>0，dS4>0 Ba1d<0，dS4<0Ca1d>0，dS4<0 Da1d<0，dS4>0解析a3，a4，a8成等比数列，aa3a8，(a13d)2(a12d)(a17d)，展开整理，得3a1d5d2，即a1dd2.d0，a1d<0.Snna1d，S44a16d，dS44a1d6d2d2<0.答案B5(2022·山东省枣庄十六中4月模拟试卷)等差数列an的前n项和为Sn，假设公差d0，(S8S5)(S9S5)0，那么()A|a7|a8| B|a7|a8|C|a7|a8| D|a7|0解析根据题意，等差数列an中，有(S8S5)(S9S5)0，即(a6a7a8)(a6a7a8a9)0，又由an为等差数列，那么有(a6a7a8)3a7，(a6a7a8a9)2(a7a8)，(a6a7a8)(a6a7a8a9)0a7×(a7a8)0，a7与(a7a8)异号，又由公差d0，必有a70，a80，且|a7|a8|；应选：B.答案B6(2022·湖南省常德市一模)?张邱建算经?是中国古代数学史上的杰作，该书中有首古民谣记载了一数列问题：“南山一棵竹，竹尾风割断，剩下三十节，一节一个圈头节高五寸，头圈一尺三.逐节多三分，逐圈少分三.一蚁往上爬，遇圈那么绕圈爬到竹子顶，行程是多远？(注释：第一节的高度为0.5尺；第一圈的周长为1.3尺；每节比其下面的一节多0.03尺；每圈周长比其下面的一圈少0.013尺) 问：此民谣提出的问题的答案是()A72.705尺 B61.395尺C61.905尺 D73.995尺解析每竹节间的长相差0.03尺，设从地面往上，每节竹长为a1，a2，a3，a30，an是以a10.5为首项，以d0.03为公差的等差数列，由题意知竹节圈长，后一圏比前一圏细1分3厘，即0.013尺，设从地面往上，每节节圈长为b1，b2，b3，b30，由bn是以b11.3为首项，d0.013为公差的等差数列，一蚁往上爬，遇圈那么绕圈爬到竹子顶，行程是：S3030×1.3×(0.013)61.395.应选：B.答案B7(2022·湖南省永州市三模)数列an的通项公式为annsin(1)n，其前n项和为Sn，那么S2 017_.解析n2k(kN*)时，ana2k2k·sin k11.n2k1(kN*)时，ana2k1(2k1)·sin1(1)k1(2k1)1.S2 017(a2a4a2 016)(a1a3a2 017)1 008(13572 0171 009)1 008(1 0082 0171 009)3 026.答案3 0268设等差数列an的前n项和为Sn，Sm12，Sm0，Sm13，那么正整数m的值为_解析因为等差数列an的前n项和为Sn，Sm12，Sm0，Sm13，所以amSmSm12，am1Sm1Sm3，数列的公差d1，amam1Sm1Sm15，即2a12m15，所以a13m.由Sm(3m)m×10，解得正整数m的值为5.答案59在等差数列an中，S10100，S10010，那么S110_.解析法一：设数列an的首项为a1，公差为d，那么解得所以S110110a1d110.法二：因为S100S1090，所以a11a1002，所以S110110.答案11010假设数列an的前n项和为Sn，且满足an2SnSn10(n2)，a1.(1)求证：数列是等差数列；(2)求数列an的通项公式解(1)证明：当n2时，由an2SnSn10，得SnSn12SnSn1，所以2，又2，故是首项为2，公差为2的等差数列(2)由(1)可得2n，Sn.当n2时，anSnSn1.当n1时，a1不适合卡式故anB能力提升练1(2022·南昌一模)在等差数列an中，a1>0，a10·a11<0，假设此数列的前10项和S1036，前18项和S1812，那么数列|an|的前18项和T18的值是()A24B48C60D84解析由题意a1>0，a10·a11<0，得d<0，a10>0，a11<0，所以a1>a2>>a10>0>a11>a12>>a18>，所以T18|a1|a2|a10|a11|a12|a18|a1a2a10(a11a12a18)2S10S182×361260.答案C2(2022·浙江卷)如图，点列An，Bn分别在某锐角的两边上，且|AnAn1|An1An2|，AnAn2，nN*，|BnBn1|Bn1Bn2|，BnBn2，nN*，(PQ表示点P与Q不重合)假设dn|AnBn|，Sn为AnBnBn1的面积，那么()ASn是等差数列 BS是等差数列Cdn是等差数列 Dd是等差数列解析Sn表示点An到对面直线的距离(设为hn)乘以|BnBn1|长度一半，即Sn hn|BnBn1|，由题目中条件可知|BnBn1|的长度为定值，那么我们需要知道hn的关系式，过A1作垂直得到初始距离h1，那么A1，An和两个垂足构成了直角梯形，那么hnh1|A1An|·sin ，其中为两条线的夹角，即为定值，那么Sn(h1|A1An|·sin )|BnBn1|，Sn1(|h1A1An1|·sin )|BnBn1|，作差后：Sn1Sn (|AnAn1|·sin)|BnBn1|，都为定值，所以Sn1Sn为定值应选A.答案A3设等差数列an、bn的前n项和分别为Sn、Tn，假设对任意自然数n都有，那么的值为_解析an，bn为等差数列，.，.答案4(2022·湖南省常德市一模)数列an中，a10，an1(nN*)，数列bn满足：bnnan(nN*)，设Sn为数列bn的前n项和，当n7时Sn有最小值，那么a1的取值范围是_解析数列an中，a10，an1(nN*)，3，数列是等差数列，公差为3.3(n1)解得an.bnnan，设Sn为数列bn的前n项和，当n7时Sn有最小值，b70，b80.0，0，解得<a1<.那么a1的取值范围是：.答案.5(2022·江苏)对于给定的正整数k，假设数列an满足ankank1an1an1ank1ank2kan对任意正整数n(n>k)总成立，那么称数列an是“P(k)数列(1)证明：等差数列an是“P(3)数列；(2)假设数列an既是“P(2)数列，又是“P(3)数列，证明：an是等差数列证明(1)因为an是等差数列，设其公差为d，那么ana1(n1)d，从而，当n4时，ankanka1(nk1)da1(nk1)d2a12(n1)d2an，k1,2,3，所以an3an2an1an1an2an36an，因此等差数列an是“P(3)数列(2)数列an即是“P(2)数列，又是“P(3)数列，因此，当n3时，an2an1an1an24an，当n4时，an3an2an1an1an2an36an.由知，an3an24an1(anan1)，an2an34an1(an1an)，将代入，得an1an12an，其中n4，所以a3，a4，a5，是等差数列，设其公差为d.在中，取n4，那么a2a3a5a64a4，所以a2a3d，在中，取n3，那么a1a2a4a54a3，所以a1a22d，所以数列an是等差数列C尖子生专练(2022·北京)设an和bn是两个等差数列，记cnmaxb1a1n，b2a2n，bnann(n1,2,3，)，其中maxx1，x2，xS表示x1，x2，xS这S个数中最大的数(1)假设ann，bn2n1，求c1，c2，c3的值，并证明cn是等差数列；(2)证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当nm时，>M；或者存在正整数m，使得cm，cm1，cm2，是等差数列解析(1)c1b1a1110.c2maxb12a1，b22a2max12×1,32×21，c3maxb13a1，b23a2，b33a3max13×1,33×2,53×32.当n3时，(bk1nak1)(bknak)(bk1bk)n(ak1ak)2n<0，所以bknak关于kN*单调递减所以cnmaxb1a1n，b2a2n，bnannb1a1n1n.所以对任意n1，cn1n，于是cn1cn1，所以cn是等差数列(2)设数列an和bn的公差分别为d1，d2，那么bknakb1(k1)d2a1(k1)d1nb1a1n(d2nd1)(k1)所以cn当d1>0时，取正整数m>，那么当nm时，nd1>d2，因此cnb1a1n.此时，cm，cm1，cm2，是等差数列当a10时，对任意n1，cnb1a1n(n1)maxd2,0b1a1(n1)(maxd2,0a1)此时，c1，c2，c3，cn，是等差数列当d1<0时，当n>时，有nd1<d2.所以n(d1)d1a1d2n(d1)d1a1d2|b1d2|.对任意正数M，取正整数m>max，故当时，>M.